Theorem bnj519 12520

Description: First-order logic and set theory.

Hypothesis

Ref	Expression
bnj519.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
bnj519	|- (B e. _V -> Fun {<.A, B>.})

Proof of Theorem bnj519

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq2 3159	. . . 4 |- (B = if(B e. _V, B, (/)) -> <.A, B>. = <.A, if(B e. _V, B, (/))>.)
2	1	sneqd 3056	. . 3 |- (B = if(B e. _V, B, (/)) -> {<.A, B>.} = {<.A, if(B e. _V, B, (/))>.})
3		funeq 4441	. . 3 |- ({<.A, B>.} = {<.A, if(B e. _V, B, (/))>.} -> (Fun {<.A, B>.} <-> Fun {<.A, if(B e. _V, B, (/))>.}))
4	2, 3	syl 12	. 2 |- (B = if(B e. _V, B, (/)) -> (Fun {<.A, B>.} <-> Fun {<.A, if(B e. _V, B, (/))>.}))
5		bnj519.1	. . 3 |- A e. _V
6		0ex 3446	. . . 4 |- (/) e. _V
7	6	elimel 3025	. . 3 |- if(B e. _V, B, (/)) e. _V
8	5, 7	funsn 4463	. 2 |- Fun {<.A, if(B e. _V, B, (/))>.}
9	4, 8	dedth 3011	1 |- (B e. _V -> Fun {<.A, B>.})

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  ifcif 2982  {csn 3044  <.cop 3046  Fun wfun 3992

This theorem is referenced by:  bnj97 13220  bnj522 13261  bnj535 13265

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-fun 4008

Copyright terms: Public domain