Theorem bnj1379 29637

Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1379.1	|- ( ph <-> A. f e. A Fun f )
bnj1379.2	|- D = ( dom f i^i dom g )
bnj1379.3	|- ( ps <-> ( ph /\ A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) ) )
bnj1379.5	|- ( ch <-> ( ps /\ <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) )
bnj1379.6	|- ( th <-> ( ch /\ f e. A /\ <. x , y >. e. f ) )
bnj1379.7	|- ( ta <-> ( th /\ g e. A /\ <. x , z >. e. g ) )

Assertion

Ref	Expression
bnj1379	|- ( ps -> Fun U. A )

Distinct variable groups:   A, f, g, x, y, z   x, D   ph, g   ps, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, f)   ps( f, g)   ch( x, y, z, f, g)   th( x, y, z, f, g)   ta( x, y, z, f, g)   D( y, z, f, g)

Proof of Theorem bnj1379

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1379.3	. . . . 5 |- ( ps <-> ( ph /\ A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) ) )
2		bnj1379.1	. . . . . . . 8 |- ( ph <-> A. f e. A Fun f )
3	2	bnj1095 29588	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. f ph )
4	3	nfi 1670	. . . . . 6 |- F/ f ph
5		nfra1 2806	. . . . . 6 |- F/ f A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D )
6	4, 5	nfan 1984	. . . . 5 |- F/ f ( ph /\ A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) )
7	1, 6	nfxfr 1692	. . . 4 |- F/ f ps
8	2	bnj946 29581	. . . . . . . 8 |- ( ph <-> A. f ( f e. A -> Fun f ) )
9	8	biimpi 197	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. f ( f e. A -> Fun f ) )
10	9	19.21bi 1920	. . . . . 6 |- ( ph -> ( f e. A -> Fun f ) )
11	1, 10	bnj832 29563	. . . . 5 |- ( ps -> ( f e. A -> Fun f ) )
12		funrel 5614	. . . . 5 |- ( Fun f -> Rel f )
13	11, 12	syl6 34	. . . 4 |- ( ps -> ( f e. A -> Rel f ) )
14	7, 13	ralrimi 2825	. . 3 |- ( ps -> A. f e. A Rel f )
15		reluni 4971	. . 3 |- ( Rel U. A <-> A. f e. A Rel f )
16	14, 15	sylibr 215	. 2 |- ( ps -> Rel U. A )
17		bnj1379.5	. . . . . 6 |- ( ch <-> ( ps /\ <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) )
18		eluni2 4220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. x , y >. e. U. A <-> E. f e. A <. x , y >. e. f )
19	18	biimpi 197	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. e. U. A -> E. f e. A <. x , y >. e. f )
20	19	bnj1196 29601	. . . . . . . . . 10 |- ( <. x , y >. e. U. A -> E. f ( f e. A /\ <. x , y >. e. f ) )
21	17, 20	bnj836 29566	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> E. f ( f e. A /\ <. x , y >. e. f ) )
22		bnj1379.6	. . . . . . . . 9 |- ( th <-> ( ch /\ f e. A /\ <. x , y >. e. f ) )
23		nfv 1751	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ f <. x , y >. e. U. A
24		nfv 1751	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ f <. x , z >. e. U. A
25	7, 23, 24	nf3an 1986	. . . . . . . . . . 11 |- F/ f ( ps /\ <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A )
26	17, 25	nfxfr 1692	. . . . . . . . . 10 |- F/ f ch
27	26	nfri 1925	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> A. f ch )
28	21, 22, 27	bnj1345 29631	. . . . . . . 8 |- ( ch -> E. f th )
29	17	simp3bi 1022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> <. x , z >. e. U. A )
30	22, 29	bnj835 29565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( th -> <. x , z >. e. U. A )
31		eluni2 4220	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. x , z >. e. U. A <-> E. g e. A <. x , z >. e. g )
32	31	biimpi 197	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. x , z >. e. U. A -> E. g e. A <. x , z >. e. g )
33	32	bnj1196 29601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. x , z >. e. U. A -> E. g ( g e. A /\ <. x , z >. e. g ) )
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> E. g ( g e. A /\ <. x , z >. e. g ) )
35		bnj1379.7	. . . . . . . . . . 11 |- ( ta <-> ( th /\ g e. A /\ <. x , z >. e. g ) )
36		nfv 1751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ g ph
37		nfra2 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ g A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D )
38	36, 37	nfan 1984	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ g ( ph /\ A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) )
39	1, 38	nfxfr 1692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ g ps
40		nfv 1751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ g <. x , y >. e. U. A
41		nfv 1751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ g <. x , z >. e. U. A
42	39, 40, 41	nf3an 1986	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ g ( ps /\ <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A )
43	17, 42	nfxfr 1692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ g ch
44		nfv 1751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ g f e. A
45		nfv 1751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ g <. x , y >. e. f
46	43, 44, 45	nf3an 1986	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ g ( ch /\ f e. A /\ <. x , y >. e. f )
47	22, 46	nfxfr 1692	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ g th
48	47	nfri 1925	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> A. g th )
49	34, 35, 48	bnj1345 29631	. . . . . . . . . 10 |- ( th -> E. g ta )
50	1	simprbi 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ps -> A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) )
51	17, 50	bnj835 29565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) )
