Theorem bnj136 12468

Description: First-order logic and set theory.

Hypothesis

Ref	Expression
bnj136.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
bnj136	|- (<.x, y>. = <.A, B>. <-> <.x, y>. e. {<.w, z>. | (w = A /\ z = B)})

Distinct variable groups:   w,A,x,y,z   w,B,x,y,z

Proof of Theorem bnj136

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 2295	. . 3 |- x e. _V
2		visset 2295	. . 3 |- y e. _V
3		bnj136.1	. . 3 |- B e. _V
4	1, 2, 3	opth 3532	. 2 |- (<.x, y>. = <.A, B>. <-> (x = A /\ y = B))
5		opabid 3557	. 2 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | (x = A /\ y = B)} <-> (x = A /\ y = B))
6		bnj135 12467	. . 3 |- {<.x, y>. | (x = A /\ y = B)} = {<.w, z>. | (w = A /\ z = B)}
7	6	eleq2i 1961	. 2 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | (x = A /\ y = B)} <-> <.x, y>. e. {<.w, z>. | (w = A /\ z = B)})
8	4, 5, 7	3bitr2i 196	1 |- (<.x, y>. = <.A, B>. <-> <.x, y>. e. {<.w, z>. | (w = A /\ z = B)})

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  <.cop 3046  {copab 3395

This theorem is referenced by:  bnj142 12474

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396

Copyright terms: Public domain