Theorem bnj1189 34466

Description: Technical lemma for bnj69 34467. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1189.1	|- ( ph <-> ( R FrSe A /\ B C_ A /\ B =/= (/) ) )
bnj1189.2	|- ( ps <-> ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) )
bnj1189.3	|- ( ch <-> A. y e. B -. y R x )

Assertion

Ref	Expression
bnj1189	|- ( ph -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, R, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ps( x, y)   ch( x, y)   A( x, y)

Proof of Theorem bnj1189

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1189.1	. . . . . 6 |- ( ph <-> ( R FrSe A /\ B C_ A /\ B =/= (/) ) )
2		n0 3793	. . . . . . 7 |- ( B =/= (/) <-> E. x x e. B )
3	2	biimpi 194	. . . . . 6 |- ( B =/= (/) -> E. x x e. B )
4	1, 3	bnj837 34220	. . . . 5 |- ( ph -> E. x x e. B )
5	4	ancli 549	. . . 4 |- ( ph -> ( ph /\ E. x x e. B ) )
6		19.42v 1780	. . . 4 |- ( E. x ( ph /\ x e. B ) <-> ( ph /\ E. x x e. B ) )
7	5, 6	sylibr 212	. . 3 |- ( ph -> E. x ( ph /\ x e. B ) )
8		3simpc 993	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ch ) -> ( x e. B /\ ch ) )
9		bnj1189.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ch <-> A. y e. B -. y R x )
10	9	anbi2i 692	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. B /\ ch ) <-> ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) )
11	8, 10	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ch ) -> ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) )
12		19.8a 1862	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) -> E. x ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ch ) -> E. x ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) )
14		df-rex 2810	. . . . . . 7 |- ( E. x e. B A. y e. B -. y R x <-> E. x ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) )
15	13, 14	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ch ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
16	15	3comr 1202	. . . . 5 |- ( ( ch /\ ph /\ x e. B ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
17	16	3expib 1197	. . . 4 |- ( ch -> ( ( ph /\ x e. B ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x ) )
18		simp1 994	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> ph )
19		simp2 995	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> x e. B )
20		rexnal 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. y e. B -. -. y R x <-> -. A. y e. B -. y R x )
21	20	bicomi 202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. A. y e. B -. y R x <-> E. y e. B -. -. y R x )
22	21, 9	xchnxbir 307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ch <-> E. y e. B -. -. y R x )
23		notnot 289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y R x <-> -. -. y R x )
24	23	rexbii 2956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. y e. B y R x <-> E. y e. B -. -. y R x )
25	22, 24	bitr4i 252	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ch <-> E. y e. B y R x )
26	25	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ch -> E. y e. B y R x )
27	26	bnj1196 34254	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ch -> E. y ( y e. B /\ y R x ) )
28	27	3ad2ant3 1017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. y ( y e. B /\ y R x ) )
29		3anass 975	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) <-> ( x e. B /\ ( y e. B /\ y R x ) ) )
30	29	exbii 1672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. y ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) <-> E. y ( x e. B /\ ( y e. B /\ y R x ) ) )
31		19.42v 1780	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. y ( x e. B /\ ( y e. B /\ y R x ) ) <-> ( x e. B /\ E. y ( y e. B /\ y R x ) ) )
32	30, 31	bitri 249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) <-> ( x e. B /\ E. y ( y e. B /\ y R x ) ) )
33	19, 28, 32	sylanbrc 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. y ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) )
34		bnj1189.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ps <-> ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) )
35	33, 34	bnj1198 34255	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. y ps )
36		19.42v 1780	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y ( ph /\ ps ) <-> ( ph /\ E. y ps ) )
37	18, 35, 36	sylanbrc 662	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. y ( ph /\ ps ) )
38	1, 34	bnj1190 34465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. w e. B A. z e. B -. z R w )
39	37, 38	bnj593 34203	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. y E. w e. B A. z e. B -. z R w )
40	39	bnj937 34231	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. w e. B A. z e. B -. z R w )
41	40	bnj1185 34253	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
42	41	3comr 1202	. . . . 5 |- ( ( -. ch /\ ph /\ x e. B ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
43	42	3expib 1197	. . . 4 |- ( -. ch -> ( ( ph /\ x e. B ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x ) )
44	17, 43	pm2.61i 164	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
45	7, 44	bnj593 34203	. 2 |- ( ph -> E. x E. x e. B A. y e. B -. y R x )
46		nfre1 2915	. . 3 |- F/ x E. x e. B A. y e. B -. y R x
47	46	19.9 1898	. 2 |- ( E. x E. x e. B A. y e. B -. y R x <-> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
48	45, 47	sylib 196	1 |- ( ph -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   E.wex 1617   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   C_ wss 3461   (/)c0 3783   class class class wbr 4439   FrSe w-bnj15 34145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-reg 8010  ax-inf2 8049

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-om 6674  df-1o 7122  df-bnj17 34140  df-bnj14 34142  df-bnj13 34144  df-bnj15 34146  df-bnj18 34148  df-bnj19 34150

This theorem is referenced by:  bnj69  34467