Theorem bnj1388 29914

Description: Technical lemma for bnj60 29943. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1388.1	|- B = { d | ( d C_ A /\ A. x e. d pred ( x , A , R ) C_ d ) }
bnj1388.2	|- Y = <. x , ( f |` pred ( x , A , R ) ) >.
bnj1388.3	|- C = { f | E. d e. B ( f Fn d /\ A. x e. d ( f ` x ) = ( G ` Y ) ) }
bnj1388.4	|- ( ta <-> ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. trCl ( x , A , R ) ) ) )
bnj1388.5	|- D = { x e. A | -. E. f ta }
bnj1388.6	|- ( ps <-> ( R FrSe A /\ D =/= (/) ) )
bnj1388.7	|- ( ch <-> ( ps /\ x e. D /\ A. y e. D -. y R x ) )
bnj1388.8	|- ( ta' <-> [. y / x ]. ta )

Assertion

Ref	Expression
bnj1388	|- ( ch -> A. y e. pred ( x , A , R ) E. f ta' )

Distinct variable groups:   x, A, y   B, f   y, D   x, R, y   f, d, x   y, f   ps, y   ta, y

Allowed substitution hints:   ps( x, f, d)   ch( x, y, f, d)   ta( x, f, d)   A( f, d)   B( x, y, d)   C( x, y, f, d)   D( x, f, d)   R( f, d)   G( x, y, f, d)   Y( x, y, f, d)   ta'( x, y, f, d)

Proof of Theorem bnj1388

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1388.7	. . 3 |- ( ch <-> ( ps /\ x e. D /\ A. y e. D -. y R x ) )
2		nfv 1769	. . . 4 |- F/ y ps
3		nfv 1769	. . . 4 |- F/ y x e. D
4		nfra1 2785	. . . 4 |- F/ y A. y e. D -. y R x
5	2, 3, 4	nf3an 2033	. . 3 |- F/ y ( ps /\ x e. D /\ A. y e. D -. y R x )
6	1, 5	nfxfr 1704	. 2 |- F/ y ch
7		bnj1152 29879	. . . . . 6 |- ( y e. pred ( x , A , R ) <-> ( y e. A /\ y R x ) )
8	7	simplbi 467	. . . . 5 |- ( y e. pred ( x , A , R ) -> y e. A )
9	8	adantl 473	. . . 4 |- ( ( ch /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> y e. A )
10	7	biimpi 199	. . . . . . . . 9 |- ( y e. pred ( x , A , R ) -> ( y e. A /\ y R x ) )
11	10	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ch /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> ( y e. A /\ y R x ) )
12	11	simprd 470	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> y R x )
13	1	simp3bi 1047	. . . . . . . 8 |- ( ch -> A. y e. D -. y R x )
14	13	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ch /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> A. y e. D -. y R x )
15		df-ral 2761	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. D -. y R x <-> A. y ( y e. D -> -. y R x ) )
16		con2b 341	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. D -> -. y R x ) <-> ( y R x -> -. y e. D ) )
17	16	albii 1699	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( y e. D -> -. y R x ) <-> A. y ( y R x -> -. y e. D ) )
18	15, 17	bitri 257	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. D -. y R x <-> A. y ( y R x -> -. y e. D ) )
19		sp 1957	. . . . . . . . 9 |- ( A. y ( y R x -> -. y e. D ) -> ( y R x -> -. y e. D ) )
20	19	impcom 437	. . . . . . . 8 |- ( ( y R x /\ A. y ( y R x -> -. y e. D ) ) -> -. y e. D )
21	18, 20	sylan2b 483	. . . . . . 7 |- ( ( y R x /\ A. y e. D -. y R x ) -> -. y e. D )
22	12, 14, 21	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ch /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> -. y e. D )
23		bnj1388.5	. . . . . . . 8 |- D = { x e. A | -. E. f ta }
24	23	eleq2i 2541	. . . . . . 7 |- ( y e. D <-> y e. { x e. A | -. E. f ta } )
25		nfcv 2612	. . . . . . . 8 |- F/_ x y
26		nfcv 2612	. . . . . . . 8 |- F/_ x A
27		bnj1388.8	. . . . . . . . . . 11 |- ( ta' <-> [. y / x ]. ta )
28		nfsbc1v 3275	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [. y / x ]. ta
29	27, 28	nfxfr 1704	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ta'
30	29	nfex 2050	. . . . . . . . 9 |- F/ x E. f ta'
31	30	nfn 2003	. . . . . . . 8 |- F/ x -. E. f ta'
32		sbceq1a 3266	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ta <-> [. y / x ]. ta ) )
33	32, 27	syl6bbr 271	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ta <-> ta' ) )
34	33	exbidv 1776	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( E. f ta <-> E. f ta' ) )
35	34	notbid 301	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( -. E. f ta <-> -. E. f ta' ) )
36	25, 26, 31, 35	elrabf 3182	. . . . . . 7 |- ( y e. { x e. A | -. E. f ta } <-> ( y e. A /\ -. E. f ta' ) )
37	24, 36	bitri 257	. . . . . 6 |- ( y e. D <-> ( y e. A /\ -. E. f ta' ) )
38	22, 37	sylnib 311	. . . . 5 |- ( ( ch /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> -. ( y e. A /\ -. E. f ta' ) )
39		iman 431	. . . . 5 |- ( ( y e. A -> E. f ta' ) <-> -. ( y e. A /\ -. E. f ta' ) )
40	38, 39	sylibr 217	. . . 4 |- ( ( ch /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> ( y e. A -> E. f ta' ) )
41	9, 40	mpd 15	. . 3 |- ( ( ch /\ y e. pred ( x , A , R ) ) -> E. f ta' )
42	41	ex 441	. 2 |- ( ch -> ( y e. pred ( x , A , R ) -> E. f ta' ) )
43	6, 42	ralrimi 2800	1 |- ( ch -> A. y e. pred ( x , A , R ) E. f ta' )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   A.wal 1450   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   {cab 2457   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   [.wsbc 3255   u. cun 3388   C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   <.cop 3965   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   |` cres 4841   Fn wfn 5584   ` cfv 5589   predc-bnj14 29565   FrSe w-bnj15 29569   trClc-bnj18 29571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ral 2761  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-br 4396  df-bnj14 29566

This theorem is referenced by:  bnj1398  29915  bnj1489  29937