Theorem bnj1417 29850

Description: Technical lemma for bnj60 29871. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1417.1	|- ( ph <-> R FrSe A )
bnj1417.2	|- ( ps <-> -. x e. trCl ( x , A , R ) )
bnj1417.3	|- ( ch <-> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
bnj1417.4	|- ( th <-> ( ph /\ x e. A /\ ch ) )
bnj1417.5	|- B = ( pred ( x , A , R ) u. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) )

Assertion

Ref	Expression
bnj1417	|- ( ph -> A. x e. A -. x e. trCl ( x , A , R ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, R, y   ph, x, y   ps, y

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( x, y)   th( x, y)   B( x, y)

Proof of Theorem bnj1417

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1417.1	. . . 4 |- ( ph <-> R FrSe A )
2	1	biimpi 198	. . 3 |- ( ph -> R FrSe A )
3		bnj1417.4	. . . . . 6 |- ( th <-> ( ph /\ x e. A /\ ch ) )
4		bnj1418 29849	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. pred ( x , A , R ) -> x R x )
5	4	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( th /\ x e. pred ( x , A , R ) ) -> x R x )
6	3, 2	bnj835 29570	. . . . . . . . . . . 12 |- ( th -> R FrSe A )
7		df-bnj15 29498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R FrSe A <-> ( R Fr A /\ R Se A ) )
8	7	simplbi 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R FrSe A -> R Fr A )
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> R Fr A )
10		bnj213 29693	. . . . . . . . . . . 12 |- pred ( x , A , R ) C_ A
11	10	sseli 3428	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. pred ( x , A , R ) -> x e. A )
12		frirr 4811	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R Fr A /\ x e. A ) -> -. x R x )
13	9, 11, 12	syl2an 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( th /\ x e. pred ( x , A , R ) ) -> -. x R x )
14	5, 13	pm2.65da 580	. . . . . . . . 9 |- ( th -> -. x e. pred ( x , A , R ) )
15		nfv 1761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y ph
16		nfv 1761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y x e. A
17		bnj1417.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch <-> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
18	17	bnj1095 29593	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> A. y ch )
19	18	nfi 1674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y ch
20	15, 16, 19	nf3an 2013	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ( ph /\ x e. A /\ ch )
21	3, 20	nfxfr 1696	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y th
22	6	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> R FrSe A )
23		simplr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y e. pred ( x , A , R ) )
24	10, 23	sseldi 3430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y e. A )
25		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> x e. trCl ( y , A , R ) )
26		bnj1125 29801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R FrSe A /\ y e. A /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> trCl ( x , A , R ) C_ trCl ( y , A , R ) )
27	22, 24, 25, 26	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> trCl ( x , A , R ) C_ trCl ( y , A , R ) )
28		bnj1147 29803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- trCl ( y , A , R ) C_ A
29	28, 25	sseldi 3430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> x e. A )
30		bnj906 29741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R FrSe A /\ x e. A ) -> pred ( x , A , R ) C_ trCl ( x , A , R ) )
31	22, 29, 30	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> pred ( x , A , R ) C_ trCl ( x , A , R ) )
32	31, 23	sseldd 3433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y e. trCl ( x , A , R ) )
33	27, 32	sseldd 3433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y e. trCl ( y , A , R ) )
34	17	biimpi 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
35	3, 34	bnj837 29572	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( th -> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
36	35	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
37		bnj1418 29849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. pred ( x , A , R ) -> y R x )
38	37	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y R x )
39		rsp 2754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) -> ( y e. A -> ( y R x -> [. y / x ]. ps ) ) )
40	36, 24, 38, 39	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> [. y / x ]. ps )
41		vex 3048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
