Theorem bnj24 12388

Description: First-order logic and set theory.

Assertion

Ref	Expression
bnj24	|- (A.z e. B -. zRy -> A.w(wRy -> w e/ B))

Distinct variable groups:   w,B,z   w,R,z   y,w,z

Proof of Theorem bnj24

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 1317	. 2 |- (A.z e. B -. zRy -> A.wA.z e. B -. zRy)
2		df-ral 2109	. . . 4 |- (A.z e. B -. zRy <-> A.z(z e. B -> -. zRy))
3		stdpc4 1550	. . . . 5 |- (A.z(z e. B -> -. zRy) -> [w / z](z e. B -> -. zRy))
4		sbim 1604	. . . . . 6 |- ([w / z](z e. B -> -. zRy) <-> ([w / z]z e. B -> [w / z] -. zRy))
5		clelsb3 1990	. . . . . . 7 |- ([w / z]z e. B <-> w e. B)
6		sbn 1601	. . . . . . . 8 |- ([w / z] -. zRy <-> -. [w / z]zRy)
7		clelsb3 1990	. . . . . . . . . 10 |- ([w / z]z e. {v | vRy} <-> w e. {v | vRy})
8		brab1 3384	. . . . . . . . . . 11 |- (zRy <-> z e. {v | vRy})
9	8	sbbii 1538	. . . . . . . . . 10 |- ([w / z]zRy <-> [w / z]z e. {v | vRy})
10		brab1 3384	. . . . . . . . . 10 |- (wRy <-> w e. {v | vRy})
11	7, 9, 10	3bitr4i 200	. . . . . . . . 9 |- ([w / z]zRy <-> wRy)
12	11	notbii 204	. . . . . . . 8 |- (-. [w / z]zRy <-> -. wRy)
13	6, 12	bitri 190	. . . . . . 7 |- ([w / z] -. zRy <-> -. wRy)
14	5, 13	imbi12i 205	. . . . . 6 |- (([w / z]z e. B -> [w / z] -. zRy) <-> (w e. B -> -. wRy))
15	4, 14	bitri 190	. . . . 5 |- ([w / z](z e. B -> -. zRy) <-> (w e. B -> -. wRy))
16	3, 15	sylib 215	. . . 4 |- (A.z(z e. B -> -. zRy) -> (w e. B -> -. wRy))
17	2, 16	sylbi 216	. . 3 |- (A.z e. B -. zRy -> (w e. B -> -. wRy))
18		con2b 182	. . . 4 |- ((w e. B -> -. wRy) <-> (wRy -> -. w e. B))
19		df-nel 2020	. . . . . 6 |- (w e/ B <-> -. w e. B)
20	19	bicomi 189	. . . . 5 |- (-. w e. B <-> w e/ B)
21	20	imbi2i 202	. . . 4 |- ((wRy -> -. w e. B) <-> (wRy -> w e/ B))
22	18, 21	bitri 190	. . 3 |- ((w e. B -> -. wRy) <-> (wRy -> w e/ B))
23	17, 22	sylib 215	. 2 |- (A.z e. B -. zRy -> (wRy -> w e/ B))
24	1, 23	19.21ai 1345	1 |- (A.z e. B -. zRy -> A.w(wRy -> w e/ B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3  A.wal 1296   e. wcel 1300  [wsbc 1534  {cab 1871   e/ wnel 2018  A.wral 2105   class class class wbr 3338

This theorem is referenced by:  bnj23 12397

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-nel 2020  df-ral 2109  df-v 2294  df-un 2600  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339

Copyright terms: Public domain