Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj92 Structured version   Unicode version

Theorem bnj92 34340
Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj92.1  |-  ( ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
bnj92.2  |-  Z  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
bnj92  |-  ( [. Z  /  n ]. ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  Z  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    R, n    i, Z    f, n    i, n    y, n
Allowed substitution hints:    ps( y, f, i, n)    A( y,
f, i)    R( y,
f, i)    Z( y,
f, n)

Proof of Theorem bnj92
StepHypRef Expression
1 bnj92.1 . . 3  |-  ( ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
21sbcbii 3380 . 2  |-  ( [. Z  /  n ]. ps  <->  [. Z  /  n ]. A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
3 bnj92.2 . . 3  |-  Z  e. 
_V
43bnj538 34216 . 2  |-  ( [. Z  /  n ]. A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  A. i  e.  om  [. Z  /  n ]. ( suc  i  e.  n  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
5 sbcimg 3366 . . . . 5  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( [. Z  /  n ]. ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) )  <->  ( [. Z  /  n ]. suc  i  e.  n  ->  [. Z  /  n ]. ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
63, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  ( [. Z  /  n ]. ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  ( [. Z  /  n ]. suc  i  e.  n  ->  [. Z  /  n ]. ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
7 sbcel2gv 3384 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( [. Z  /  n ]. suc  i  e.  n  <->  suc  i  e.  Z ) )
83, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( [. Z  /  n ]. suc  i  e.  n  <->  suc  i  e.  Z )
93bnj525 34214 . . . . 5  |-  ( [. Z  /  n ]. (
f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i
)  pred ( y ,  A ,  R )  <-> 
( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )
108, 9imbi12i 324 . . . 4  |-  ( (
[. Z  /  n ]. suc  i  e.  n  ->  [. Z  /  n ]. ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  ( suc  i  e.  Z  ->  ( f `  suc  i
)  =  U_ y  e.  ( f `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) ) )
116, 10bitri 249 . . 3  |-  ( [. Z  /  n ]. ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  ( suc  i  e.  Z  ->  ( f `  suc  i
)  =  U_ y  e.  ( f `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) ) )
1211ralbii 2885 . 2  |-  ( A. i  e.  om  [. Z  /  n ]. ( suc  i  e.  n  -> 
( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  Z  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
132, 4, 123bitri 271 1  |-  ( [. Z  /  n ]. ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  Z  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106   [.wsbc 3324   U_ciun 4315   suc csuc 4869   ` cfv 5570   omcom 6673    predc-bnj14 34160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ral 2809  df-v 3108  df-sbc 3325
This theorem is referenced by:  bnj106  34346  bnj153  34358
  Copyright terms: Public domain W3C validator