Theorem bnj1417 29922

Description: Technical lemma for bnj60 29943. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1417.1	|- ( ph <-> R FrSe A )
bnj1417.2	|- ( ps <-> -. x e. trCl ( x , A , R ) )
bnj1417.3	|- ( ch <-> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
bnj1417.4	|- ( th <-> ( ph /\ x e. A /\ ch ) )
bnj1417.5	|- B = ( pred ( x , A , R ) u. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) )

Assertion

Ref	Expression
bnj1417	|- ( ph -> A. x e. A -. x e. trCl ( x , A , R ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, R, y   ph, x, y   ps, y

Allowed substitution hints:   ps( x)   ch( x, y)   th( x, y)   B( x, y)

Proof of Theorem bnj1417

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1417.1	. . . 4 |- ( ph <-> R FrSe A )
2	1	biimpi 199	. . 3 |- ( ph -> R FrSe A )
3		bnj1417.4	. . . . . 6 |- ( th <-> ( ph /\ x e. A /\ ch ) )
4		bnj1418 29921	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. pred ( x , A , R ) -> x R x )
5	4	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( th /\ x e. pred ( x , A , R ) ) -> x R x )
6	3, 2	bnj835 29642	. . . . . . . . . . . 12 |- ( th -> R FrSe A )
7		df-bnj15 29570	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R FrSe A <-> ( R Fr A /\ R Se A ) )
8	7	simplbi 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R FrSe A -> R Fr A )
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> R Fr A )
10		bnj213 29765	. . . . . . . . . . . 12 |- pred ( x , A , R ) C_ A
11	10	sseli 3414	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. pred ( x , A , R ) -> x e. A )
12		frirr 4816	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R Fr A /\ x e. A ) -> -. x R x )
13	9, 11, 12	syl2an 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( th /\ x e. pred ( x , A , R ) ) -> -. x R x )
14	5, 13	pm2.65da 586	. . . . . . . . 9 |- ( th -> -. x e. pred ( x , A , R ) )
15		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y ph
16		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y x e. A
17		bnj1417.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ch <-> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
18	17	bnj1095 29665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> A. y ch )
19	18	nfi 1682	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ y ch
20	15, 16, 19	nf3an 2033	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y ( ph /\ x e. A /\ ch )
21	3, 20	nfxfr 1704	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y th
22	6	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> R FrSe A )
23		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y e. pred ( x , A , R ) )
24	10, 23	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y e. A )
25		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> x e. trCl ( y , A , R ) )
26		bnj1125 29873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R FrSe A /\ y e. A /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> trCl ( x , A , R ) C_ trCl ( y , A , R ) )
27	22, 24, 25, 26	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> trCl ( x , A , R ) C_ trCl ( y , A , R ) )
28		bnj1147 29875	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- trCl ( y , A , R ) C_ A
29	28, 25	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> x e. A )
30		bnj906 29813	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R FrSe A /\ x e. A ) -> pred ( x , A , R ) C_ trCl ( x , A , R ) )
31	22, 29, 30	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> pred ( x , A , R ) C_ trCl ( x , A , R ) )
32	31, 23	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y e. trCl ( x , A , R ) )
33	27, 32	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y e. trCl ( y , A , R ) )
34	17	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
35	3, 34	bnj837 29644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( th -> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
36	35	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) )
37		bnj1418 29921	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. pred ( x , A , R ) -> y R x )
38	37	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> y R x )
39		rsp 2773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ps ) -> ( y e. A -> ( y R x -> [. y / x ]. ps ) ) )
40	36, 24, 38, 39	syl3c 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> [. y / x ]. ps )
41		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
