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Theorem bnj1176 32001
Description: Technical lemma for bnj69 32006. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1176.51  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( R  Fr  A  /\  C  C_  A  /\  C  =/=  (/)  /\  C  e. 
_V ) )
bnj1176.52  |-  ( ( R  Fr  A  /\  C  C_  A  /\  C  =/=  (/)  /\  C  e. 
_V )  ->  E. z  e.  C  A. w  e.  C  -.  w R z )
Assertion
Ref Expression
bnj1176  |-  E. z A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  C )
) ) )
Distinct variable groups:    w, C    ph, w, z    ps, w, z
Allowed substitution hints:    th( z, w)    A( z, w)    C( z)    R( z, w)

Proof of Theorem bnj1176
StepHypRef Expression
1 bnj1176.51 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( R  Fr  A  /\  C  C_  A  /\  C  =/=  (/)  /\  C  e. 
_V ) )
2 bnj1176.52 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Fr  A  /\  C  C_  A  /\  C  =/=  (/)  /\  C  e. 
_V )  ->  E. z  e.  C  A. w  e.  C  -.  w R z )
31, 2syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. z  e.  C  A. w  e.  C  -.  w R z )
4 df-ral 2725 . . . . . . . . 9  |-  ( A. w  e.  C  -.  w R z  <->  A. w
( w  e.  C  ->  -.  w R z ) )
54rexbii 2745 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  C  A. w  e.  C  -.  w R z  <->  E. z  e.  C  A. w
( w  e.  C  ->  -.  w R z ) )
63, 5sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. z  e.  C  A. w ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) )
7 df-rex 2726 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  C  A. w ( w  e.  C  ->  -.  w R z )  <->  E. z
( z  e.  C  /\  A. w ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )
86, 7sylib 196 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. z ( z  e.  C  /\  A. w ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )
9 19.28v 1914 . . . . . . 7  |-  ( A. w ( z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) )  <-> 
( z  e.  C  /\  A. w ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )
109exbii 1634 . . . . . 6  |-  ( E. z A. w ( z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) )  <->  E. z
( z  e.  C  /\  A. w ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )
118, 10sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. z A. w
( z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )
12 19.37v 1918 . . . . 5  |-  ( E. z ( ( ph  /\ 
ps )  ->  A. w
( z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )  <->  ( ( ph  /\  ps )  ->  E. z A. w ( z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) ) )
1311, 12mpbir 209 . . . 4  |-  E. z
( ( ph  /\  ps )  ->  A. w
( z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )
14 19.21v 1909 . . . . 5  |-  ( A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )  <->  ( ( ph  /\  ps )  ->  A. w ( z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) ) )
1514exbii 1634 . . . 4  |-  ( E. z A. w ( ( ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )  <->  E. z ( (
ph  /\  ps )  ->  A. w ( z  e.  C  /\  (
w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) ) )
1613, 15mpbir 209 . . 3  |-  E. z A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )
17 con2b 334 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  C  ->  -.  w R z )  <-> 
( w R z  ->  -.  w  e.  C ) )
1817anbi2i 694 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) )  <->  ( z  e.  C  /\  (
w R z  ->  -.  w  e.  C
) ) )
1918imbi2i 312 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )  <->  ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( w R z  ->  -.  w  e.  C ) ) ) )
2019albii 1610 . . . 4  |-  ( A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )  <->  A. w
( ( ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  /\  (
w R z  ->  -.  w  e.  C
) ) ) )
2120exbii 1634 . . 3  |-  ( E. z A. w ( ( ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  /\  ( w  e.  C  ->  -.  w R z ) ) )  <->  E. z A. w
( ( ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  /\  (
w R z  ->  -.  w  e.  C
) ) ) )
2216, 21mpbi 208 . 2  |-  E. z A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( w R z  ->  -.  w  e.  C ) ) )
23 ax-1 6 . . . . 5  |-  ( ( w R z  ->  -.  w  e.  C
)  ->  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  C ) ) )
2423anim2i 569 . . . 4  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( w R z  ->  -.  w  e.  C ) )  -> 
( z  e.  C  /\  ( th  ->  (
w R z  ->  -.  w  e.  C
) ) ) )
2524imim2i 14 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  /\  ( w R z  ->  -.  w  e.  C )
) )  ->  (
( ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  /\  ( th  ->  (
w R z  ->  -.  w  e.  C
) ) ) ) )
2625alimi 1604 . 2  |-  ( A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( w R z  ->  -.  w  e.  C ) ) )  ->  A. w ( (
ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  /\  ( th  ->  (
w R z  ->  -.  w  e.  C
) ) ) ) )
2722, 26bnj101 31717 1  |-  E. z A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  C )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1367   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977    C_ wss 3333   (/)c0 3642   class class class wbr 4297    Fr wfr 4681    /\ w-bnj17 31679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-12 1792
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-ral 2725  df-rex 2726
This theorem is referenced by:  bnj1190  32004
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