Theorem bnj1388 29842

Description: Technical lemma for bnj60 29871. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1388.1	|- B = { d | ( d C_ A /\ A. x e. d pred ( x , A , R ) C_ d ) }
bnj1388.2	|- Y = <. x , ( f |` pred ( x , A , R ) ) >.
bnj1388.3	|- C = { f | E. d e. B ( f Fn d /\ A. x e. d ( f ` x ) = ( G ` Y ) ) }
bnj1388.4	|- ( ta <-> ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. trCl ( x , A , R ) ) ) )
bnj1388.5	|- D = { x e. A | -. E. f ta }
bnj1388.6	|- ( ps <-> ( R FrSe A /\ D =/= (/) ) )
bnj1388.7	|- ( ch <-> ( ps /\ x e. D /\ A. y e. D -. y R x ) )
bnj1388.8	|- ( ta' <-> [. y / x ]. ta )

Assertion

Ref	Expression
bnj1388	|- ( ch -> A. y e. pred ( x , A , R ) E. f ta' )

Distinct variable groups:   x, A, y   B, f   y, D   x, R, y   f, d, x   y, f   ps, y   ta, y

Allowed substitution hints:   ps( x, f, d)   ch( x, y, f, d)   ta( x, f, d)   A( f, d)   B( x, y, d)   C( x, y, f, d)   D( x, f, d)   R( f, d)   G( x, y, f, d)   Y( x, y, f, d)   ta'( x, y, f, d)

Proof of Theorem bnj1388

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1388.7	. . 3 |- ( ch <-> ( ps /\ x e. D /\ A. y e. D -. y R x ) )
2		nfv 1761	. . . 4 |- F/ y ps
3		nfv 1761	. . . 4 |- F/ y x e. D
4		nfra1 2769	. . . 4 |- F/ y A. y e. D -. y R x
5	2, 3, 4	nf3an 2013	. . 3 |- F/ y ( ps /\ x e. D /\ A. y e. D -. y R x )
6	1, 5	nfxfr 1696	. 2 |- F/ y ch
7		bnj1152 29807	. . . . . 6 |- ( y e. pred ( x , A , R ) <-> ( y e. A /\ y R x ) )
8	7	simplbi 462	. . . . 5 |- ( y e. pred ( x , A , R ) -> y e. A )
9	8	adantl 468	. . . 4 |- ( ( ch /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> y e. A )
10	7	biimpi 198	. . . . . . . . 9 |- ( y e. pred ( x , A , R ) -> ( y e. A /\ y R x ) )
11	10	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> ( y e. A /\ y R x ) )
12	11	simprd 465	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> y R x )
13	1	simp3bi 1025	. . . . . . . 8 |- ( ch -> A. y e. D -. y R x )
14	13	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> A. y e. D -. y R x )
15		df-ral 2742	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. D -. y R x <-> A. y ( y e. D -> -. y R x ) )
16		con2b 336	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. D -> -. y R x ) <-> ( y R x -> -. y e. D ) )
17	16	albii 1691	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( y e. D -> -. y R x ) <-> A. y ( y R x -> -. y e. D ) )
18	15, 17	bitri 253	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. D -. y R x <-> A. y ( y R x -> -. y e. D ) )
19		sp 1937	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( y R x -> -. y e. D ) -> ( y R x -> -. y e. D ) )
20	19	impcom 432	. . . . . . . 8 |- ( ( y R x /\ A. y ( y R x -> -. y e. D ) ) -> -. y e. D )
21	18, 20	sylan2b 478	. . . . . . 7 |- ( ( y R x /\ A. y e. D -. y R x ) -> -. y e. D )
22	12, 14, 21	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ch /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> -. y e. D )
23		bnj1388.5	. . . . . . . 8 |- D = { x e. A | -. E. f ta }
24	23	eleq2i 2521	. . . . . . 7 |- ( y e. D <-> y e. { x e. A | -. E. f ta } )
25		nfcv 2592	. . . . . . . 8 |- F/_ x y
26		nfcv 2592	. . . . . . . 8 |- F/_ x A
27		bnj1388.8	. . . . . . . . . . 11 |- ( ta' <-> [. y / x ]. ta )
28		nfsbc1v 3287	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [. y / x ]. ta
29	27, 28	nfxfr 1696	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ta'
30	29	nfex 2031	. . . . . . . . 9 |- F/ x E. f ta'
31	30	nfn 1983	. . . . . . . 8 |- F/ x -. E. f ta'
32		sbceq1a 3278	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ta <-> [. y / x ]. ta ) )
33	32, 27	syl6bbr 267	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ta <-> ta' ) )
34	33	exbidv 1768	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( E. f ta <-> E. f ta' ) )
35	34	notbid 296	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( -. E. f ta <-> -. E. f ta' ) )
36	25, 26, 31, 35	elrabf 3194	. . . . . . 7 |- ( y e. { x e. A | -. E. f ta } <-> ( y e. A /\ -. E. f ta' ) )
37	24, 36	bitri 253	. . . . . 6 |- ( y e. D <-> ( y e. A /\ -. E. f ta' ) )
38	22, 37	sylnib 306	. . . . 5 |- ( ( ch /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> -. ( y e. A /\ -. E. f ta' ) )
39		iman 426	. . . . 5 |- ( ( y e. A -> E. f ta' ) <-> -. ( y e. A /\ -. E. f ta' ) )
40	38, 39	sylibr 216	. . . 4 |- ( ( ch /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> ( y e. A -> E. f ta' ) )
41	9, 40	mpd 15	. . 3 |- ( ( ch /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> E. f ta' )
42	41	ex 436	. 2 |- ( ch -> ( y e. pred ( x , A , R ) -> E. f ta' ) )
43	6, 42	ralrimi 2788	1 |- ( ch -> A. y e. pred ( x , A , R ) E. f ta' )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   A.wal 1442   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   {cab 2437   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   [.wsbc 3267   u. cun 3402   C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   <.cop 3974   class class class wbr 4402   dom cdm 4834   |` cres 4836   Fn wfn 5577   ` cfv 5582   predc-bnj14 29493   FrSe w-bnj15 29497   trClc-bnj18 29499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ral 2742  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-br 4403  df-bnj14 29494

This theorem is referenced by:  bnj1398  29843  bnj1489  29865