Theorem bnj893 33358

Description: Property of trCl. Under certain conditions, the transitive closure of X in A by R is a set. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bnj893	|- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) -> trCl ( X , A , R ) e. _V )

Proof of Theorem bnj893

Dummy variables f g i n y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biid 236	. . 3 |- ( ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
2		biid 236	. . 3 |- ( A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
3		eqid 2467	. . 3 |- ( om \ { (/) } ) = ( om \ { (/) } )
4		eqid 2467	. . 3 |- { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } = { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) }
5	1, 2, 3, 4	bnj882 33356	. 2 |- trCl ( X , A , R ) = U_ f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i )
6		vex 3121	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
7		fveq1 5870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( f ` (/) ) = ( g ` (/) ) )
8	7	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) ) )
9	6, 8	sbcie 3371	. . . . . . . . . 10 |- ( [. g / f ]. ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
10	9	bicomi 202	. . . . . . . . 9 |- ( ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> [. g / f ]. ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
11		fveq1 5870	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> ( f ` suc i ) = ( g ` suc i ) )
12		fveq1 5870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( f ` i ) = ( g ` i ) )
13	12	iuneq1d 4355	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) )
14	11, 13	eqeq12d 2489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) <-> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
15	14	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
16	15	ralbidv 2906	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
17	6, 16	sbcie 3371	. . . . . . . . . 10 |- ( [. g / f ]. A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
18	17	bicomi 202	. . . . . . . . 9 |- ( A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> [. g / f ]. A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
19	4, 10, 18	bnj873 33354	. . . . . . . 8 |- { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } = { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) }
20	19	eleq2i 2545	. . . . . . 7 |- ( f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } <-> f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } )
21	20	anbi1i 695	. . . . . 6 |- ( ( f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } /\ w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) ) <-> ( f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } /\ w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) ) )
22	21	rexbii2 2967	. . . . 5 |- ( E. f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) <-> E. f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) )
23	22	abbii 2601	. . . 4 |- { w | E. f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) } = { w | E. f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) }
24		df-iun 4332	. . . 4 |- U_ f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) = { w | E. f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) }
25		df-iun 4332	. . . 4 |- U_ f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) = { w | E. f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) }
26	23, 24, 25	3eqtr4i 2506	. . 3 |- U_ f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) = U_ f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i )
27		biid 236	. . . . 5 |- ( ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
28		biid 236	. . . . 5 |- ( A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
29		eqid 2467	. . . . 5 |- { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } = { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) }
30		biid 236	. . . . 5 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A /\ n e. ( om \ { (/) } ) ) <-> ( R FrSe A /\ X e. A /\ n e. ( om \ { (/) } ) ) )
31		biid 236	. . . . 5 |- ( ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
32		biid 236	. . . . 5 |- ( [. z / g ]. ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> [. z / g ]. ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
33		biid 236	. . . . 5 |- ( [. z / g ]. A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> [. z / g ]. A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
34		biid 236	. . . . 5 |- ( [. z / g ]. ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> [. z / g ]. ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
35		biid 236	. . . . 5 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) <-> ( R FrSe A /\ X e. A ) )
36	27, 28, 3, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35	bnj849 33355	. . . 4 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) -> { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } e. _V )
37		vex 3121	. . . . . . 7 |- f e. _V
38	37	dmex 6727	. . . . . 6 |- dom f e. _V
39		fvex 5881	. . . . . 6 |- ( f ` i ) e. _V
40	38, 39	iunex 6774	. . . . 5 |- U_ i e. dom f ( f ` i ) e. _V
41	40	rgenw 2828	. . . 4 |- A. f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) e. _V
42		iunexg 6770	. . . 4 |- ( ( { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } e. _V /\ A. f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) e. _V ) -> U_ f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) e. _V )
43	36, 41, 42	sylancl 662	. . 3 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) -> U_ f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) e. _V )
44	26, 43	syl5eqel 2559	. 2 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) -> U_ f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) e. _V )
45	5, 44	syl5eqel 2559	1 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) -> trCl ( X , A , R ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   [.wsbc 3336   \ cdif 3478   (/)c0 3790   {csn 4032   U_ciun 4330   suc csuc 4885   dom cdm 5004   Fn wfn 5588   ` cfv 5593   omcom 6694   predc-bnj14 33113   FrSe w-bnj15 33117   trClc-bnj18 33119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-reg 8028  ax-inf2 8068

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6695  df-1o 7140  df-bnj17 33112  df-bnj14 33114  df-bnj13 33116  df-bnj15 33118  df-bnj18 33120

This theorem is referenced by:  bnj1125  33420  bnj1136  33425  bnj1177  33434  bnj1413  33463  bnj1452  33480