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Theorem bnj983 34429
Description: Technical lemma for bnj69 34486. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj983.1  |-  ( ph  <->  ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )
)
bnj983.2  |-  ( ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
bnj983.3  |-  D  =  ( om  \  { (/)
} )
bnj983.4  |-  B  =  { f  |  E. n  e.  D  (
f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps ) }
bnj983.5  |-  ( ch  <->  ( n  e.  D  /\  f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps ) )
Assertion
Ref Expression
bnj983  |-  ( Z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  <->  E. f E. n E. i ( ch  /\  i  e.  n  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) )
Distinct variable groups:    A, f,
i, n, y    D, i    R, f, i, n, y    f, X, i, n, y    f, Z, i, n    ph, i
Allowed substitution hints:    ph( y, f, n)    ps( y, f, i, n)    ch( y, f, i, n)    B( y, f, i, n)    D( y, f, n)    Z( y)

Proof of Theorem bnj983
StepHypRef Expression
1 bnj983.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  <->  ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )
)
2 bnj983.2 . . . . . . . 8  |-  ( ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
3 bnj983.3 . . . . . . . 8  |-  D  =  ( om  \  { (/)
} )
4 bnj983.4 . . . . . . . 8  |-  B  =  { f  |  E. n  e.  D  (
f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps ) }
51, 2, 3, 4bnj882 34404 . . . . . . 7  |-  trCl ( X ,  A ,  R )  =  U_ f  e.  B  U_ i  e.  dom  f ( f `
 i )
65eleq2i 2532 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  <->  Z  e.  U_ f  e.  B  U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i ) )
7 eliun 4320 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  U_ f  e.  B  U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  <->  E. f  e.  B  Z  e.  U_ i  e.  dom  f
( f `  i
) )
8 eliun 4320 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  <->  E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i
) )
98rexbii 2956 . . . . . . 7  |-  ( E. f  e.  B  Z  e.  U_ i  e.  dom  f ( f `  i )  <->  E. f  e.  B  E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i
) )
107, 9bitri 249 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  U_ f  e.  B  U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  <->  E. f  e.  B  E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i
) )
11 df-rex 2810 . . . . . . 7  |-  ( E. f  e.  B  E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i )  <->  E. f
( f  e.  B  /\  E. i  e.  dom  f  Z  e.  (
f `  i )
) )
124abeq2i 2581 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  B  <->  E. n  e.  D  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) )
1312anbi1i 693 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  B  /\  E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i ) )  <->  ( E. n  e.  D  (
f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps )  /\  E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i ) ) )
1413exbii 1672 . . . . . . 7  |-  ( E. f ( f  e.  B  /\  E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i
) )  <->  E. f
( E. n  e.  D  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  /\  E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i
) ) )
1511, 14bitri 249 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  B  E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i )  <->  E. f
( E. n  e.  D  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  /\  E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i
) ) )
166, 10, 153bitri 271 . . . . 5  |-  ( Z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  <->  E. f ( E. n  e.  D  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  /\  E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i
) ) )
17 bnj983.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ch  <->  ( n  e.  D  /\  f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps ) )
18 bnj252 34175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  D  /\  f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps )  <->  ( n  e.  D  /\  (
f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps ) ) )
1917, 18bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ch  <->  ( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
) )
2019exbii 1672 . . . . . . 7  |-  ( E. n ch  <->  E. n
( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
) )
2120anbi1i 693 . . . . . 6  |-  ( ( E. n ch  /\  E. i ( i  e. 
dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i
) ) )  <->  ( E. n ( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\ 
ps ) )  /\  E. i ( i  e. 
dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i
) ) ) )
22 df-rex 2810 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  D  ( f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps )  <->  E. n
( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
) )
23 df-rex 2810 . . . . . . 7  |-  ( E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i )  <->  E. i
( i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) )
2422, 23anbi12i 695 . . . . . 6  |-  ( ( E. n  e.  D  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  /\  E. i  e.  dom  f  Z  e.  (
f `  i )
)  <->  ( E. n
( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
)  /\  E. i
( i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) ) )
2521, 24bitr4i 252 . . . . 5  |-  ( ( E. n ch  /\  E. i ( i  e. 
dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i
) ) )  <->  ( E. n  e.  D  (
f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps )  /\  E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i ) ) )
2616, 25bnj133 34200 . . . 4  |-  ( Z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  <->  E. f ( E. n ch  /\  E. i ( i  e.  dom  f  /\  Z  e.  (
f `  i )
) ) )
27 19.41v 1776 . . . 4  |-  ( E. n ( ch  /\  E. i ( i  e. 
dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i
) ) )  <->  ( E. n ch  /\  E. i
( i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) ) )
2826, 27bnj133 34200 . . 3  |-  ( Z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  <->  E. f E. n ( ch  /\  E. i
( i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) ) )
292bnj1095 34260 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  A. i ps )
3029, 17bnj1096 34261 . . . . . 6  |-  ( ch 
->  A. i ch )
3130nfi 1628 . . . . 5  |-  F/ i ch
323119.42 1977 . . . 4  |-  ( E. i ( ch  /\  ( i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) )  <->  ( ch  /\ 
E. i ( i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) ) )
33322exbii 1673 . . 3  |-  ( E. f E. n E. i ( ch  /\  ( i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) )  <->  E. f E. n ( ch  /\  E. i ( i  e. 
dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i
) ) ) )
3428, 33bitr4i 252 . 2  |-  ( Z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  <->  E. f E. n E. i ( ch  /\  ( i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) ) )
35 3anass 975 . . 3  |-  ( ( ch  /\  i  e. 
dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i
) )  <->  ( ch  /\  ( i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) ) )
36353exbii 1674 . 2  |-  ( E. f E. n E. i ( ch  /\  i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) )  <->  E. f E. n E. i ( ch  /\  ( i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) ) )
37 fndm 5662 . . . . . . . 8  |-  ( f  Fn  n  ->  dom  f  =  n )
3817, 37bnj770 34241 . . . . . . 7  |-  ( ch 
->  dom  f  =  n )
39 eleq2 2527 . . . . . . . 8  |-  ( dom  f  =  n  -> 
( i  e.  dom  f 
<->  i  e.  n ) )
40393anbi2d 1302 . . . . . . 7  |-  ( dom  f  =  n  -> 
( ( ch  /\  i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) )  <->  ( ch  /\  i  e.  n  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) ) )
4138, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ch 
->  ( ( ch  /\  i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) )  <->  ( ch  /\  i  e.  n  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) ) )
42413ad2ant1 1015 . . . . 5  |-  ( ( ch  /\  i  e. 
dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i
) )  ->  (
( ch  /\  i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i
) )  <->  ( ch  /\  i  e.  n  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) ) )
4342ibi 241 . . . 4  |-  ( ( ch  /\  i  e. 
dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i
) )  ->  ( ch  /\  i  e.  n  /\  Z  e.  (
f `  i )
) )
44413ad2ant1 1015 . . . . 5  |-  ( ( ch  /\  i  e.  n  /\  Z  e.  ( f `  i
) )  ->  (
( ch  /\  i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i
) )  <->  ( ch  /\  i  e.  n  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) ) )
4544ibir 242 . . . 4  |-  ( ( ch  /\  i  e.  n  /\  Z  e.  ( f `  i
) )  ->  ( ch  /\  i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) )
4643, 45impbii 188 . . 3  |-  ( ( ch  /\  i  e. 
dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i
) )  <->  ( ch  /\  i  e.  n  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) )
47463exbii 1674 . 2  |-  ( E. f E. n E. i ( ch  /\  i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) )  <->  E. f E. n E. i ( ch  /\  i  e.  n  /\  Z  e.  ( f `  i
) ) )
4834, 36, 473bitr2i 273 1  |-  ( Z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  <->  E. f E. n E. i ( ch  /\  i  e.  n  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   {cab 2439   A.wral 2804   E.wrex 2805    \ cdif 3458   (/)c0 3783   {csn 4016   U_ciun 4315   suc csuc 4869   dom cdm 4988    Fn wfn 5565   ` cfv 5570   omcom 6673    /\ w-bnj17 34158    predc-bnj14 34160    trClc-bnj18 34166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ral 2809  df-rex 2810  df-v 3108  df-iun 4317  df-fn 5573  df-bnj17 34159  df-bnj18 34167
This theorem is referenced by:  bnj1033  34445
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