Theorem bnj1417 29846

Description: Technical lemma for bnj60 29867. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1417.1	|- ( ph <-> R FrSe A )
bnj1417.2	|- ( ps <-> -. x e. trCl ( x , A , R ) )
bnj1417.3	|- ( ch <-> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
bnj1417.4	|- ( th <-> ( ph /\ x e. A /\ ch ) )
bnj1417.5	|- B = ( pred ( x , A , R ) u. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) )

Assertion

Ref	Expression
bnj1417	|- ( ph -> A. x e. A -. x e. trCl ( x , A , R ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, R, y   ph, x, y   ps, y

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( x, y)   th( x, y)   B( x, y)

Proof of Theorem bnj1417

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1417.1	. . . 4 |- ( ph <-> R FrSe A )
2	1	biimpi 197	. . 3 |- ( ph -> R FrSe A )
3		bnj1417.4	. . . . . 6 |- ( th <-> ( ph /\ x e. A /\ ch ) )
4		bnj1418 29845	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. pred ( x , A , R ) -> x R x )
5	4	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( th /\ x e. pred ( x , A , R ) ) -> x R x )
6	3, 2	bnj835 29566	. . . . . . . . . . . 12 |- ( th -> R FrSe A )
7		df-bnj15 29494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R FrSe A <-> ( R Fr A /\ R Se A ) )
8	7	simplbi 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R FrSe A -> R Fr A )
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> R Fr A )
10		bnj213 29689	. . . . . . . . . . . 12 |- pred ( x , A , R ) C_ A
11	10	sseli 3460	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. pred ( x , A , R ) -> x e. A )
12		frirr 4827	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R Fr A /\ x e. A ) -> -. x R x )
13	9, 11, 12	syl2an 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( th /\ x e. pred ( x , A , R ) ) -> -. x R x )
14	5, 13	pm2.65da 578	. . . . . . . . 9 |- ( th -> -. x e. pred ( x , A , R ) )
15		nfv 1751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y ph
16		nfv 1751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y x e. A
17		bnj1417.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch <-> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
18	17	bnj1095 29589	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> A. y ch )
19	18	nfi 1670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y ch
20	15, 16, 19	nf3an 1986	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ( ph /\ x e. A /\ ch )
21	3, 20	nfxfr 1692	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y th
22	6	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> R FrSe A )
23		simplr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y e. pred ( x , A , R ) )
24	10, 23	sseldi 3462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y e. A )
25		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> x e. trCl ( y , A , R ) )
26		bnj1125 29797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R FrSe A /\ y e. A /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> trCl ( x , A , R ) C_ trCl ( y , A , R ) )
27	22, 24, 25, 26	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> trCl ( x , A , R ) C_ trCl ( y , A , R ) )
28		bnj1147 29799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- trCl ( y , A , R ) C_ A
29	28, 25	sseldi 3462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> x e. A )
30		bnj906 29737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R FrSe A /\ x e. A ) -> pred ( x , A , R ) C_ trCl ( x , A , R ) )
31	22, 29, 30	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> pred ( x , A , R ) C_ trCl ( x , A , R ) )
32	31, 23	sseldd 3465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y e. trCl ( x , A , R ) )
33	27, 32	sseldd 3465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y e. trCl ( y , A , R ) )
34	17	biimpi 197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
35	3, 34	bnj837 29568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( th -> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
36	35	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
37		bnj1418 29845	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. pred ( x , A , R ) -> y R x )
38	37	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y R x )
39		rsp 2791	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) -> ( y e. A -> ( y R x -> [. y / x ]. ps ) ) )
40	36, 24, 38, 39	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> [. y / x ]. ps )
41		vex 3084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
