Theorem bnj1417 33830

Description: Technical lemma for bnj60 33851. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1417.1	|- ( ph <-> R FrSe A )
bnj1417.2	|- ( ps <-> -. x e. trCl ( x , A , R ) )
bnj1417.3	|- ( ch <-> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
bnj1417.4	|- ( th <-> ( ph /\ x e. A /\ ch ) )
bnj1417.5	|- B = ( pred ( x , A , R ) u. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) )

Assertion

Ref	Expression
bnj1417	|- ( ph -> A. x e. A -. x e. trCl ( x , A , R ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, R, y   ph, x, y   ps, y

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( x, y)   th( x, y)   B( x, y)

Proof of Theorem bnj1417

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1417.1	. . . 4 |- ( ph <-> R FrSe A )
2	1	biimpi 194	. . 3 |- ( ph -> R FrSe A )
3		bnj1417.4	. . . . . 6 |- ( th <-> ( ph /\ x e. A /\ ch ) )
4		bnj1418 33829	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. pred ( x , A , R ) -> x R x )
5	4	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( th /\ x e. pred ( x , A , R ) ) -> x R x )
6	3, 2	bnj835 33550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( th -> R FrSe A )
7		df-bnj15 33478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R FrSe A <-> ( R Fr A /\ R Se A ) )
8	7	simplbi 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R FrSe A -> R Fr A )
9	6, 8	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> R Fr A )
10		bnj213 33673	. . . . . . . . . . . 12 |- pred ( x , A , R ) C_ A
11	10	sseli 3485	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. pred ( x , A , R ) -> x e. A )
12		frirr 4846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R Fr A /\ x e. A ) -> -. x R x )
13	9, 11, 12	syl2an 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( th /\ x e. pred ( x , A , R ) ) -> -. x R x )
14	5, 13	pm2.65da 576	. . . . . . . . 9 |- ( th -> -. x e. pred ( x , A , R ) )
15		nfv 1694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y ph
16		nfv 1694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y x e. A
17		bnj1417.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch <-> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
18	17	bnj1095 33573	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> A. y ch )
19	18	nfi 1610	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y ch
20	15, 16, 19	nf3an 1916	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ( ph /\ x e. A /\ ch )
21	3, 20	nfxfr 1632	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y th
22	6	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> R FrSe A )
23		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y e. pred ( x , A , R ) )
24	10, 23	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y e. A )
25		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> x e. trCl ( y , A , R ) )
26		bnj1125 33781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R FrSe A /\ y e. A /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> trCl ( x , A , R ) C_ trCl ( y , A , R ) )
27	22, 24, 25, 26	syl3anc 1229	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> trCl ( x , A , R ) C_ trCl ( y , A , R ) )
28		bnj1147 33783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- trCl ( y , A , R ) C_ A
29	28, 25	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> x e. A )
30		bnj906 33721	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R FrSe A /\ x e. A ) -> pred ( x , A , R ) C_ trCl ( x , A , R ) )
31	22, 29, 30	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> pred ( x , A , R ) C_ trCl ( x , A , R ) )
32	31, 23	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y e. trCl ( x , A , R ) )
33	27, 32	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y e. trCl ( y , A , R ) )
34	17	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
35	3, 34	bnj837 33552	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( th -> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
36	35	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
37		bnj1418 33829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. pred ( x , A , R ) -> y R x )
38	37	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y R x )
39		rsp 2809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) -> ( y e. A -> ( y R x -> [. y / x ]. ps ) ) )
40	36, 24, 38, 39	syl3c 61	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> [. y / x ]. ps )
41		vex 3098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
