Theorem bnj92 13216

Description: First-order logic and set theory.

Hypotheses

Ref	Expression
bnj92.1	|- (ps <-> A.i e. om (suc i e. n -> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)))
bnj92.2	|- Z e. _V

Assertion

Ref	Expression
bnj92	|- ([Z / n]ps <-> A.i e. om (suc i e. Z -> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)))

Distinct variable groups:   A,n   R,n   i,Z   f,n   i,n   y,n

Proof of Theorem bnj92

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj92.1	. . 3 |- (ps <-> A.i e. om (suc i e. n -> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)))
2		bnj92.2	. . 3 |- Z e. _V
3	1, 2	bnj524 12523	. 2 |- ([Z / n]ps <-> [Z / n]A.i e. om (suc i e. n -> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)))
4		sbcralg 2531	. . 3 |- (Z e. _V -> ([Z / n]A.i e. om (suc i e. n -> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)) <-> A.i e. om [Z / n](suc i e. n -> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R))))
5	2, 4	ax-mp 7	. 2 |- ([Z / n]A.i e. om (suc i e. n -> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)) <-> A.i e. om [Z / n](suc i e. n -> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)))
6		sbcimg 2496	. . . . 5 |- (Z e. _V -> ([Z / n](suc i e. n -> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)) <-> ([Z / n]suc i e. n -> [Z / n](f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R))))
7	2, 6	ax-mp 7	. . . 4 |- ([Z / n](suc i e. n -> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)) <-> ([Z / n]suc i e. n -> [Z / n](f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)))
8		sbcel2gv 2512	. . . . . 6 |- (Z e. _V -> ([Z / n]suc i e. n <-> suc i e. Z))
9	2, 8	ax-mp 7	. . . . 5 |- ([Z / n]suc i e. n <-> suc i e. Z)
10		ax-17 1317	. . . . . . 7 |- ((f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R) -> A.n(f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R))
11	10	sbcgf 2520	. . . . . 6 |- (Z e. _V -> ([Z / n](f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R) <-> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)))
12	2, 11	ax-mp 7	. . . . 5 |- ([Z / n](f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R) <-> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R))
13	9, 12	imbi12i 205	. . . 4 |- (([Z / n]suc i e. n -> [Z / n](f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)) <-> (suc i e. Z -> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)))
14	7, 13	bitri 190	. . 3 |- ([Z / n](suc i e. n -> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)) <-> (suc i e. Z -> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)))
15	14	ralbii 2127	. 2 |- (A.i e. om [Z / n](suc i e. n -> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)) <-> A.i e. om (suc i e. Z -> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)))
16	3, 5, 15	3bitri 194	1 |- ([Z / n]ps <-> A.i e. om (suc i e. Z -> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  [wsbc 1534  A.wral 2105  _Vcvv 2292  U_ciun 3255  suc csuc 3659  omcom 3949  ` cfv 3998   predsyn-bnj14 12023

This theorem is referenced by:  bnj106 13225  bnj120 13230

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ral 2109  df-v 2294  df-sbc 2454

Copyright terms: Public domain