Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj1379 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem bnj1379 29714
Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1379.1  |-  ( ph  <->  A. f  e.  A  Fun  f )
bnj1379.2  |-  D  =  ( dom  f  i^i 
dom  g )
bnj1379.3  |-  ( ps  <->  (
ph  /\  A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( f  |`  D )  =  ( g  |`  D )
) )
bnj1379.5  |-  ( ch  <->  ( ps  /\  <. x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z
>.  e.  U. A ) )
bnj1379.6  |-  ( th  <->  ( ch  /\  f  e.  A  /\  <. x ,  y >.  e.  f ) )
bnj1379.7  |-  ( ta  <->  ( th  /\  g  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  g ) )
Assertion
Ref Expression
bnj1379  |-  ( ps 
->  Fun  U. A )
Distinct variable groups:    A, f,
g, x, y, z   
x, D    ph, g    ps, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, f)    ps( f,
g)    ch( x, y, z, f, g)    th( x, y, z, f, g)    ta( x, y, z, f, g)    D( y, z, f, g)

Proof of Theorem bnj1379
StepHypRef Expression
1 bnj1379.3 . . . . 5  |-  ( ps  <->  (
ph  /\  A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( f  |`  D )  =  ( g  |`  D )
) )
2 bnj1379.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  <->  A. f  e.  A  Fun  f )
32bnj1095 29665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. f ph )
43nfi 1682 . . . . . 6  |-  F/ f
ph
5 nfra1 2785 . . . . . 6  |-  F/ f A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( f  |`  D )  =  ( g  |`  D )
64, 5nfan 2031 . . . . 5  |-  F/ f ( ph  /\  A. f  e.  A  A. g  e.  A  (
f  |`  D )  =  ( g  |`  D ) )
71, 6nfxfr 1704 . . . 4  |-  F/ f ps
82bnj946 29658 . . . . . . . 8  |-  ( ph  <->  A. f ( f  e.  A  ->  Fun  f ) )
98biimpi 199 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. f ( f  e.  A  ->  Fun  f ) )
10919.21bi 1967 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( f  e.  A  ->  Fun  f ) )
111, 10bnj832 29640 . . . . 5  |-  ( ps 
->  ( f  e.  A  ->  Fun  f ) )
12 funrel 5606 . . . . 5  |-  ( Fun  f  ->  Rel  f )
1311, 12syl6 33 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( f  e.  A  ->  Rel  f ) )
147, 13ralrimi 2800 . . 3  |-  ( ps 
->  A. f  e.  A  Rel  f )
15 reluni 4961 . . 3  |-  ( Rel  U. A  <->  A. f  e.  A  Rel  f )
1614, 15sylibr 217 . 2  |-  ( ps 
->  Rel  U. A )
17 bnj1379.5 . . . . . 6  |-  ( ch  <->  ( ps  /\  <. x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z
>.  e.  U. A ) )
18 eluni2 4194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  U. A  <->  E. f  e.  A  <. x ,  y >.  e.  f
)
1918biimpi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  U. A  ->  E. f  e.  A  <. x ,  y >.  e.  f
)
2019bnj1196 29678 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  U. A  ->  E. f
( f  e.  A  /\  <. x ,  y
>.  e.  f ) )
2117, 20bnj836 29643 . . . . . . . . 9  |-  ( ch 
->  E. f ( f  e.  A  /\  <. x ,  y >.  e.  f ) )
22 bnj1379.6 . . . . . . . . 9  |-  ( th  <->  ( ch  /\  f  e.  A  /\  <. x ,  y >.  e.  f ) )
23 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ f
<. x ,  y >.  e.  U. A
24 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ f
<. x ,  z >.  e.  U. A
257, 23, 24nf3an 2033 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ f ( ps  /\  <. x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z
>.  e.  U. A )
2617, 25nfxfr 1704 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f ch
2726nfri 1972 . . . . . . . . 9  |-  ( ch 
->  A. f ch )
2821, 22, 27bnj1345 29708 . . . . . . . 8  |-  ( ch 
->  E. f th )
2917simp3bi 1047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ch 
->  <. x ,  z
>.  e.  U. A )
3022, 29bnj835 29642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( th 
->  <. x ,  z
>.  e.  U. A )
31 eluni2 4194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  U. A  <->  E. g  e.  A  <. x ,  z >.  e.  g
)
3231biimpi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  U. A  ->  E. g  e.  A  <. x ,  z >.  e.  g
)
3332bnj1196 29678 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  U. A  ->  E. g
( g  e.  A  /\  <. x ,  z
>.  e.  g ) )
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( th 
->  E. g ( g  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  g ) )
35 bnj1379.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ta  <->  ( th  /\  g  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  g ) )
36 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ g
ph
37 nfra2 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ g A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( f  |`  D )  =  ( g  |`  D )
3836, 37nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ g ( ph  /\  A. f  e.  A  A. g  e.  A  (
f  |`  D )  =  ( g  |`  D ) )
391, 38nfxfr 1704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ g ps
40 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ g
<. x ,  y >.  e.  U. A
41 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ g
<. x ,  z >.  e.  U. A
4239, 40, 41nf3an 2033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ g ( ps  /\  <. x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z
>.  e.  U. A )
4317, 42nfxfr 1704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ g ch
44 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ g  f  e.  A
45 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ g
<. x ,  y >.  e.  f
4643, 44, 45nf3an 2033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ g ( ch  /\  f  e.  A  /\  <. x ,  y >.  e.  f )
4722, 46nfxfr 1704 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ g th
4847nfri 1972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( th 
->  A. g th )
4934, 35, 48bnj1345 29708 . . . . . . . . . 10  |-  ( th 
->  E. g ta )
501simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ps 
->  A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( f  |`  D )  =  ( g  |`  D ) )
5117, 50bnj835 29642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ch 
->  A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( f  |`  D )  =  ( g  |`  D ) )
5222, 51bnj835 29642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( th 
->  A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( f  |`  D )  =  ( g  |`  D ) )
5335, 52bnj835 29642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ta 
->  A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( f  |`  D )  =  ( g  |`  D ) )
5422, 35bnj1219 29684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ta 
->  f  e.  A
)
5553, 54bnj1294 29701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ta 
->  A. g  e.  A  ( f  |`  D )  =  ( g  |`  D ) )
5635simp2bi 1046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ta 
->  g  e.  A
)
5755, 56bnj1294 29701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ta 
->  ( f  |`  D )  =  ( g  |`  D ) )
5857fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ta 
->  ( ( f  |`  D ) `  x
)  =  ( ( g  |`  D ) `  x ) )
5922simp3bi 1047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( th 
->  <. x ,  y
>.  e.  f )
6035, 59bnj835 29642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ta 
->  <. x ,  y
>.  e.  f )
61 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
62 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
6361, 62opeldm 5044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  f  ->  x  e. 
