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Theorem bnj1204 29087
Description: Well-founded induction. The proof has been taken from Chapter 4 of Don Monk's notes on Set Theory. See http://euclid.colorado.edu/~monkd/setth.pdf. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
bnj1204.1  |-  ( ps  <->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph ) )
Assertion
Ref Expression
bnj1204  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  A. x  e.  A  ph )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, R, y    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x, y)

Proof of Theorem bnj1204
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . . . 6  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  ->  R  FrSe  A )
2 ssrab2 3388 . . . . . . 7  |-  { x  e.  A  |  -.  ph }  C_  A
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  ->  { x  e.  A  |  -.  ph }  C_  A )
4 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  ->  E. x  e.  A  -.  ph )
5 rabn0 3607 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  A  |  -.  ph }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  A  -.  ph )
64, 5sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  ->  { x  e.  A  |  -.  ph }  =/=  (/) )
7 nfrab1 2848 . . . . . . . 8  |-  F/_ x { x  e.  A  |  -.  ph }
87nfcrii 2533 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  ->  A. x  z  e. 
{ x  e.  A  |  -.  ph } )
98bnj1228 29086 . . . . . 6  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  { x  e.  A  |  -.  ph }  C_  A  /\  { x  e.  A  |  -.  ph }  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )
101, 3, 6, 9syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  ->  E. x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )
11 biid 228 . . . . 5  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  <->  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  /\  x  e. 
{ x  e.  A  |  -.  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x ) )
12 nfv 1626 . . . . . . 7  |-  F/ x  R  FrSe  A
13 nfra1 2716 . . . . . . 7  |-  F/ x A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )
14 nfre1 2722 . . . . . . 7  |-  F/ x E. x  e.  A  -.  ph
1512, 13, 14nf3an 1845 . . . . . 6  |-  F/ x
( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )
1615nfri 1774 . . . . 5  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  ->  A. x
( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph ) )
1710, 11, 16bnj1521 28928 . . . 4  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  ->  E. x
( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x ) )
18 eqid 2404 . . . . . 6  |-  { x  e.  A  |  -.  ph }  =  { x  e.  A  |  -.  ph }
1918, 11bnj1212 28877 . . . . 5  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  x  e.  A )
20 nfra1 2716 . . . . . . . 8  |-  F/ y A. y  e.  {
x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x
21 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )
2221bnj1211 28875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  A. y
( y  e.  {
x  e.  A  |  -.  ph }  ->  -.  y R x ) )
23 con2b 325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  ->  -.  y R x )  <->  ( y R x  ->  -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } ) )
2423albii 1572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y ( y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  ph }  ->  -.  y R x )  <->  A. y ( y R x  ->  -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } ) )
2522, 24sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  A. y
( y R x  ->  -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } ) )
26 simp2 958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  y R x )
27 sp 1759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y ( y R x  ->  -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } )  ->  ( y R x  ->  -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } ) )
2825, 26, 27sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } )
29 simp1 957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  y  e.  A )
30 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x A
3130elrabsf 3159 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } 
<->  ( y  e.  A  /\  [. y  /  x ].  -.  ph ) )
32 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  y  e. 
_V
33 sbcng 3161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  _V  ->  ( [. y  /  x ].  -.  ph  <->  -.  [. y  /  x ]. ph ) )
3432, 33ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [. y  /  x ].  -.  ph  <->  -. 
[. y  /  x ]. ph )
3534anbi2i 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  A  /\  [. y  /  x ].  -.  ph )  <->  ( y  e.  A  /\  -.  [. y  /  x ]. ph )
)
3631, 35bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } 
<->  ( y  e.  A  /\  -.  [. y  /  x ]. ph ) )
3736notbii 288 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  <->  -.  ( y  e.  A  /\  -.  [. y  /  x ]. ph )
)
38 imnan 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  ->  -.  -.  [. y  /  x ]. ph )  <->  -.  (
y  e.  A  /\  -.  [. y  /  x ]. ph ) )
3937, 38bitr4i 244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  <->  ( y  e.  A  ->  -.  -.  [. y  /  x ]. ph )
)
4039biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  ->  ( y  e.  A  ->  -.  -.  [. y  /  x ]. ph ) )
4140imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  y  e.  {
x  e.  A  |  -.  ph }  /\  y  e.  A )  ->  -.  -.  [. y  /  x ]. ph )
4241notnotrd 107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  y  e.  {
x  e.  A  |  -.  ph }  /\  y  e.  A )  ->  [. y  /  x ]. ph )
4328, 29, 42syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  [. y  /  x ]. ph )
44433expa 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  y R x )  /\  A. y  e. 
{ x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  [. y  /  x ]. ph )
4544expcom 425 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x  ->  ( (
y  e.  A  /\  y R x )  ->  [. y  /  x ]. ph ) )
4645exp3a 426 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x  ->  ( y  e.  A  ->  ( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph )
) )
4720, 46ralrimi 2747 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x  ->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph )
)
48 bnj1204.1 . . . . . . 7  |-  ( ps  <->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph ) )
4947, 48sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x  ->  ps )
50493ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  ps )
51 simp12 988 . . . . 5  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )
52 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  ps  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )
5352bnj1211 28875 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  ps  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  A. x
( x  e.  A  ->  ( ps  ->  ph )
) )
54 simp1 957 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  ps  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  x  e.  A )
55 simp2 958 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  ps  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  ps )
56 sp 1759 . . . . . 6  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  ( ps  ->  ph ) )  -> 
( x  e.  A  ->  ( ps  ->  ph )
) )
5753, 54, 55, 56syl3c 59 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  ps  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  ph )
5819, 50, 51, 57syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  ph )
59 rabid 2844 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } 
<->  ( x  e.  A  /\  -.  ph ) )
6059simprbi 451 . . . . 5  |-  ( x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  ->  -.  ph )
61603ad2ant2 979 . . . 4  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )  /\  x  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  /\  A. y  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  y R x )  ->  -.  ph )
6217, 58, 61bnj1304 28897 . . 3  |-  -.  ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  /\  E. x  e.  A  -.  ph )
6362bnj1224 28879 . 2  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  -.  E. x  e.  A  -.  ph )
64 dfral2 2678 . 2  |-  ( A. x  e.  A  ph  <->  -.  E. x  e.  A  -.  ph )
6563, 64sylibr 204 1  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  A. x  e.  A  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916   [.wsbc 3121    C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172    FrSe w-bnj15 28762
This theorem is referenced by:  bnj1417  29116
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-reg 7516  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-1o 6683  df-bnj17 28757  df-bnj14 28759  df-bnj13 28761  df-bnj15 28763  df-bnj18 28765  df-bnj19 28767
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