Theorem bnj1189 33162

Description: Technical lemma for bnj69 33163. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1189.1	|- ( ph <-> ( R FrSe A /\ B C_ A /\ B =/= (/) ) )
bnj1189.2	|- ( ps <-> ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) )
bnj1189.3	|- ( ch <-> A. y e. B -. y R x )

Assertion

Ref	Expression
bnj1189	|- ( ph -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, R, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ps( x, y)   ch( x, y)   A( x, y)

Proof of Theorem bnj1189

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1189.1	. . . . . 6 |- ( ph <-> ( R FrSe A /\ B C_ A /\ B =/= (/) ) )
2		n0 3794	. . . . . . 7 |- ( B =/= (/) <-> E. x x e. B )
3	2	biimpi 194	. . . . . 6 |- ( B =/= (/) -> E. x x e. B )
4	1, 3	bnj837 32916	. . . . 5 |- ( ph -> E. x x e. B )
5	4	ancli 551	. . . 4 |- ( ph -> ( ph /\ E. x x e. B ) )
6		19.42v 1949	. . . 4 |- ( E. x ( ph /\ x e. B ) <-> ( ph /\ E. x x e. B ) )
7	5, 6	sylibr 212	. . 3 |- ( ph -> E. x ( ph /\ x e. B ) )
8		3simpc 995	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ch ) -> ( x e. B /\ ch ) )
9		bnj1189.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ch <-> A. y e. B -. y R x )
10	9	anbi2i 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. B /\ ch ) <-> ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) )
11	8, 10	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ch ) -> ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) )
12		19.8a 1806	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) -> E. x ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ch ) -> E. x ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) )
14		df-rex 2820	. . . . . . 7 |- ( E. x e. B A. y e. B -. y R x <-> E. x ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) )
15	13, 14	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ch ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
16	15	3comr 1204	. . . . 5 |- ( ( ch /\ ph /\ x e. B ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
17	16	3expib 1199	. . . 4 |- ( ch -> ( ( ph /\ x e. B ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x ) )
18		simp1 996	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> ph )
19		simp2 997	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> x e. B )
20		rexnal 2912	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. y e. B -. -. y R x <-> -. A. y e. B -. y R x )
21	20	bicomi 202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. A. y e. B -. y R x <-> E. y e. B -. -. y R x )
22	21, 9	xchnxbir 309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ch <-> E. y e. B -. -. y R x )
23		notnot 291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y R x <-> -. -. y R x )
24	23	rexbii 2965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. y e. B y R x <-> E. y e. B -. -. y R x )
25	22, 24	bitr4i 252	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ch <-> E. y e. B y R x )
26	25	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ch -> E. y e. B y R x )
27	26	bnj1196 32950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ch -> E. y ( y e. B /\ y R x ) )
28	27	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. y ( y e. B /\ y R x ) )
29		3anass 977	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) <-> ( x e. B /\ ( y e. B /\ y R x ) ) )
30	29	exbii 1644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. y ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) <-> E. y ( x e. B /\ ( y e. B /\ y R x ) ) )
31		19.42v 1949	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. y ( x e. B /\ ( y e. B /\ y R x ) ) <-> ( x e. B /\ E. y ( y e. B /\ y R x ) ) )
32	30, 31	bitri 249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) <-> ( x e. B /\ E. y ( y e. B /\ y R x ) ) )
33	19, 28, 32	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. y ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) )
34		bnj1189.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ps <-> ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) )
35	33, 34	bnj1198 32951	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. y ps )
36		19.42v 1949	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y ( ph /\ ps ) <-> ( ph /\ E. y ps ) )
37	18, 35, 36	sylanbrc 664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. y ( ph /\ ps ) )
38	1, 34	bnj1190 33161	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. w e. B A. z e. B -. z R w )
39	37, 38	bnj593 32899	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. y E. w e. B A. z e. B -. z R w )
40	39	bnj937 32927	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. w e. B A. z e. B -. z R w )
41	40	bnj1185 32949	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
42	41	3comr 1204	. . . . 5 |- ( ( -. ch /\ ph /\ x e. B ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
43	42	3expib 1199	. . . 4 |- ( -. ch -> ( ( ph /\ x e. B ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x ) )
44	17, 43	pm2.61i 164	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
45	7, 44	bnj593 32899	. 2 |- ( ph -> E. x E. x e. B A. y e. B -. y R x )
46		nfre1 2925	. . 3 |- F/ x E. x e. B A. y e. B -. y R x
47	46	19.9 1841	. 2 |- ( E. x E. x e. B A. y e. B -. y R x <-> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
48	45, 47	sylib 196	1 |- ( ph -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   E.wex 1596   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   FrSe w-bnj15 32842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-reg 8018  ax-inf2 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-om 6685  df-1o 7130  df-bnj17 32837  df-bnj14 32839  df-bnj13 32841  df-bnj15 32843  df-bnj18 32845  df-bnj19 32847

This theorem is referenced by:  bnj69  33163