Theorem bnj214 12508

Description: First-order logic and set theory.

Assertion

Ref	Expression
bnj214	|- ((N e. om /\ A e. N /\ A =/= (/)) -> E.x e. N A = suc x)

Distinct variable groups:   x,A   x,N

Proof of Theorem bnj214

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.41v 2236	. . . 4 |- (E.x e. om (A = suc x /\ (N e. om /\ A e. N)) <-> (E.x e. om A = suc x /\ (N e. om /\ A e. N)))
2		bnj171 12036	. . . . 5 |- ((N e. om /\ A e. N /\ A =/= (/)) <-> ((A e. N /\ N e. om) /\ A =/= (/)))
3		nnsuc 3969	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ A =/= (/)) -> E.x e. om A = suc x)
4		elnn 3962	. . . . . 6 |- ((A e. N /\ N e. om) -> A e. om)
5	3, 4	sylan 497	. . . . 5 |- (((A e. N /\ N e. om) /\ A =/= (/)) -> E.x e. om A = suc x)
6	2, 5	sylbi 216	. . . 4 |- ((N e. om /\ A e. N /\ A =/= (/)) -> E.x e. om A = suc x)
7		3simpa 872	. . . 4 |- ((N e. om /\ A e. N /\ A =/= (/)) -> (N e. om /\ A e. N))
8	1, 6, 7	sylanbrc 527	. . 3 |- ((N e. om /\ A e. N /\ A =/= (/)) -> E.x e. om (A = suc x /\ (N e. om /\ A e. N)))
9		rexex 2154	. . 3 |- (E.x e. om (A = suc x /\ (N e. om /\ A e. N)) -> E.x(A = suc x /\ (N e. om /\ A e. N)))
10		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
11	10	bnj216 12507	. . . . . . . 8 |- (A = suc x -> x e. A)
12		nnon 3957	. . . . . . . . 9 |- (N e. om -> N e. On)
13	12	anim1i 361	. . . . . . . 8 |- ((N e. om /\ A e. N) -> (N e. On /\ A e. N))
14	11, 13	anim12i 360	. . . . . . 7 |- ((A = suc x /\ (N e. om /\ A e. N)) -> (x e. A /\ (N e. On /\ A e. N)))
15		bnj176 12045	. . . . . . 7 |- ((N e. On /\ x e. A /\ A e. N) <-> (x e. A /\ (N e. On /\ A e. N)))
16	14, 15	sylibr 217	. . . . . 6 |- ((A = suc x /\ (N e. om /\ A e. N)) -> (N e. On /\ x e. A /\ A e. N))
17		ontr1 3710	. . . . . . 7 |- (N e. On -> ((x e. A /\ A e. N) -> x e. N))
18	17	3impib 1065	. . . . . 6 |- ((N e. On /\ x e. A /\ A e. N) -> x e. N)
19	16, 18	syl 12	. . . . 5 |- ((A = suc x /\ (N e. om /\ A e. N)) -> x e. N)
20		simpl 346	. . . . 5 |- ((A = suc x /\ (N e. om /\ A e. N)) -> A = suc x)
21	19, 20	jca 310	. . . 4 |- ((A = suc x /\ (N e. om /\ A e. N)) -> (x e. N /\ A = suc x))
22	21	eximi 1387	. . 3 |- (E.x(A = suc x /\ (N e. om /\ A e. N)) -> E.x(x e. N /\ A = suc x))
23	8, 9, 22	3syl 24	. 2 |- ((N e. om /\ A e. N /\ A =/= (/)) -> E.x(x e. N /\ A = suc x))
24		df-rex 2110	. 2 |- (E.x e. N A = suc x <-> E.x(x e. N /\ A = suc x))
25	23, 24	sylibr 217	1 |- ((N e. om /\ A e. N /\ A =/= (/)) -> E.x e. N A = suc x)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  E.wrex 2106  (/)c0 2875  Oncon0 3657  suc csuc 3659  omcom 3949

This theorem is referenced by:  bnj221 12512

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950

Copyright terms: Public domain