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Theorem bnj1304 32126
Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1304.1  |-  ( ph  ->  E. x ps )
bnj1304.2  |-  ( ps 
->  ch )
bnj1304.3  |-  ( ps 
->  -.  ch )
Assertion
Ref Expression
bnj1304  |-  -.  ph

Proof of Theorem bnj1304
StepHypRef Expression
1 notnot 291 . . . 4  |-  ( A. x ( ch  \/  -.  ch )  <->  -.  -.  A. x ( ch  \/  -.  ch ) )
2 notnot 291 . . . . . . . 8  |-  ( ch  <->  -. 
-.  ch )
32anbi2i 694 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ch  /\  ch ) 
<->  ( -.  ch  /\  -.  -.  ch ) )
43exbii 1635 . . . . . 6  |-  ( E. x ( -.  ch  /\ 
ch )  <->  E. x
( -.  ch  /\  -.  -.  ch ) )
5 ioran 490 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ch  \/  -.  ch )  <->  ( -.  ch  /\ 
-.  -.  ch )
)
65exbii 1635 . . . . . 6  |-  ( E. x  -.  ( ch  \/  -.  ch )  <->  E. x ( -.  ch  /\ 
-.  -.  ch )
)
7 exnal 1619 . . . . . 6  |-  ( E. x  -.  ( ch  \/  -.  ch )  <->  -. 
A. x ( ch  \/  -.  ch )
)
84, 6, 73bitr2ri 274 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x ( ch  \/  -.  ch )  <->  E. x ( -.  ch  /\ 
ch ) )
98notbii 296 . . . 4  |-  ( -. 
-.  A. x ( ch  \/  -.  ch )  <->  -. 
E. x ( -. 
ch  /\  ch )
)
10 exancom 1639 . . . . 5  |-  ( E. x ( -.  ch  /\ 
ch )  <->  E. x
( ch  /\  -.  ch ) )
1110notbii 296 . . . 4  |-  ( -. 
E. x ( -. 
ch  /\  ch )  <->  -. 
E. x ( ch 
/\  -.  ch )
)
121, 9, 113bitri 271 . . 3  |-  ( A. x ( ch  \/  -.  ch )  <->  -.  E. x
( ch  /\  -.  ch ) )
13 exmid 415 . . 3  |-  ( ch  \/  -.  ch )
1412, 13mpgbi 1595 . 2  |-  -.  E. x ( ch  /\  -.  ch )
15 bnj1304.1 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x ps )
16 bnj1304.2 . . . 4  |-  ( ps 
->  ch )
17 bnj1304.3 . . . 4  |-  ( ps 
->  -.  ch )
1816, 17jca 532 . . 3  |-  ( ps 
->  ( ch  /\  -.  ch ) )
1915, 18bnj593 32050 . 2  |-  ( ph  ->  E. x ( ch 
/\  -.  ch )
)
2014, 19mto 176 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369   A.wal 1368   E.wex 1587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-ex 1588
This theorem is referenced by:  bnj1204  32316  bnj1279  32322  bnj1311  32328  bnj1312  32362
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