dom  f )
6460, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ta 
->  x  e.  dom  f )
65 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e. 
_V
6661, 65opeldm 5044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  g  ->  x  e. 
dom  g )
6735, 66bnj837 29644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ta 
->  x  e.  dom  g )
6864, 67elind 3609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ta 
->  x  e.  ( dom  f  i^i  dom  g
) )
69 bnj1379.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  =  ( dom  f  i^i 
dom  g )
7068, 69syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ta 
->  x  e.  D
)
71 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  D  ->  (
( f  |`  D ) `
 x )  =  ( f `  x
) )
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ta 
->  ( ( f  |`  D ) `  x
)  =  ( f `
 x ) )
73 fvres 5893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  D  ->  (
( g  |`  D ) `
 x )  =  ( g `  x
) )
7470, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ta 
->  ( ( g  |`  D ) `  x
)  =  ( g `
 x ) )
7558, 72, 743eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ta 
->  ( f `  x
)  =  ( g `
 x ) )
762biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. f  e.  A  Fun  f )
771, 76bnj832 29640 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ps 
->  A. f  e.  A  Fun  f )
7817, 77bnj835 29642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  A. f  e.  A  Fun  f )
7922, 78bnj835 29642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( th 
->  A. f  e.  A  Fun  f )
8035, 79bnj835 29642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ta 
->  A. f  e.  A  Fun  f )
8180, 54bnj1294 29701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ta 
->  Fun  f )
82 funopfv 5918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  f  ->  ( <. x ,  y >.  e.  f  ->  ( f `  x )  =  y ) )
8381, 60, 82sylc 61 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ta 
->  ( f `  x
)  =  y )
84 funeq 5608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  ( Fun  f  <->  Fun  g ) )
8584cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. f  e.  A  Fun  f 
<-> 
A. g  e.  A  Fun  g )
8680, 85sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ta 
->  A. g  e.  A  Fun  g )
8786, 56bnj1294 29701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ta 
->  Fun  g )
8835simp3bi 1047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ta 
->  <. x ,  z
>.  e.  g )
89 funopfv 5918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  g  ->  ( <. x ,  z >.  e.  g  ->  ( g `  x )  =  z ) )
9087, 88, 89sylc 61 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ta 
->  ( g `  x
)  =  z )
9175, 83, 903eqtr3d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ta 
->  y  =  z
)
9249, 91bnj593 29627 . . . . . . . . 9  |-  ( th 
->  E. g  y  =  z )
9392bnj937 29655 . . . . . . . 8  |-  ( th 
->  y  =  z
)
9428, 93bnj593 29627 . . . . . . 7  |-  ( ch 
->  E. f  y  =  z )
9594bnj937 29655 . . . . . 6  |-  ( ch 
->  y  =  z
)
9617, 95sylbir 218 . . . . 5  |-  ( ( ps  /\  <. x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z
>.  e.  U. A )  ->  y  =  z )
97963expib 1234 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( ( <. x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z
>.  e.  U. A )  ->  y  =  z ) )
9897alrimivv 1782 . . 3  |-  ( ps 
->  A. y A. z
( ( <. x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z
>.  e.  U. A )  ->  y  =  z ) )
9998alrimiv 1781 . 2  |-  ( ps 
->  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z >.  e.  U. A )  ->  y  =  z ) )
100 dffun4 5601 . 2  |-  ( Fun  U. A  <->  ( Rel  U. A  /\  A. x A. y A. z ( (
<. x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z >.  e.  U. A )  ->  y  =  z ) ) )
10116, 99, 100sylanbrc 677 1  |-  ( ps 
->  Fun  U. A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007   A.wal 1450    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757    i^i cin 3389   <.cop 3965   U.cuni 4190   dom cdm 4839    |` cres 4841   Rel wrel 4844   Fun wfun 5583   ` cfv 5589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-res 4851  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597
This theorem is referenced by:  bnj1383  29715
  Copyright terms: Public domain W3C validator