Theorem bnj893 29811

Description: Property of trCl. Under certain conditions, the transitive closure of X in A by R is a set. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bnj893	|- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) -> trCl ( X , A , R ) e. _V )

Proof of Theorem bnj893

Dummy variables f g i n y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biid 244	. . 3 |- ( ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
2		biid 244	. . 3 |- ( A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
3		eqid 2471	. . 3 |- ( om \ { (/) } ) = ( om \ { (/) } )
4		eqid 2471	. . 3 |- { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } = { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) }
5	1, 2, 3, 4	bnj882 29809	. 2 |- trCl ( X , A , R ) = U_ f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i )
6		vex 3034	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
7		fveq1 5878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( f ` (/) ) = ( g ` (/) ) )
8	7	eqeq1d 2473	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) ) )
9	6, 8	sbcie 3290	. . . . . . . . . 10 |- ( [. g / f ]. ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
10	9	bicomi 207	. . . . . . . . 9 |- ( ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> [. g / f ]. ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
11		fveq1 5878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> ( f ` suc i ) = ( g ` suc i ) )
12		fveq1 5878	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( f ` i ) = ( g ` i ) )
13	12	iuneq1d 4294	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) )
14	11, 13	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) <-> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
15	14	imbi2d 323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
16	15	ralbidv 2829	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
17	6, 16	sbcie 3290	. . . . . . . . . 10 |- ( [. g / f ]. A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
18	17	bicomi 207	. . . . . . . . 9 |- ( A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> [. g / f ]. A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
19	4, 10, 18	bnj873 29807	. . . . . . . 8 |- { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } = { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) }
20	19	eleq2i 2541	. . . . . . 7 |- ( f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } <-> f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } )
21	20	anbi1i 709	. . . . . 6 |- ( ( f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } /\ w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) ) <-> ( f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } /\ w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) ) )
22	21	rexbii2 2879	. . . . 5 |- ( E. f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) <-> E. f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) )
23	22	abbii 2587	. . . 4 |- { w | E. f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) } = { w | E. f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) }
24		df-iun 4271	. . . 4 |- U_ f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) = { w | E. f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) }
25		df-iun 4271	. . . 4 |- U_ f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) = { w | E. f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) }
26	23, 24, 25	3eqtr4i 2503	. . 3 |- U_ f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) = U_ f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i )
27		biid 244	. . . . 5 |- ( ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
28		biid 244	. . . . 5 |- ( A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
29		eqid 2471	. . . . 5 |- { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } = { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) }
30		biid 244	. . . . 5 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A /\ n e. ( om \ { (/) } ) ) <-> ( R FrSe A /\ X e. A /\ n e. ( om \ { (/) } ) ) )
31		biid 244	. . . . 5 |- ( ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
32		biid 244	. . . . 5 |- ( [. z / g ]. ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> [. z / g ]. ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
33		biid 244	. . . . 5 |- ( [. z / g ]. A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> [. z / g ]. A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
34		biid 244	. . . . 5 |- ( [. z / g ]. ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> [. z / g ]. ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
35		biid 244	. . . . 5 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) <-> ( R FrSe A /\ X e. A ) )
36	27, 28, 3, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35	bnj849 29808	. . . 4 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) -> { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } e. _V )
37		vex 3034	. . . . . . 7 |- f e. _V
38	37	dmex 6745	. . . . . 6 |- dom f e. _V
39		fvex 5889	. . . . . 6 |- ( f ` i ) e. _V
40	38, 39	iunex 6792	. . . . 5 |- U_ i e. dom f ( f ` i ) e. _V
41	40	rgenw 2768	. . . 4 |- A. f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) e. _V
42		iunexg 6788	. . . 4 |- ( ( { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } e. _V /\ A. f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) e. _V ) -> U_ f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) e. _V )
43	36, 41, 42	sylancl 675	. . 3 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) -> U_ f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) e. _V )
44	26, 43	syl5eqel 2553	. 2 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) -> U_ f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) e. _V )
45	5, 44	syl5eqel 2553	1 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) -> trCl ( X , A , R ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   [.wsbc 3255   \ cdif 3387   (/)c0 3722   {csn 3959   U_ciun 4269   dom cdm 4839   suc csuc 5432   Fn wfn 5584   ` cfv 5589   omcom 6711   predc-bnj14 29565   FrSe w-bnj15 29569   trClc-bnj18 29571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-reg 8125  ax-inf2 8164

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-1o 7200  df-bnj17 29564  df-bnj14 29566  df-bnj13 29568  df-bnj15 29570  df-bnj18 29572

This theorem is referenced by:  bnj1125  29873  bnj1136  29878  bnj1177  29887  bnj1413  29916  bnj1452  29933