42		bnj1417.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ps <-> -. x e. trCl ( x , A , R ) )
43		eleq1 2494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( x e. trCl ( x , A , R ) <-> y e. trCl ( x , A , R ) ) )
44		bnj1318 29830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> trCl ( x , A , R ) = trCl ( y , A , R ) )
45	44	eleq2d 2492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( y e. trCl ( x , A , R ) <-> y e. trCl ( y , A , R ) ) )
46	43, 45	bitrd 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( x e. trCl ( x , A , R ) <-> y e. trCl ( y , A , R ) ) )
47	46	notbid 295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( -. x e. trCl ( x , A , R ) <-> -. y e. trCl ( y , A , R ) ) )
48	42, 47	syl5bb 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( ps <-> -. y e. trCl ( y , A , R ) ) )
49	41, 48	sbcie 3334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. y / x ]. ps <-> -. y e. trCl ( y , A , R ) )
50	40, 49	sylib 199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> -. y e. trCl ( y , A , R ) )
51	33, 50	pm2.65da 578	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> -. x e. trCl ( y , A , R ) )
52	51	ex 435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( th -> ( y e. pred ( x , A , R ) -> -. x e. trCl ( y , A , R ) ) )
53	21, 52	ralrimi 2825	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> A. y e. pred ( x , A , R ) -. x e. trCl ( y , A , R ) )
54		ralnex 2871	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. pred ( x , A , R ) -. x e. trCl ( y , A , R ) <-> -. E. y e. pred ( x , A , R ) x e. trCl ( y , A , R ) )
55	53, 54	sylib 199	. . . . . . . . . 10 |- ( th -> -. E. y e. pred ( x , A , R ) x e. trCl ( y , A , R ) )
56		eliun 4301	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) <-> E. y e. pred ( x , A , R ) x e. trCl ( y , A , R ) )
57	55, 56	sylnibr 306	. . . . . . . . 9 |- ( th -> -. x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) )
58		ioran 492	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( x e. pred ( x , A , R ) \/ x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) <-> ( -. x e. pred ( x , A , R ) /\ -. x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) )
59	14, 57, 58	sylanbrc 668	. . . . . . . 8 |- ( th -> -. ( x e. pred ( x , A , R ) \/ x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) )
60	3	simp2bi 1021	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> x e. A )
61		bnj1417.5	. . . . . . . . . . . 12 |- B = ( pred ( x , A , R ) u. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) )
62	61	bnj1414 29842	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R FrSe A /\ x e. A ) -> trCl ( x , A , R ) = B )
63	6, 60, 62	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( th -> trCl ( x , A , R ) = B )
64	63	eleq2d 2492	. . . . . . . . 9 |- ( th -> ( x e. trCl ( x , A , R ) <-> x e. B ) )
65	61	bnj1138 29596	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B <-> ( x e. pred ( x , A , R ) \/ x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) )
66	64, 65	syl6bb 264	. . . . . . . 8 |- ( th -> ( x e. trCl ( x , A , R ) <-> ( x e. pred ( x , A , R ) \/ x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) ) )
67	59, 66	mtbird 302	. . . . . . 7 |- ( th -> -. x e. trCl ( x , A , R ) )
68	67, 42	sylibr 215	. . . . . 6 |- ( th -> ps )
69	3, 68	sylbir 216	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A /\ ch ) -> ps )
70	69	3exp 1204	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A -> ( ch -> ps ) ) )
71	70	ralrimiv 2837	. . 3 |- ( ph -> A. x e. A ( ch -> ps ) )
72	17	bnj1204 29817	. . 3 |- ( ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ch -> ps ) ) -> A. x e. A ps )
73	2, 71, 72	syl2anc 665	. 2 |- ( ph -> A. x e. A ps )
74	42	ralbii 2856	. 2 |- ( A. x e. A ps <-> A. x e. A -. x e. trCl ( x , A , R ) )
75	73, 74	sylib 199	1 |- ( ph -> A. x e. A -. x e. trCl ( x , A , R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   [.wsbc 3299   u. cun 3434   C_ wss 3436   U_ciun 4296   class class class wbr 4420   Fr wfr 4806   predc-bnj14 29489   Se w-bnj13 29491   FrSe w-bnj15 29493   trClc-bnj18 29495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-reg 8110  ax-inf2 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-om 6704  df-1o 7187  df-bnj17 29488  df-bnj14 29490  df-bnj13 29492  df-bnj15 29494  df-bnj18 29496  df-bnj19 29498

This theorem is referenced by:  bnj1421  29847