Theorem bnj1533 13182

Description: First-order logic and set theory.

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1533.1	|- (th -> A.z e. B -. z e. D)
bnj1533.2	|- B C_ A
bnj1533.3	|- D = {z e. A | C =/= E}

Assertion

Ref	Expression
bnj1533	|- (th -> A.z e. B C = E)

Proof of Theorem bnj1533

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1533.1	. . . 4 |- (th -> A.z e. B -. z e. D)
2	1	bnj1211 12984	. . 3 |- (th -> A.z(z e. B -> -. z e. D))
3		bnj1533.3	. . . . . . . 8 |- D = {z e. A | C =/= E}
4	3	rabeq2i 2291	. . . . . . 7 |- (z e. D <-> (z e. A /\ C =/= E))
5	4	notbii 204	. . . . . 6 |- (-. z e. D <-> -. (z e. A /\ C =/= E))
6		imnan 261	. . . . . 6 |- ((z e. A -> -. C =/= E) <-> -. (z e. A /\ C =/= E))
7		nne 2021	. . . . . . 7 |- (-. C =/= E <-> C = E)
8	7	imbi2i 202	. . . . . 6 |- ((z e. A -> -. C =/= E) <-> (z e. A -> C = E))
9	5, 6, 8	3bitr2i 196	. . . . 5 |- (-. z e. D <-> (z e. A -> C = E))
10	9	imbi2i 202	. . . 4 |- ((z e. B -> -. z e. D) <-> (z e. B -> (z e. A -> C = E)))
11		bnj1533.2	. . . . . . 7 |- B C_ A
12	11	sseli 2617	. . . . . 6 |- (z e. B -> z e. A)
13	12	imim1i 19	. . . . 5 |- ((z e. A -> C = E) -> (z e. B -> C = E))
14	13	bnj1051 12890	. . . 4 |- ((z e. B -> (z e. A -> C = E)) -> (z e. B -> C = E))
15	10, 14	sylbi 216	. . 3 |- ((z e. B -> -. z e. D) -> (z e. B -> C = E))
16	2, 15	bnj1478 13154	. 2 |- (th -> A.z(z e. B -> C = E))
17	16	bnj1142 12940	1 |- (th -> A.z e. B C = E)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  {crab 2108   C_ wss 2593

This theorem is referenced by:  bnj1523 13577

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-10 1308  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rab 2112  df-in 2603  df-ss 2605

Copyright terms: Public domain