Theorem bnj1189 29890

Description: Technical lemma for bnj69 29891. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1189.1	|- ( ph <-> ( R FrSe A /\ B C_ A /\ B =/= (/) ) )
bnj1189.2	|- ( ps <-> ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) )
bnj1189.3	|- ( ch <-> A. y e. B -. y R x )

Assertion

Ref	Expression
bnj1189	|- ( ph -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, R, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ps( x, y)   ch( x, y)   A( x, y)

Proof of Theorem bnj1189

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1189.1	. . . . . 6 |- ( ph <-> ( R FrSe A /\ B C_ A /\ B =/= (/) ) )
2		n0 3732	. . . . . . 7 |- ( B =/= (/) <-> E. x x e. B )
3	2	biimpi 199	. . . . . 6 |- ( B =/= (/) -> E. x x e. B )
4	1, 3	bnj837 29644	. . . . 5 |- ( ph -> E. x x e. B )
5	4	ancli 560	. . . 4 |- ( ph -> ( ph /\ E. x x e. B ) )
6		19.42v 1842	. . . 4 |- ( E. x ( ph /\ x e. B ) <-> ( ph /\ E. x x e. B ) )
7	5, 6	sylibr 217	. . 3 |- ( ph -> E. x ( ph /\ x e. B ) )
8		3simpc 1029	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ch ) -> ( x e. B /\ ch ) )
9		bnj1189.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ch <-> A. y e. B -. y R x )
10	9	anbi2i 708	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. B /\ ch ) <-> ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) )
11	8, 10	sylib 201	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ch ) -> ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) )
12		19.8a 1955	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) -> E. x ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ch ) -> E. x ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) )
14		df-rex 2762	. . . . . . 7 |- ( E. x e. B A. y e. B -. y R x <-> E. x ( x e. B /\ A. y e. B -. y R x ) )
15	13, 14	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B /\ ch ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
16	15	3comr 1239	. . . . 5 |- ( ( ch /\ ph /\ x e. B ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
17	16	3expib 1234	. . . 4 |- ( ch -> ( ( ph /\ x e. B ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x ) )
18		simp1 1030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> ph )
19		simp2 1031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> x e. B )
20		rexnal 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E. y e. B -. -. y R x <-> -. A. y e. B -. y R x )
21	20	bicomi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. A. y e. B -. y R x <-> E. y e. B -. -. y R x )
22	21, 9	xchnxbir 316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ch <-> E. y e. B -. -. y R x )
23		notnot 297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y R x <-> -. -. y R x )
24	23	rexbii 2881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. y e. B y R x <-> E. y e. B -. -. y R x )
25	22, 24	bitr4i 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ch <-> E. y e. B y R x )
26	25	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ch -> E. y e. B y R x )
27	26	bnj1196 29678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ch -> E. y ( y e. B /\ y R x ) )
28	27	3ad2ant3 1053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. y ( y e. B /\ y R x ) )
29		3anass 1011	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) <-> ( x e. B /\ ( y e. B /\ y R x ) ) )
30	29	exbii 1726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. y ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) <-> E. y ( x e. B /\ ( y e. B /\ y R x ) ) )
31		19.42v 1842	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. y ( x e. B /\ ( y e. B /\ y R x ) ) <-> ( x e. B /\ E. y ( y e. B /\ y R x ) ) )
32	30, 31	bitri 257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) <-> ( x e. B /\ E. y ( y e. B /\ y R x ) ) )
33	19, 28, 32	sylanbrc 677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. y ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) )
34		bnj1189.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ps <-> ( x e. B /\ y e. B /\ y R x ) )
35	33, 34	bnj1198 29679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. y ps )
36		19.42v 1842	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y ( ph /\ ps ) <-> ( ph /\ E. y ps ) )
37	18, 35, 36	sylanbrc 677	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. y ( ph /\ ps ) )
38	1, 34	bnj1190 29889	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. w e. B A. z e. B -. z R w )
39	37, 38	bnj593 29627	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. y E. w e. B A. z e. B -. z R w )
40	39	bnj937 29655	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. w e. B A. z e. B -. z R w )
41	40	bnj1185 29677	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B /\ -. ch ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
42	41	3comr 1239	. . . . 5 |- ( ( -. ch /\ ph /\ x e. B ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
43	42	3expib 1234	. . . 4 |- ( -. ch -> ( ( ph /\ x e. B ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x ) )
44	17, 43	pm2.61i 169	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
45	7, 44	bnj593 29627	. 2 |- ( ph -> E. x E. x e. B A. y e. B -. y R x )
46		nfre1 2846	. . 3 |- F/ x E. x e. B A. y e. B -. y R x
47	46	19.9 1990	. 2 |- ( E. x E. x e. B A. y e. B -. y R x <-> E. x e. B A. y e. B -. y R x )
48	45, 47	sylib 201	1 |- ( ph -> E. x e. B A. y e. B -. y R x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   E.wex 1671   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   FrSe w-bnj15 29569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-reg 8125  ax-inf2 8164

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-1o 7200  df-bnj17 29564  df-bnj14 29566  df-bnj13 29568  df-bnj15 29570  df-bnj18 29572  df-bnj19 29574

This theorem is referenced by:  bnj69  29891