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Theorem bnj1189 33162
Description: Technical lemma for bnj69 33163. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1189.1  |-  ( ph  <->  ( R  FrSe  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )
bnj1189.2  |-  ( ps  <->  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  y R x ) )
bnj1189.3  |-  ( ch  <->  A. y  e.  B  -.  y R x )
Assertion
Ref Expression
bnj1189  |-  ( ph  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, R, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ps( x, y)    ch( x, y)    A( x, y)

Proof of Theorem bnj1189
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj1189.1 . . . . . 6  |-  ( ph  <->  ( R  FrSe  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )
2 n0 3794 . . . . . . 7  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  B )
32biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( B  =/=  (/)  ->  E. x  x  e.  B )
41, 3bnj837 32916 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  B )
54ancli 551 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  E. x  x  e.  B
) )
6 19.42v 1949 . . . 4  |-  ( E. x ( ph  /\  x  e.  B )  <->  (
ph  /\  E. x  x  e.  B )
)
75, 6sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x ( ph  /\  x  e.  B ) )
8 3simpc 995 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ch )  -> 
( x  e.  B  /\  ch ) )
9 bnj1189.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ch  <->  A. y  e.  B  -.  y R x )
109anbi2i 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  B  /\  ch )  <->  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
118, 10sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ch )  -> 
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
12 19.8a 1806 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )  ->  E. x ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ch )  ->  E. x ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
14 df-rex 2820 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  <->  E. x
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
1513, 14sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ch )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
16153comr 1204 . . . . 5  |-  ( ( ch  /\  ph  /\  x  e.  B )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
17163expib 1199 . . . 4  |-  ( ch 
->  ( ( ph  /\  x  e.  B )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
18 simp1 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  ph )
19 simp2 997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  x  e.  B )
20 rexnal 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. y  e.  B  -.  -.  y R x  <->  -.  A. y  e.  B  -.  y R x )
2120bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -. 
A. y  e.  B  -.  y R x  <->  E. y  e.  B  -.  -.  y R x )
2221, 9xchnxbir 309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
ch 
<->  E. y  e.  B  -.  -.  y R x )
23 notnot 291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y R x  <->  -.  -.  y R x )
2423rexbii 2965 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. y  e.  B  y R x  <->  E. y  e.  B  -.  -.  y R x )
2522, 24bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
ch 
<->  E. y  e.  B  y R x )
2625biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
ch  ->  E. y  e.  B  y R x )
2726bnj1196 32950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
ch  ->  E. y ( y  e.  B  /\  y R x ) )
28273ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. y ( y  e.  B  /\  y R x ) )
29 3anass 977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  y R x )  <->  ( x  e.  B  /\  (
y  e.  B  /\  y R x ) ) )
3029exbii 1644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  y R x )  <->  E. y
( x  e.  B  /\  ( y  e.  B  /\  y R x ) ) )
31 19.42v 1949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y ( x  e.  B  /\  ( y  e.  B  /\  y R x ) )  <-> 
( x  e.  B  /\  E. y ( y  e.  B  /\  y R x ) ) )
3230, 31bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  y R x )  <->  ( x  e.  B  /\  E. y
( y  e.  B  /\  y R x ) ) )
3319, 28, 32sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. y ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  y R x ) )
34 bnj1189.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ps  <->  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  y R x ) )
3533, 34bnj1198 32951 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. y ps )
36 19.42v 1949 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y ( ph  /\  ps )  <->  ( ph  /\  E. y ps ) )
3718, 35, 36sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. y ( ph  /\ 
ps ) )
381, 34bnj1190 33161 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. w  e.  B  A. z  e.  B  -.  z R w )
3937, 38bnj593 32899 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. y E. w  e.  B  A. z  e.  B  -.  z R w )
4039bnj937 32927 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. w  e.  B  A. z  e.  B  -.  z R w )
4140bnj1185 32949 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
42413comr 1204 . . . . 5  |-  ( ( -.  ch  /\  ph  /\  x  e.  B )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
43423expib 1199 . . . 4  |-  ( -. 
ch  ->  ( ( ph  /\  x  e.  B )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
4417, 43pm2.61i 164 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
457, 44bnj593 32899 . 2  |-  ( ph  ->  E. x E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
46 nfre1 2925 . . 3  |-  F/ x E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x
474619.9 1841 . 2  |-  ( E. x E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  <->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
4845, 47sylib 196 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447    FrSe w-bnj15 32842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-reg 8018  ax-inf2 8058
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-om 6685  df-1o 7130  df-bnj17 32837  df-bnj14 32839  df-bnj13 32841  df-bnj15 32843  df-bnj18 32845  df-bnj19 32847
This theorem is referenced by:  bnj69  33163
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