Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj893 Structured version   Unicode version

Theorem bnj893 32276
Description: Property of  trCl. Under certain conditions, the transitive closure of  X in  A by  R is a set. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bnj893  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  trCl ( X ,  A ,  R )  e.  _V )

Proof of Theorem bnj893
Dummy variables  f 
g  i  n  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biid 236 . . 3  |-  ( ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  <->  ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )
)
2 biid 236 . . 3  |-  ( A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
3 eqid 2454 . . 3  |-  ( om 
\  { (/) } )  =  ( om  \  { (/)
} )
4 eqid 2454 . . 3  |-  { f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( f  Fn  n  /\  (
f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) }  =  { f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( f  Fn  n  /\  (
f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) }
51, 2, 3, 4bnj882 32274 . 2  |-  trCl ( X ,  A ,  R )  =  U_ f  e.  { f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/) } ) ( f  Fn  n  /\  ( f `
 (/) )  =  pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )
6 vex 3081 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
7 fveq1 5801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  (/) )  =  ( g `  (/) ) )
87eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  <->  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )
) )
96, 8sbcie 3329 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. g  /  f ]. (
f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  <->  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )
)
109bicomi 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  <->  [. g  /  f ]. ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )
)
11 fveq1 5801 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  suc  i )  =  ( g `  suc  i ) )
12 fveq1 5801 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  i )  =  ( g `  i ) )
1312iuneq1d 4306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  U_ y  e.  ( f `  i
)  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ y  e.  ( g `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) )
1411, 13eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R )  <->  ( g `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( g `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
1514imbi2d 316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i
)  =  U_ y  e.  ( g `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
1615ralbidv 2846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  ( A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
176, 16sbcie 3329 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. g  /  f ]. A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
1817bicomi 202 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  [. g  / 
f ]. A. i  e. 
om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
194, 10, 18bnj873 32272 . . . . . . . 8  |-  { f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( f  Fn  n  /\  (
f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) }  =  { g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( g  Fn  n  /\  (
g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) }
2019eleq2i 2532 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  { f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/) } ) ( f  Fn  n  /\  ( f `
 (/) )  =  pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) }  <->  f  e.  {
g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( g  Fn  n  /\  (
g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } )
2120anbi1i 695 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  { f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( f  Fn  n  /\  (
f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) }  /\  w  e. 
U_ i  e.  dom  f ( f `  i ) )  <->  ( f  e.  { g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/) } ) ( g  Fn  n  /\  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) }  /\  w  e. 
U_ i  e.  dom  f ( f `  i ) ) )
2221rexbii2 2859 . . . . 5  |-  ( E. f  e.  { f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( f  Fn  n  /\  (
f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } w  e.  U_ i  e.  dom  f ( f `  i )  <->  E. f  e.  { g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( g  Fn  n  /\  (
g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } w  e.  U_ i  e.  dom  f ( f `  i ) )
2322abbii 2588 . . . 4  |-  { w  |  E. f  e.  {
f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( f  Fn  n  /\  (
f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } w  e.  U_ i  e.  dom  f ( f `  i ) }  =  { w  |  E. f  e.  {
g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( g  Fn  n  /\  (
g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } w  e.  U_ i  e.  dom  f ( f `  i ) }
24 df-iun 4284 . . . 4  |-  U_ f  e.  { f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/) } ) ( f  Fn  n  /\  ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  =  { w  |  E. f  e.  { f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/) } ) ( f  Fn  n  /\  ( f `
 (/) )  =  pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } w  e.  U_ i  e.  dom  f ( f `  i ) }
25 df-iun 4284 . . . 4  |-  U_ f  e.  { g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/) } ) ( g  Fn  n  /\  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  =  { w  |  E. f  e.  { g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/) } ) ( g  Fn  n  /\  ( g `
 (/) )  =  pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } w  e.  U_ i  e.  dom  f ( f `  i ) }
2623, 24, 253eqtr4i 2493 . . 3  |-  U_ f  e.  { f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/) } ) ( f  Fn  n  /\  ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  = 
U_ f  e.  {
g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( g  Fn  n  /\  (
g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )
27 biid 236 . . . . 5  |-  ( ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  <->  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )
)
28 biid 236 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
29 eqid 2454 . . . . 5  |-  { g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( g  Fn  n  /\  (
g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) }  =  { g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( g  Fn  n  /\  (
g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) }
30 biid 236 . . . . 5  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  n  e.  ( om  \  { (/) } ) )  <-> 
( R  FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  n  e.  ( om  \  { (/) } ) ) )
31 biid 236 . . . . 5  |-  ( ( g  Fn  n  /\  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )  <-> 
( g  Fn  n  /\  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) )
32 biid 236 . . . . 5  |-  ( [. z  /  g ]. (
g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  <->  [. z  /  g ]. ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )
)
33 biid 236 . . . . 5  |-  ( [. z  /  g ]. A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  [. z  / 
g ]. A. i  e. 
om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
34 biid 236 . . . . 5  |-  ( [. z  /  g ]. (
g  Fn  n  /\  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )  <->  [. z  /  g ]. ( g  Fn  n  /\  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) )
35 biid 236 . . . . 5  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  <->  ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )
)
3627, 28, 3, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35bnj849 32273 . . . 4  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  { g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/) } ) ( g  Fn  n  /\  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) }  e.  _V )
37 vex 3081 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
3837dmex 6624 . . . . . 6  |-  dom  f  e.  _V
39 fvex 5812 . . . . . 6  |-  ( f `
 i )  e. 
_V
4038, 39iunex 6670 . . . . 5  |-  U_ i  e.  dom  f ( f `
 i )  e. 
_V
4140rgenw 2901 . . . 4  |-  A. f  e.  { g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/) } ) ( g  Fn  n  /\  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  e. 
_V
42 iunexg 6666 . . . 4  |-  ( ( { g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/) } ) ( g  Fn  n  /\  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) }  e.  _V  /\  A. f  e.  { g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( g  Fn  n  /\  (
g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  e. 
_V )  ->  U_ f  e.  { g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/) } ) ( g  Fn  n  /\  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  e. 
_V )
4336, 41, 42sylancl 662 . . 3  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  U_ f  e.  {
g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( g  Fn  n  /\  (
g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  e. 
_V )
4426, 43syl5eqel 2546 . 2  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  U_ f  e.  {
f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( f  Fn  n  /\  (
f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  e. 
_V )
455, 44syl5eqel 2546 1  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  trCl ( X ,  A ,  R )  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2439   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078   [.wsbc 3294    \ cdif 3436   (/)c0 3748   {csn 3988   U_ciun 4282   suc csuc 4832   dom cdm 4951    Fn wfn 5524   ` cfv 5529   omcom 6589    predc-bnj14 32031    FrSe w-bnj15 32035    trClc-bnj18 32037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-reg 7922  ax-inf2 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-om 6590  df-1o 7033  df-bnj17 32030  df-bnj14 32032  df-bnj13 32034  df-bnj15 32036  df-bnj18 32038
This theorem is referenced by:  bnj1125  32338  bnj1136  32343  bnj1177  32352  bnj1413  32381  bnj1452  32398
  Copyright terms: Public domain W3C validator