Theorem bnj1304 33585

Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1304.1	|- ( ph -> E. x ps )
bnj1304.2	|- ( ps -> ch )
bnj1304.3	|- ( ps -> -. ch )

Assertion

Ref	Expression
bnj1304	|- -. ph

Proof of Theorem bnj1304

Step	Hyp	Ref	Expression
1		notnot 291	. . . 4 |- ( A. x ( ch \/ -. ch ) <-> -. -. A. x ( ch \/ -. ch ) )
2		notnot 291	. . . . . . . 8 |- ( ch <-> -. -. ch )
3	2	anbi2i 694	. . . . . . 7 |- ( ( -. ch /\ ch ) <-> ( -. ch /\ -. -. ch ) )
4	3	exbii 1652	. . . . . 6 |- ( E. x ( -. ch /\ ch ) <-> E. x ( -. ch /\ -. -. ch ) )
5		ioran 490	. . . . . . 7 |- ( -. ( ch \/ -. ch ) <-> ( -. ch /\ -. -. ch ) )
6	5	exbii 1652	. . . . . 6 |- ( E. x -. ( ch \/ -. ch ) <-> E. x ( -. ch /\ -. -. ch ) )
7		exnal 1633	. . . . . 6 |- ( E. x -. ( ch \/ -. ch ) <-> -. A. x ( ch \/ -. ch ) )
8	4, 6, 7	3bitr2ri 274	. . . . 5 |- ( -. A. x ( ch \/ -. ch ) <-> E. x ( -. ch /\ ch ) )
9	8	notbii 296	. . . 4 |- ( -. -. A. x ( ch \/ -. ch ) <-> -. E. x ( -. ch /\ ch ) )
10		exancom 1656	. . . . 5 |- ( E. x ( -. ch /\ ch ) <-> E. x ( ch /\ -. ch ) )
11	10	notbii 296	. . . 4 |- ( -. E. x ( -. ch /\ ch ) <-> -. E. x ( ch /\ -. ch ) )
12	1, 9, 11	3bitri 271	. . 3 |- ( A. x ( ch \/ -. ch ) <-> -. E. x ( ch /\ -. ch ) )
13		exmid 415	. . 3 |- ( ch \/ -. ch )
14	12, 13	mpgbi 1606	. 2 |- -. E. x ( ch /\ -. ch )
15		bnj1304.1	. . 3 |- ( ph -> E. x ps )
16		bnj1304.2	. . . 4 |- ( ps -> ch )
17		bnj1304.3	. . . 4 |- ( ps -> -. ch )
18	16, 17	jca 532	. . 3 |- ( ps -> ( ch /\ -. ch ) )
19	15, 18	bnj593 33509	. 2 |- ( ph -> E. x ( ch /\ -. ch ) )
20	14, 19	mto 176	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   A.wal 1379   E.wex 1597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-ex 1598

This theorem is referenced by:  bnj1204  33775  bnj1279  33781  bnj1311  33787  bnj1312  33821