Theorem bnj33OLD 12402

Description: First-order logic and set theory.

Assertion

Ref	Expression
bnj33OLD	|- ([y / x]wRx <-> wRy)

Distinct variable groups:   x,R   x,w

Proof of Theorem bnj33OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 2295	. . . . . 6 |- x e. _V
2		visset 2295	. . . . . 6 |- w e. _V
3	1, 2	brcnv 4144	. . . . 5 |- (x`'Rw <-> wRx)
4	3	bicomi 189	. . . 4 |- (wRx <-> x`'Rw)
5	4	sbbii 1538	. . 3 |- ([y / x]wRx <-> [y / x]x`'Rw)
6		brab1 3384	. . . 4 |- (x`'Rw <-> x e. {z | z`'Rw})
7	6	sbbii 1538	. . 3 |- ([y / x]x`'Rw <-> [y / x]x e. {z | z`'Rw})
8		clelsb3 1990	. . 3 |- ([y / x]x e. {z | z`'Rw} <-> y e. {z | z`'Rw})
9	5, 7, 8	3bitri 194	. 2 |- ([y / x]wRx <-> y e. {z | z`'Rw})
10		brab1 3384	. 2 |- (y`'Rw <-> y e. {z | z`'Rw})
11		visset 2295	. . 3 |- y e. _V
12	11, 2	brcnv 4144	. 2 |- (y`'Rw <-> wRy)
13	9, 10, 12	3bitr2i 196	1 |- ([y / x]wRx <-> wRy)

Syntax hints:   <-> wb 163   e. wcel 1300  [wsbc 1534  {cab 1871   class class class wbr 3338  `'ccnv 3985

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-cnv 4002

Copyright terms: Public domain