42		bnj1417.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ps <-> -. x e. trCl ( x , A , R ) )
43		eleq1 2515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( x e. trCl ( x , A , R ) <-> y e. trCl ( x , A , R ) ) )
44		bnj1318 33814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> trCl ( x , A , R ) = trCl ( y , A , R ) )
45	44	eleq2d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( y e. trCl ( x , A , R ) <-> y e. trCl ( y , A , R ) ) )
46	43, 45	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( x e. trCl ( x , A , R ) <-> y e. trCl ( y , A , R ) ) )
47	46	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( -. x e. trCl ( x , A , R ) <-> -. y e. trCl ( y , A , R ) ) )
48	42, 47	syl5bb 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( ps <-> -. y e. trCl ( y , A , R ) ) )
49	41, 48	sbcie 3348	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. y / x ]. ps <-> -. y e. trCl ( y , A , R ) )
50	40, 49	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> -. y e. trCl ( y , A , R ) )
51	33, 50	pm2.65da 576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> -. x e. trCl ( y , A , R ) )
52	51	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( th -> ( y e. pred ( x , A , R ) -> -. x e. trCl ( y , A , R ) ) )
53	21, 52	ralrimi 2843	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> A. y e. pred ( x , A , R ) -. x e. trCl ( y , A , R ) )
54		ralnex 2889	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. pred ( x , A , R ) -. x e. trCl ( y , A , R ) <-> -. E. y e. pred ( x , A , R ) x e. trCl ( y , A , R ) )
55	53, 54	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( th -> -. E. y e. pred ( x , A , R ) x e. trCl ( y , A , R ) )
56		eliun 4320	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) <-> E. y e. pred ( x , A , R ) x e. trCl ( y , A , R ) )
57	55, 56	sylnibr 305	. . . . . . . . 9 |- ( th -> -. x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) )
58		ioran 490	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( x e. pred ( x , A , R ) \/ x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) <-> ( -. x e. pred ( x , A , R ) /\ -. x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) )
59	14, 57, 58	sylanbrc 664	. . . . . . . 8 |- ( th -> -. ( x e. pred ( x , A , R ) \/ x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) )
60	3	simp2bi 1013	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> x e. A )
61		bnj1417.5	. . . . . . . . . . . 12 |- B = ( pred ( x , A , R ) u. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) )
62	61	bnj1414 33826	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R FrSe A /\ x e. A ) -> trCl ( x , A , R ) = B )
63	6, 60, 62	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( th -> trCl ( x , A , R ) = B )
64	63	eleq2d 2513	. . . . . . . . 9 |- ( th -> ( x e. trCl ( x , A , R ) <-> x e. B ) )
65	61	bnj1138 33580	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B <-> ( x e. pred ( x , A , R ) \/ x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) )
66	64, 65	syl6bb 261	. . . . . . . 8 |- ( th -> ( x e. trCl ( x , A , R ) <-> ( x e. pred ( x , A , R ) \/ x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) ) )
67	59, 66	mtbird 301	. . . . . . 7 |- ( th -> -. x e. trCl ( x , A , R ) )
68	67, 42	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( th -> ps )
69	3, 68	sylbir 213	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A /\ ch ) -> ps )
70	69	3exp 1196	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A -> ( ch -> ps ) ) )
71	70	ralrimiv 2855	. . 3 |- ( ph -> A. x e. A ( ch -> ps ) )
72	17	bnj1204 33801	. . 3 |- ( ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ch -> ps ) ) -> A. x e. A ps )
73	2, 71, 72	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> A. x e. A ps )
74	42	ralbii 2874	. 2 |- ( A. x e. A ps <-> A. x e. A -. x e. trCl ( x , A , R ) )
75	73, 74	sylib 196	1 |- ( ph -> A. x e. A -. x e. trCl ( x , A , R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   [.wsbc 3313   u. cun 3459   C_ wss 3461   U_ciun 4315   class class class wbr 4437   Fr wfr 4825   predc-bnj14 33473   Se w-bnj13 33475   FrSe w-bnj15 33477   trClc-bnj18 33479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-reg 8021  ax-inf2 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-om 6686  df-1o 7132  df-bnj17 33472  df-bnj14 33474  df-bnj13 33476  df-bnj15 33478  df-bnj18 33480  df-bnj19 33482

This theorem is referenced by:  bnj1421  33831