Theorem bnj1379 31824

Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1379.1	|- ( ph <-> A. f e. A Fun f )
bnj1379.2	|- D = ( dom f i^i dom g )
bnj1379.3	|- ( ps <-> ( ph /\ A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) ) )
bnj1379.5	|- ( ch <-> ( ps /\ <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) )
bnj1379.6	|- ( th <-> ( ch /\ f e. A /\ <. x , y >. e. f ) )
bnj1379.7	|- ( ta <-> ( th /\ g e. A /\ <. x , z >. e. g ) )

Assertion

Ref	Expression
bnj1379	|- ( ps -> Fun U. A )

Distinct variable groups:   A, f, g, x, y, z   x, D   ph, g   ps, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, f)   ps( f, g)   ch( x, y, z, f, g)   th( x, y, z, f, g)   ta( x, y, z, f, g)   D( y, z, f, g)

Proof of Theorem bnj1379

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1379.3	. . . . 5 |- ( ps <-> ( ph /\ A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) ) )
2		bnj1379.1	. . . . . . . 8 |- ( ph <-> A. f e. A Fun f )
3	2	bnj1095 31775	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. f ph )
4	3	nfi 1596	. . . . . 6 |- F/ f ph
5		nfra1 2766	. . . . . 6 |- F/ f A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D )
6	4, 5	nfan 1861	. . . . 5 |- F/ f ( ph /\ A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) )
7	1, 6	nfxfr 1615	. . . 4 |- F/ f ps
8	2	bnj946 31768	. . . . . . . 8 |- ( ph <-> A. f ( f e. A -> Fun f ) )
9	8	biimpi 194	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. f ( f e. A -> Fun f ) )
10	9	19.21bi 1804	. . . . . 6 |- ( ph -> ( f e. A -> Fun f ) )
11	1, 10	bnj832 31750	. . . . 5 |- ( ps -> ( f e. A -> Fun f ) )
12		funrel 5435	. . . . 5 |- ( Fun f -> Rel f )
13	11, 12	syl6 33	. . . 4 |- ( ps -> ( f e. A -> Rel f ) )
14	7, 13	ralrimi 2797	. . 3 |- ( ps -> A. f e. A Rel f )
15		reluni 4962	. . 3 |- ( Rel U. A <-> A. f e. A Rel f )
16	14, 15	sylibr 212	. 2 |- ( ps -> Rel U. A )
17		bnj1379.5	. . . . . 6 |- ( ch <-> ( ps /\ <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) )
18		eluni2 4095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. x , y >. e. U. A <-> E. f e. A <. x , y >. e. f )
19	18	biimpi 194	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. e. U. A -> E. f e. A <. x , y >. e. f )
20	19	bnj1196 31788	. . . . . . . . . 10 |- ( <. x , y >. e. U. A -> E. f ( f e. A /\ <. x , y >. e. f ) )
21	17, 20	bnj836 31753	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> E. f ( f e. A /\ <. x , y >. e. f ) )
22		bnj1379.6	. . . . . . . . 9 |- ( th <-> ( ch /\ f e. A /\ <. x , y >. e. f ) )
23		nfv 1673	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ f <. x , y >. e. U. A
24		nfv 1673	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ f <. x , z >. e. U. A
25	7, 23, 24	nf3an 1863	. . . . . . . . . . 11 |- F/ f ( ps /\ <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A )
26	17, 25	nfxfr 1615	. . . . . . . . . 10 |- F/ f ch
27	26	nfri 1808	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> A. f ch )
28	21, 22, 27	bnj1345 31818	. . . . . . . 8 |- ( ch -> E. f th )
29	17	simp3bi 1005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ch -> <. x , z >. e. U. A )
30	22, 29	bnj835 31752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( th -> <. x , z >. e. U. A )
31		eluni2 4095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. x , z >. e. U. A <-> E. g e. A <. x , z >. e. g )
32	31	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. x , z >. e. U. A -> E. g e. A <. x , z >. e. g )
33	32	bnj1196 31788	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. x , z >. e. U. A -> E. g ( g e. A /\ <. x , z >. e. g ) )
34	30, 33	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> E. g ( g e. A /\ <. x , z >. e. g ) )
35		bnj1379.7	. . . . . . . . . . 11 |- ( ta <-> ( th /\ g e. A /\ <. x , z >. e. g ) )
36		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ g ph
37		nfra2 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ g A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D )
38	36, 37	nfan 1861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ g ( ph /\ A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) )
39	1, 38	nfxfr 1615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ g ps
40		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ g <. x , y >. e. U. A
41		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ g <. x , z >. e. U. A
42	39, 40, 41	nf3an 1863	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ g ( ps /\ <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A )
43	17, 42	nfxfr 1615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ g ch
44		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ g f e. A
45		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ g <. x , y >. e. f
46	43, 44, 45	nf3an 1863	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ g ( ch /\ f e. A /\ <. x , y >. e. f )
47	22, 46	nfxfr 1615	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ g th
48	47	nfri 1808	. . . . . . . . . . 11 |- ( th -> A. g th )
49	34, 35, 48	bnj1345 31818	. . . . . . . . . 10 |- ( th -> E. g ta )
50	1	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ps -> A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) )