42		bnj1417.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ps <-> -. x e. trCl ( x , A , R ) )
43		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( x e. trCl ( x , A , R ) <-> y e. trCl ( x , A , R ) ) )
44		bnj1318 29834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> trCl ( x , A , R ) = trCl ( y , A , R ) )
45	44	eleq2d 2514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( y e. trCl ( x , A , R ) <-> y e. trCl ( y , A , R ) ) )
46	43, 45	bitrd 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( x e. trCl ( x , A , R ) <-> y e. trCl ( y , A , R ) ) )
47	46	notbid 296	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( -. x e. trCl ( x , A , R ) <-> -. y e. trCl ( y , A , R ) ) )
48	42, 47	syl5bb 261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( ps <-> -. y e. trCl ( y , A , R ) ) )
49	41, 48	sbcie 3302	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. y / x ]. ps <-> -. y e. trCl ( y , A , R ) )
50	40, 49	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> -. y e. trCl ( y , A , R ) )
51	33, 50	pm2.65da 580	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> -. x e. trCl ( y , A , R ) )
52	51	ex 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( th -> ( y e. pred ( x , A , R ) -> -. x e. trCl ( y , A , R ) ) )
53	21, 52	ralrimi 2788	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> A. y e. pred ( x , A , R ) -. x e. trCl ( y , A , R ) )
54		ralnex 2834	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. pred ( x , A , R ) -. x e. trCl ( y , A , R ) <-> -. E. y e. pred ( x , A , R ) x e. trCl ( y , A , R ) )
55	53, 54	sylib 200	. . . . . . . . . 10 |- ( th -> -. E. y e. pred ( x , A , R ) x e. trCl ( y , A , R ) )
56		eliun 4283	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) <-> E. y e. pred ( x , A , R ) x e. trCl ( y , A , R ) )
57	55, 56	sylnibr 307	. . . . . . . . 9 |- ( th -> -. x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) )
58		ioran 493	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( x e. pred ( x , A , R ) \/ x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) <-> ( -. x e. pred ( x , A , R ) /\ -. x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) )
59	14, 57, 58	sylanbrc 670	. . . . . . . 8 |- ( th -> -. ( x e. pred ( x , A , R ) \/ x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) )
60	3	simp2bi 1024	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> x e. A )
61		bnj1417.5	. . . . . . . . . . . 12 |- B = ( pred ( x , A , R ) u. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) )
62	61	bnj1414 29846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R FrSe A /\ x e. A ) -> trCl ( x , A , R ) = B )
63	6, 60, 62	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( th -> trCl ( x , A , R ) = B )
64	63	eleq2d 2514	. . . . . . . . 9 |- ( th -> ( x e. trCl ( x , A , R ) <-> x e. B ) )
65	61	bnj1138 29600	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B <-> ( x e. pred ( x , A , R ) \/ x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) )
66	64, 65	syl6bb 265	. . . . . . . 8 |- ( th -> ( x e. trCl ( x , A , R ) <-> ( x e. pred ( x , A , R ) \/ x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) ) )
67	59, 66	mtbird 303	. . . . . . 7 |- ( th -> -. x e. trCl ( x , A , R ) )
68	67, 42	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( th -> ps )
69	3, 68	sylbir 217	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A /\ ch ) -> ps )
70	69	3exp 1207	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A -> ( ch -> ps ) ) )
71	70	ralrimiv 2800	. . 3 |- ( ph -> A. x e. A ( ch -> ps ) )
72	17	bnj1204 29821	. . 3 |- ( ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ch -> ps ) ) -> A. x e. A ps )
73	2, 71, 72	syl2anc 667	. 2 |- ( ph -> A. x e. A ps )
74	42	ralbii 2819	. 2 |- ( A. x e. A ps <-> A. x e. A -. x e. trCl ( x , A , R ) )
75	73, 74	sylib 200	1 |- ( ph -> A. x e. A -. x e. trCl ( x , A , R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   [.wsbc 3267   u. cun 3402   C_ wss 3404   U_ciun 4278   class class class wbr 4402   Fr wfr 4790   predc-bnj14 29493   Se w-bnj13 29495   FrSe w-bnj15 29497   trClc-bnj18 29499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-reg 8107  ax-inf2 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-1o 7182  df-bnj17 29492  df-bnj14 29494  df-bnj13 29496  df-bnj15 29498  df-bnj18 29500  df-bnj19 29502

This theorem is referenced by:  bnj1421  29851