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Theorem bnj1388 34490
Description: Technical lemma for bnj60 34519. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1388.1  |-  B  =  { d  |  ( d  C_  A  /\  A. x  e.  d  pred ( x ,  A ,  R )  C_  d
) }
bnj1388.2  |-  Y  = 
<. x ,  ( f  |`  pred ( x ,  A ,  R ) ) >.
bnj1388.3  |-  C  =  { f  |  E. d  e.  B  (
f  Fn  d  /\  A. x  e.  d  ( f `  x )  =  ( G `  Y ) ) }
bnj1388.4  |-  ( ta  <->  ( f  e.  C  /\  dom  f  =  ( { x }  u.  trCl ( x ,  A ,  R ) ) ) )
bnj1388.5  |-  D  =  { x  e.  A  |  -.  E. f ta }
bnj1388.6  |-  ( ps  <->  ( R  FrSe  A  /\  D  =/=  (/) ) )
bnj1388.7  |-  ( ch  <->  ( ps  /\  x  e.  D  /\  A. y  e.  D  -.  y R x ) )
bnj1388.8  |-  ( ta'  <->  [. y  /  x ]. ta )
Assertion
Ref Expression
bnj1388  |-  ( ch 
->  A. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) E. f ta' )
Distinct variable groups:    x, A, y    B, f    y, D   
x, R, y    f,
d, x    y, f    ps, y    ta, y
Allowed substitution hints:    ps( x, f, d)    ch( x, y, f, d)    ta( x, f, d)    A( f, d)    B( x, y, d)    C( x, y, f, d)    D( x, f, d)    R( f, d)    G( x, y, f, d)    Y( x, y, f, d)    ta'( x, y, f, d)

Proof of Theorem bnj1388
StepHypRef Expression
1 bnj1388.7 . . 3  |-  ( ch  <->  ( ps  /\  x  e.  D  /\  A. y  e.  D  -.  y R x ) )
2 nfv 1712 . . . 4  |-  F/ y ps
3 nfv 1712 . . . 4  |-  F/ y  x  e.  D
4 nfra1 2835 . . . 4  |-  F/ y A. y  e.  D  -.  y R x
52, 3, 4nf3an 1935 . . 3  |-  F/ y ( ps  /\  x  e.  D  /\  A. y  e.  D  -.  y R x )
61, 5nfxfr 1650 . 2  |-  F/ y ch
7 bnj1152 34455 . . . . . 6  |-  ( y  e.  pred ( x ,  A ,  R )  <-> 
( y  e.  A  /\  y R x ) )
87simplbi 458 . . . . 5  |-  ( y  e.  pred ( x ,  A ,  R )  ->  y  e.  A
)
98adantl 464 . . . 4  |-  ( ( ch  /\  y  e. 
pred ( x ,  A ,  R ) )  ->  y  e.  A )
107biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  pred ( x ,  A ,  R )  ->  ( y  e.  A  /\  y R x ) )
1110adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ch  /\  y  e. 
pred ( x ,  A ,  R ) )  ->  ( y  e.  A  /\  y R x ) )
1211simprd 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ch  /\  y  e. 
pred ( x ,  A ,  R ) )  ->  y R x )
131simp3bi 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ch 
->  A. y  e.  D  -.  y R x )
1413adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ch  /\  y  e. 
pred ( x ,  A ,  R ) )  ->  A. y  e.  D  -.  y R x )
15 df-ral 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  D  -.  y R x  <->  A. y
( y  e.  D  ->  -.  y R x ) )
16 con2b 332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  D  ->  -.  y R x )  <-> 
( y R x  ->  -.  y  e.  D ) )
1716albii 1645 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( y  e.  D  ->  -.  y R x )  <->  A. y
( y R x  ->  -.  y  e.  D ) )
1815, 17bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  D  -.  y R x  <->  A. y
( y R x  ->  -.  y  e.  D ) )
19 sp 1864 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( y R x  ->  -.  y  e.  D )  ->  (
y R x  ->  -.  y  e.  D
) )
2019impcom 428 . . . . . . . 8  |-  ( ( y R x  /\  A. y ( y R x  ->  -.  y  e.  D ) )  ->  -.  y  e.  D
)
2118, 20sylan2b 473 . . . . . . 7  |-  ( ( y R x  /\  A. y  e.  D  -.  y R x )  ->  -.  y  e.  D
)
2212, 14, 21syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ch  /\  y  e. 
pred ( x ,  A ,  R ) )  ->  -.  y  e.  D )
23 bnj1388.5 . . . . . . . 8  |-  D  =  { x  e.  A  |  -.  E. f ta }
2423eleq2i 2532 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  D  <->  y  e.  { x  e.  A  |  -.  E. f ta }
)
25 nfcv 2616 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
y
26 nfcv 2616 . . . . . . . 8  |-  F/_ x A
27 bnj1388.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ta'  <->  [. y  /  x ]. ta )
28 nfsbc1v 3344 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [. y  /  x ]. ta
2927, 28nfxfr 1650 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x ta'
3029nfex 1953 . . . . . . . . 9  |-  F/ x E. f ta'
3130nfn 1906 . . . . . . . 8  |-  F/ x  -.  E. f ta'
32 sbceq1a 3335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( ta 
<-> 
[. y  /  x ]. ta ) )
3332, 27syl6bbr 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( ta 
<->  ta' ) )
3433exbidv 1719 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( E. f ta  <->  E. f ta' ) )
3534notbid 292 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  E. f ta  <->  -.  E. f ta' ) )
3625, 26, 31, 35elrabf 3252 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  E. f ta }  <->  ( y  e.  A  /\  -.  E. f ta' ) )
3724, 36bitri 249 . . . . . 6  |-  ( y  e.  D  <->  ( y  e.  A  /\  -.  E. f ta' ) )
3822, 37sylnib 302 . . . . 5  |-  ( ( ch  /\  y  e. 
pred ( x ,  A ,  R ) )  ->  -.  (
y  e.  A  /\  -.  E. f ta' ) )
39 iman 422 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  ->  E. f ta' )  <->  -.  (
y  e.  A  /\  -.  E. f ta' ) )
4038, 39sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ch  /\  y  e. 
pred ( x ,  A ,  R ) )  ->  ( y  e.  A  ->  E. f ta' ) )
419, 40mpd 15 . . 3  |-  ( ( ch  /\  y  e. 
pred ( x ,  A ,  R ) )  ->  E. f ta' )
4241ex 432 . 2  |-  ( ch 
->  ( y  e.  pred ( x ,  A ,  R )  ->  E. f ta' ) )
436, 42ralrimi 2854 1  |-  ( ch 
->  A. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) E. f ta' )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971   A.wal 1396    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   {cab 2439    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   [.wsbc 3324    u. cun 3459    C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   <.cop 4022   class class class wbr 4439   dom cdm 4988    |` cres 4990    Fn wfn 5565   ` cfv 5570    predc-bnj14 34141    FrSe w-bnj15 34145    trClc-bnj18 34147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ral 2809  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-br 4440  df-bnj14 34142
This theorem is referenced by:  bnj1398  34491  bnj1489  34513
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