51	17, 50	bnj835 31752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ch -> A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) )
52	22, 51	bnj835 31752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( th -> A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) )
53	35, 52	bnj835 31752	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ta -> A. f e. A A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) )
54	22, 35	bnj1219 31794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ta -> f e. A )
55	53, 54	bnj1294 31811	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ta -> A. g e. A ( f |` D ) = ( g |` D ) )
56	35	simp2bi 1004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ta -> g e. A )
57	55, 56	bnj1294 31811	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ta -> ( f |` D ) = ( g |` D ) )
58	57	fveq1d 5693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ta -> ( ( f |` D ) ` x ) = ( ( g |` D ) ` x ) )
59	22	simp3bi 1005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( th -> <. x , y >. e. f )
60	35, 59	bnj835 31752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ta -> <. x , y >. e. f )
61		vex 2975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
62		vex 2975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- y e. _V
63	61, 62	opeldm 5043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. x , y >. e. f -> x e. dom f )
64	60, 63	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ta -> x e. dom f )
65		vex 2975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. _V
66	61, 65	opeldm 5043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. x , z >. e. g -> x e. dom g )
67	35, 66	bnj837 31754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ta -> x e. dom g )
68	64, 67	elind 3540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ta -> x e. ( dom f i^i dom g ) )
69		bnj1379.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- D = ( dom f i^i dom g )
70	68, 69	syl6eleqr 2534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ta -> x e. D )
71		fvres 5704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. D -> ( ( f |` D ) ` x ) = ( f ` x ) )
72	70, 71	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ta -> ( ( f |` D ) ` x ) = ( f ` x ) )
73		fvres 5704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. D -> ( ( g |` D ) ` x ) = ( g ` x ) )
74	70, 73	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ta -> ( ( g |` D ) ` x ) = ( g ` x ) )
75	58, 72, 74	3eqtr3d 2483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ta -> ( f ` x ) = ( g ` x ) )
76	2	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. f e. A Fun f )
77	1, 76	bnj832 31750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ps -> A. f e. A Fun f )
78	17, 77	bnj835 31752	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> A. f e. A Fun f )
79	22, 78	bnj835 31752	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( th -> A. f e. A Fun f )
80	35, 79	bnj835 31752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ta -> A. f e. A Fun f )
81	80, 54	bnj1294 31811	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ta -> Fun f )
82		funopfv 5731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun f -> ( <. x , y >. e. f -> ( f ` x ) = y ) )
83	81, 60, 82	sylc 60	. . . . . . . . . . 11 |- ( ta -> ( f ` x ) = y )
84		funeq 5437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( Fun f <-> Fun g ) )
85	84	cbvralv 2947	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. f e. A Fun f <-> A. g e. A Fun g )
86	80, 85	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ta -> A. g e. A Fun g )
87	86, 56	bnj1294 31811	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ta -> Fun g )
88	35	simp3bi 1005	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ta -> <. x , z >. e. g )
89		funopfv 5731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun g -> ( <. x , z >. e. g -> ( g ` x ) = z ) )
90	87, 88, 89	sylc 60	. . . . . . . . . . 11 |- ( ta -> ( g ` x ) = z )
91	75, 83, 90	3eqtr3d 2483	. . . . . . . . . 10 |- ( ta -> y = z )
92	49, 91	bnj593 31737	. . . . . . . . 9 |- ( th -> E. g y = z )
93	92	bnj937 31765	. . . . . . . 8 |- ( th -> y = z )
94	28, 93	bnj593 31737	. . . . . . 7 |- ( ch -> E. f y = z )
95	94	bnj937 31765	. . . . . 6 |- ( ch -> y = z )
96	17, 95	sylbir 213	. . . . 5 |- ( ( ps /\ <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z )
97	96	3expib 1190	. . . 4 |- ( ps -> ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) )
98	97	alrimivv 1686	. . 3 |- ( ps -> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) )
99	98	alrimiv 1685	. 2 |- ( ps -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) )
100		dffun4 5430	. 2 |- ( Fun U. A <-> ( Rel U. A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. U. A /\ <. x , z >. e. U. A ) -> y = z ) ) )
101	16, 99, 100	sylanbrc 664	1 |- ( ps -> Fun U. A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   A.wal 1367   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   i^i cin 3327   <.cop 3883   U.cuni 4091   dom cdm 4840   |` cres 4842   Rel wrel 4845   Fun wfun 5412   ` cfv 5418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-res 4852  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fv 5426

This theorem is referenced by:  bnj1383  31825