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Theorem bnj1176 29807
Description: Technical lemma for bnj69 29812. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1176.51  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( R  Fr  A  /\  C  C_  A  /\  C  =/=  (/)  /\  C  e. 
_V ) )
bnj1176.52  |-  ( ( R  Fr  A  /\  C  C_  A  /\  C  =/=  (/)  /\  C  e. 
_V )  ->  E. z  e.  C  A. w  e.  C  -.  w R z )
Assertion
Ref Expression
bnj1176  |-  E. z A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  C )
) ) )
Distinct variable groups:    w, C    ph, w, z    ps, w, z
Allowed substitution hints:    th( z, w)    A( z, w)    C( z)    R( z, w)

Proof of Theorem bnj1176
StepHypRef Expression
1 bnj1176.51 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( R  Fr  A  /\  C  C_  A  /\  C  =/=  (/)  /\  C  e. 
_V ) )
2 bnj1176.52 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Fr  A  /\  C  C_  A  /\  C  =/=  (/)  /\  C  e. 
_V )  ->  E. z  e.  C  A. w  e.  C  -.  w R z )
31, 2syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. z  e.  C  A. w  e.  C  -.  w R z )
4 df-ral 2741 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  C  -.  w R z  <->  A. w
( w  e.  C  ->  -.  w R z ) )
54rexbii 2888 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  C  A. w  e.  C  -.  w R z  <->  E. z  e.  C  A. w
( w  e.  C  ->  -.  w R z ) )
63, 5sylib 200 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. z  e.  C  A. w ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) )
7 df-rex 2742 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  C  A. w ( w  e.  C  ->  -.  w R z )  <->  E. z
( z  e.  C  /\  A. w ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )
86, 7sylib 200 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. z ( z  e.  C  /\  A. w ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )
9 19.28v 1824 . . . . . . 7  |-  ( A. w ( z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) )  <-> 
( z  e.  C  /\  A. w ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )
109exbii 1717 . . . . . 6  |-  ( E. z A. w ( z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) )  <->  E. z
( z  e.  C  /\  A. w ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )
118, 10sylibr 216 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. z A. w
( z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )
12 19.37v 1825 . . . . 5  |-  ( E. z ( ( ph  /\ 
ps )  ->  A. w
( z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )  <->  ( ( ph  /\  ps )  ->  E. z A. w ( z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) ) )
1311, 12mpbir 213 . . . 4  |-  E. z
( ( ph  /\  ps )  ->  A. w
( z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )
14 19.21v 1785 . . . . 5  |-  ( A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )  <->  ( ( ph  /\  ps )  ->  A. w ( z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) ) )
1514exbii 1717 . . . 4  |-  ( E. z A. w ( ( ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )  <->  E. z ( (
ph  /\  ps )  ->  A. w ( z  e.  C  /\  (
w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) ) )
1613, 15mpbir 213 . . 3  |-  E. z A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )
17 con2b 336 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  C  ->  -.  w R z )  <-> 
( w R z  ->  -.  w  e.  C ) )
1817anbi2i 699 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) )  <->  ( z  e.  C  /\  (
w R z  ->  -.  w  e.  C
) ) )
1918imbi2i 314 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )  <->  ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( w R z  ->  -.  w  e.  C ) ) ) )
2019albii 1690 . . . 4  |-  ( A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )  <->  A. w
( ( ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  /\  (
w R z  ->  -.  w  e.  C
) ) ) )
2120exbii 1717 . . 3  |-  ( E. z A. w ( ( ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )  <->  E. z A. w
( ( ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  /\  (
w R z  ->  -.  w  e.  C
) ) ) )
2216, 21mpbi 212 . 2  |-  E. z A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( w R z  ->  -.  w  e.  C ) ) )
23 ax-1 6 . . . . 5  |-  ( ( w R z  ->  -.  w  e.  C
)  ->  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  C ) ) )
2423anim2i 572 . . . 4  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( w R z  ->  -.  w  e.  C ) )  -> 
( z  e.  C  /\  ( th  ->  (
w R z  ->  -.  w  e.  C
) ) ) )
2524imim2i 16 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  /\  ( w R z  ->  -.  w  e.  C )
) )  ->  (
( ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  /\  ( th  ->  (
w R z  ->  -.  w  e.  C
) ) ) ) )
2625alimi 1683 . 2  |-  ( A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( w R z  ->  -.  w  e.  C ) ) )  ->  A. w ( (
ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  /\  ( th  ->  (
w R z  ->  -.  w  e.  C
) ) ) ) )
2722, 26bnj101 29522 1  |-  E. z A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  C )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371   A.wal 1441   E.wex 1662    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3044    C_ wss 3403   (/)c0 3730   class class class wbr 4401    Fr wfr 4789    /\ w-bnj17 29484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-an 373  df-ex 1663  df-ral 2741  df-rex 2742
This theorem is referenced by:  bnj1190  29810
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