52	22, 51	bnj835 29565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( th -> A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) )
53	35, 52	bnj835 29565	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ta -> A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) )
54	22, 35	bnj1219 29607	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ta -> f e. A )
55	53, 54	bnj1294 29624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ta -> A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) )
56	35	simp2bi 1021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ta -> g e. A )
57	55, 56	bnj1294 29624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ta -> ( f |` D ) = ( g |` D ) )
58	57	fveq1d 5879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ta -> ( ( f |` D ) ` x ) = ( ( g |` D ) ` x ) )
59	22	simp3bi 1022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( th -> <. x , y >. e. f )
60	35, 59	bnj835 29565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ta -> <. x , y >. e. f )
61		vex 3084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
62		vex 3084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- y e. _V
63	61, 62	opeldm 5053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. x , y >. e. f -> x e. dom f )
64	60, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ta -> x e. dom f )
65		vex 3084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. _V
66	61, 65	opeldm 5053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. x , z >. e. g -> x e. dom g )
67	35, 66	bnj837 29567	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ta -> x e. dom g )
68	64, 67	elind 3650	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ta -> x e. ( dom f i^i dom g ) )
69		bnj1379.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- D = ( dom f i^i dom g )
70	68, 69	syl6eleqr 2521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ta -> x e. D )
71		fvres 5891	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. D -> ( ( f |` D ) ` x ) = ( f ` x ) )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ta -> ( ( f |` D ) ` x ) = ( f ` x ) )
73		fvres 5891	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. D -> ( ( g |` D ) ` x ) = ( g ` x ) )
74	70, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ta -> ( ( g |` D ) ` x ) = ( g ` x ) )
75	58, 72, 74	3eqtr3d 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ta -> ( f ` x ) = ( g ` x ) )
76	2	biimpi 197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. f e. A Fun f )
77	1, 76	bnj832 29563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ps -> A. f e. A Fun f )
78	17, 77	bnj835 29565	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> A. f e. A Fun f )
79	22, 78	bnj835 29565	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( th -> A. f e. A Fun f )
80	35, 79	bnj835 29565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ta -> A. f e. A Fun f )
81	80, 54	bnj1294 29624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ta -> Fun f )
82		funopfv 5916	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun f -> ( <. x , y >. e. f -> ( f ` x ) = y ) )
83	81, 60, 82	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ta -> ( f ` x ) = y )
84		funeq 5616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( Fun f <-> Fun g ) )
85	84	cbvralv 3055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. f e. A Fun f <-> A. g e. A Fun g )
86	80, 85	sylib 199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ta -> A. g e. A Fun g )
87	86, 56	bnj1294 29624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ta -> Fun g )
88	35	simp3bi 1022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ta -> <. x , z >. e. g )
89		funopfv 5916	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun g -> ( <. x , z >. e. g -> ( g ` x ) = z ) )
90	87, 88, 89	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ta -> ( g ` x ) = z )
91	75, 83, 90	3eqtr3d 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( ta -> y = z )
92	49, 91	bnj593 29550	. . . . . . . . 9 |- ( th -> E. g y = z )
93	92	bnj937 29578	. . . . . . . 8 |- ( th -> y = z )
94	28, 93	bnj593 29550	. . . . . . 7 |- ( ch -> E. f y = z )
95	94	bnj937 29578	. . . . . 6 |- ( ch -> y = z )
96	17, 95	sylbir 216	. . . . 5 |- ( ( ps /\ <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z )
97	96	3expib 1208	. . . 4 |- ( ps -> ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) )
98	97	alrimivv 1764	. . 3 |- ( ps -> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) )
99	98	alrimiv 1763	. 2 |- ( ps -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) )
100		dffun4 5609	. 2 |- ( Fun U. A <-> ( Rel U. A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) ) )
101	16, 99, 100	sylanbrc 668	1 |- ( ps -> Fun U. A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   A.wal 1435   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   i^i cin 3435   <.cop 4002   U.cuni 4216   dom cdm 4849   |` cres 4851   Rel wrel 4854   Fun wfun 5591   ` cfv 5597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pr 4656

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-id 4764  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-res 4861  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fv 5605

This theorem is referenced by:  bnj1383  29638