42		bnj1417.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ps <-> -. x e. trCl ( x , A , R ) )
43		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( x e. trCl ( x , A , R ) <-> y e. trCl ( x , A , R ) ) )
44		bnj1318 29906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> trCl ( x , A , R ) = trCl ( y , A , R ) )
45	44	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = y -> ( y e. trCl ( x , A , R ) <-> y e. trCl ( y , A , R ) ) )
46	43, 45	bitrd 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( x e. trCl ( x , A , R ) <-> y e. trCl ( y , A , R ) ) )
47	46	notbid 301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( -. x e. trCl ( x , A , R ) <-> -. y e. trCl ( y , A , R ) ) )
48	42, 47	syl5bb 265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( ps <-> -. y e. trCl ( y , A , R ) ) )
49	41, 48	sbcie 3290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. y / x ]. ps <-> -. y e. trCl ( y , A , R ) )
50	40, 49	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) /\ x e. trCl ( y , A , R ) ) -> -. y e. trCl ( y , A , R ) )
51	33, 50	pm2.65da 586	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( th /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> -. x e. trCl ( y , A , R ) )
52	51	ex 441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( th -> ( y e. pred ( x , A , R ) -> -. x e. trCl ( y , A , R ) ) )
53	21, 52	ralrimi 2800	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> A. y e. pred ( x , A , R ) -. x e. trCl ( y , A , R ) )
54		ralnex 2834	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. pred ( x , A , R ) -. x e. trCl ( y , A , R ) <-> -. E. y e. pred ( x , A , R ) x e. trCl ( y , A , R ) )
55	53, 54	sylib 201	. . . . . . . . . 10 |- ( th -> -. E. y e. pred ( x , A , R ) x e. trCl ( y , A , R ) )
56		eliun 4274	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) <-> E. y e. pred ( x , A , R ) x e. trCl ( y , A , R ) )
57	55, 56	sylnibr 312	. . . . . . . . 9 |- ( th -> -. x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) )
58		ioran 498	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( x e. pred ( x , A , R ) \/ x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) <-> ( -. x e. pred ( x , A , R ) /\ -. x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) )
59	14, 57, 58	sylanbrc 677	. . . . . . . 8 |- ( th -> -. ( x e. pred ( x , A , R ) \/ x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) )
60	3	simp2bi 1046	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> x e. A )
61		bnj1417.5	. . . . . . . . . . . 12 |- B = ( pred ( x , A , R ) u. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) )
62	61	bnj1414 29918	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R FrSe A /\ x e. A ) -> trCl ( x , A , R ) = B )
63	6, 60, 62	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( th -> trCl ( x , A , R ) = B )
64	63	eleq2d 2534	. . . . . . . . 9 |- ( th -> ( x e. trCl ( x , A , R ) <-> x e. B ) )
65	61	bnj1138 29672	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B <-> ( x e. pred ( x , A , R ) \/ x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) )
66	64, 65	syl6bb 269	. . . . . . . 8 |- ( th -> ( x e. trCl ( x , A , R ) <-> ( x e. pred ( x , A , R ) \/ x e. U_ y e. pred ( x , A , R ) trCl ( y , A , R ) ) ) )
67	59, 66	mtbird 308	. . . . . . 7 |- ( th -> -. x e. trCl ( x , A , R ) )
68	67, 42	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( th -> ps )
69	3, 68	sylbir 218	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A /\ ch ) -> ps )
70	69	3exp 1230	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A -> ( ch -> ps ) ) )
71	70	ralrimiv 2808	. . 3 |- ( ph -> A. x e. A ( ch -> ps ) )
72	17	bnj1204 29893	. . 3 |- ( ( R FrSe A /\ A. x e. A ( ch -> ps ) ) -> A. x e. A ps )
73	2, 71, 72	syl2anc 673	. 2 |- ( ph -> A. x e. A ps )
74	42	ralbii 2823	. 2 |- ( A. x e. A ps <-> A. x e. A -. x e. trCl ( x , A , R ) )
75	73, 74	sylib 201	1 |- ( ph -> A. x e. A -. x e. trCl ( x , A , R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   [.wsbc 3255   u. cun 3388   C_ wss 3390   U_ciun 4269   class class class wbr 4395   Fr wfr 4795   predc-bnj14 29565   Se w-bnj13 29567   FrSe w-bnj15 29569   trClc-bnj18 29571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-reg 8125  ax-inf2 8164

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-1o 7200  df-bnj17 29564  df-bnj14 29566  df-bnj13 29568  df-bnj15 29570  df-bnj18 29572  df-bnj19 29574

This theorem is referenced by:  bnj1421  29923