Theorem bnj893 32276

Description: Property of trCl. Under certain conditions, the transitive closure of X in A by R is a set. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bnj893	|- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) -> trCl ( X , A , R ) e. _V )

Proof of Theorem bnj893

Dummy variables f g i n y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biid 236	. . 3 |- ( ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
2		biid 236	. . 3 |- ( A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
3		eqid 2454	. . 3 |- ( om \ { (/) } ) = ( om \ { (/) } )
4		eqid 2454	. . 3 |- { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } = { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) }
5	1, 2, 3, 4	bnj882 32274	. 2 |- trCl ( X , A , R ) = U_ f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i )
6		vex 3081	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
7		fveq1 5801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( f ` (/) ) = ( g ` (/) ) )
8	7	eqeq1d 2456	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) ) )
9	6, 8	sbcie 3329	. . . . . . . . . 10 |- ( [. g / f ]. ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
10	9	bicomi 202	. . . . . . . . 9 |- ( ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> [. g / f ]. ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
11		fveq1 5801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> ( f ` suc i ) = ( g ` suc i ) )
12		fveq1 5801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( f ` i ) = ( g ` i ) )
13	12	iuneq1d 4306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) )
14	11, 13	eqeq12d 2476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) <-> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
15	14	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
16	15	ralbidv 2846	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
17	6, 16	sbcie 3329	. . . . . . . . . 10 |- ( [. g / f ]. A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
18	17	bicomi 202	. . . . . . . . 9 |- ( A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> [. g / f ]. A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
19	4, 10, 18	bnj873 32272	. . . . . . . 8 |- { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } = { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) }
20	19	eleq2i 2532	. . . . . . 7 |- ( f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } <-> f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } )
21	20	anbi1i 695	. . . . . 6 |- ( ( f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } /\ w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) ) <-> ( f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } /\ w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) ) )
22	21	rexbii2 2859	. . . . 5 |- ( E. f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) <-> E. f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) )
23	22	abbii 2588	. . . 4 |- { w | E. f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) } = { w | E. f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) }
24		df-iun 4284	. . . 4 |- U_ f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) = { w | E. f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) }
25		df-iun 4284	. . . 4 |- U_ f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) = { w | E. f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } w e. U_ i e. dom f ( f ` i ) }
26	23, 24, 25	3eqtr4i 2493	. . 3 |- U_ f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) = U_ f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i )
27		biid 236	. . . . 5 |- ( ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
28		biid 236	. . . . 5 |- ( A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
29		eqid 2454	. . . . 5 |- { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } = { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) }
30		biid 236	. . . . 5 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A /\ n e. ( om \ { (/) } ) ) <-> ( R FrSe A /\ X e. A /\ n e. ( om \ { (/) } ) ) )
31		biid 236	. . . . 5 |- ( ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
32		biid 236	. . . . 5 |- ( [. z / g ]. ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) <-> [. z / g ]. ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
33		biid 236	. . . . 5 |- ( [. z / g ]. A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) <-> [. z / g ]. A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
34		biid 236	. . . . 5 |- ( [. z / g ]. ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> [. z / g ]. ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) )
35		biid 236	. . . . 5 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) <-> ( R FrSe A /\ X e. A ) )
36	27, 28, 3, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35	bnj849 32273	. . . 4 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) -> { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } e. _V )
37		vex 3081	. . . . . . 7 |- f e. _V
38	37	dmex 6624	. . . . . 6 |- dom f e. _V
39		fvex 5812	. . . . . 6 |- ( f ` i ) e. _V
40	38, 39	iunex 6670	. . . . 5 |- U_ i e. dom f ( f ` i ) e. _V
41	40	rgenw 2901	. . . 4 |- A. f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) e. _V
42		iunexg 6666	. . . 4 |- ( ( { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } e. _V /\ A. f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) e. _V ) -> U_ f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) e. _V )
43	36, 41, 42	sylancl 662	. . 3 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) -> U_ f e. { g | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( g Fn n /\ ( g ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( g ` suc i ) = U_ y e. ( g ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) e. _V )
44	26, 43	syl5eqel 2546	. 2 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) -> U_ f e. { f | E. n e. ( om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) /\ A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) ) } U_ i e. dom f ( f ` i ) e. _V )
45	5, 44	syl5eqel 2546	1 |- ( ( R FrSe A /\ X e. A ) -> trCl ( X , A , R ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   {cab 2439   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078   [.wsbc 3294   \ cdif 3436   (/)c0 3748   {csn 3988   U_ciun 4282   suc csuc 4832   dom cdm 4951   Fn wfn 5524   ` cfv 5529   omcom 6589   predc-bnj14 32031   FrSe w-bnj15 32035   trClc-bnj18 32037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-reg 7922  ax-inf2 7962

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-om 6590  df-1o 7033  df-bnj17 32030  df-bnj14 32032  df-bnj13 32034  df-bnj15 32036  df-bnj18 32038

This theorem is referenced by:  bnj1125  32338  bnj1136  32343  bnj1177  32352  bnj1413  32381  bnj1452  32398