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Theorem bnj865 31845
Description: Technical lemma for bnj69 31930. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj865.1  |-  ( ph  <->  ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )
)
bnj865.2  |-  ( ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
bnj865.3  |-  D  =  ( om  \  { (/)
} )
bnj865.5  |-  ( ch  <->  ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  n  e.  D )
)
bnj865.6  |-  ( th  <->  ( f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps ) )
Assertion
Ref Expression
bnj865  |-  E. w A. n ( ch  ->  E. f  e.  w  th )
Distinct variable groups:    A, f,
i, n, y    w, A, f, n    D, f, i, n    w, D    R, f, i, n, y   
w, R    f, X, n, w    ph, w    ps, w
Allowed substitution hints:    ph( y, f, i, n)    ps( y,
f, i, n)    ch( y, w, f, i, n)    th( y, w, f, i, n)    D( y)    X( y, i)

Proof of Theorem bnj865
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj865.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  <->  ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )
)
2 bnj865.2 . . . . . . 7  |-  ( ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
3 bnj865.3 . . . . . . 7  |-  D  =  ( om  \  { (/)
} )
41, 2, 3bnj852 31843 . . . . . 6  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  A. n  e.  D  E! f ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) )
5 omex 7841 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  _V
6 difexg 4435 . . . . . . . . 9  |-  ( om  e.  _V  ->  ( om  \  { (/) } )  e.  _V )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( om 
\  { (/) } )  e.  _V
83, 7eqeltri 2508 . . . . . . 7  |-  D  e. 
_V
9 raleq 2912 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  D  ->  ( A. n  e.  z  E! f ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  <->  A. n  e.  D  E! f ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) ) )
10 raleq 2912 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  D  ->  ( A. n  e.  z  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  <->  A. n  e.  D  E. f  e.  w  (
f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps ) ) )
1110exbidv 1680 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  D  ->  ( E. w A. n  e.  z  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  <->  E. w A. n  e.  D  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) ) )
129, 11imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( z  =  D  ->  (
( A. n  e.  z  E! f ( f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps )  ->  E. w A. n  e.  z  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
)  <->  ( A. n  e.  D  E! f
( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  ->  E. w A. n  e.  D  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) ) ) )
13 zfrep6 6540 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  z  E! f ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  ->  E. w A. n  e.  z  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
)
148, 12, 13vtocl 3019 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  D  E! f ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  ->  E. w A. n  e.  D  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
)
154, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  E. w A. n  e.  D  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) )
16 19.37v 1918 . . . . 5  |-  ( E. w ( ( R 
FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  A. n  e.  D  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) )  <->  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  E. w A. n  e.  D  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
) )
1715, 16mpbir 209 . . . 4  |-  E. w
( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A
)  ->  A. n  e.  D  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) )
18 df-ral 2715 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  D  E. f  e.  w  (
f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps )  <->  A. n
( n  e.  D  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
) )
1918imbi2i 312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A
)  ->  A. n  e.  D  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) )  <->  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  A. n
( n  e.  D  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
) ) )
20 19.21v 1909 . . . . . . 7  |-  ( A. n ( ( R 
FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  (
n  e.  D  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
) )  <->  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  A. n
( n  e.  D  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
) ) )
2119, 20bitr4i 252 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A
)  ->  A. n  e.  D  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) )  <->  A. n
( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A
)  ->  ( n  e.  D  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) ) ) )
2221exbii 1634 . . . . 5  |-  ( E. w ( ( R 
FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  A. n  e.  D  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) )  <->  E. w A. n ( ( R 
FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  (
n  e.  D  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
) ) )
23 impexp 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A
)  /\  n  e.  D )  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) )  <->  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  (
n  e.  D  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
) ) )
24 df-3an 967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  n  e.  D )  <->  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A
)  /\  n  e.  D ) )
2524bicomi 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A
)  /\  n  e.  D )  <->  ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  n  e.  D ) )
2625imbi1i 325 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A
)  /\  n  e.  D )  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) )  <->  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  n  e.  D )  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) ) )
2723, 26bitr3i 251 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A
)  ->  ( n  e.  D  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) ) )  <->  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  n  e.  D )  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) ) )
2827albii 1610 . . . . . 6  |-  ( A. n ( ( R 
FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  (
n  e.  D  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
) )  <->  A. n
( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  n  e.  D
)  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) ) )
2928exbii 1634 . . . . 5  |-  ( E. w A. n ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A
)  ->  ( n  e.  D  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) ) )  <->  E. w A. n ( ( R 
FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  n  e.  D )  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) ) )
3022, 29bitri 249 . . . 4  |-  ( E. w ( ( R 
FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  A. n  e.  D  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) )  <->  E. w A. n ( ( R 
FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  n  e.  D )  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) ) )
3117, 30mpbi 208 . . 3  |-  E. w A. n ( ( R 
FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  n  e.  D )  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) )
32 bnj865.5 . . . . . . 7  |-  ( ch  <->  ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  n  e.  D )
)
3332bicomi 202 . . . . . 6  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  n  e.  D )  <->  ch )
3433imbi1i 325 . . . . 5  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  n  e.  D
)  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) )  <->  ( ch  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
) )
3534albii 1610 . . . 4  |-  ( A. n ( ( R 
FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  n  e.  D )  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) )  <->  A. n
( ch  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) ) )
3635exbii 1634 . . 3  |-  ( E. w A. n ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  n  e.  D
)  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) )  <->  E. w A. n ( ch  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps ) ) )
3731, 36mpbi 208 . 2  |-  E. w A. n ( ch  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps ) )
38 bnj865.6 . . . . . 6  |-  ( th  <->  ( f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps ) )
3938rexbii 2735 . . . . 5  |-  ( E. f  e.  w  th  <->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps ) )
4039imbi2i 312 . . . 4  |-  ( ( ch  ->  E. f  e.  w  th )  <->  ( ch  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) ) )
4140albii 1610 . . 3  |-  ( A. n ( ch  ->  E. f  e.  w  th ) 
<-> 
A. n ( ch 
->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
) )
4241exbii 1634 . 2  |-  ( E. w A. n ( ch  ->  E. f  e.  w  th )  <->  E. w A. n ( ch  ->  E. f  e.  w  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) ) )
4337, 42mpbir 209 1  |-  E. w A. n ( ch  ->  E. f  e.  w  th )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   E!weu 2252   A.wral 2710   E.wrex 2711   _Vcvv 2967    \ cdif 3320   (/)c0 3632   {csn 3872   U_ciun 4166   suc csuc 4716    Fn wfn 5408   ` cfv 5413   omcom 6471    predc-bnj14 31605    FrSe w-bnj15 31609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-reg 7799  ax-inf2 7839
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-om 6472  df-1o 6912  df-bnj17 31604  df-bnj14 31606  df-bnj13 31608  df-bnj15 31610
This theorem is referenced by:  bnj849  31847
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