Theorem bnj1145 31996

Description: Technical lemma for bnj69 32013. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1145.1	|- ( ph <-> ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
bnj1145.2	|- ( ps <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
bnj1145.3	|- D = ( om \ { (/) } )
bnj1145.4	|- B = { f | E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) }
bnj1145.5	|- ( ch <-> ( n e. D /\ f Fn n /\ ph /\ ps ) )
bnj1145.6	|- ( th <-> ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bnj1145	|- trCl ( X , A , R ) C_ A

Distinct variable groups:   A, f, i, j, n, y   D, i, j   R, f, i, j, n, y   f, X, i, n, y   ch, j   ph, i

Allowed substitution hints:   ph( y, f, j, n)   ps( y, f, i, j, n)   ch( y, f, i, n)   th( y, f, i, j, n)   B( y, f, i, j, n)   D( y, f, n)   X( j)

Proof of Theorem bnj1145

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1145.1	. . 3 |- ( ph <-> ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
2		bnj1145.2	. . 3 |- ( ps <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
3		bnj1145.3	. . 3 |- D = ( om \ { (/) } )
4		bnj1145.4	. . 3 |- B = { f | E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) }
5	1, 2, 3, 4	bnj882 31931	. 2 |- trCl ( X , A , R ) = U_ f e. B U_ i e. dom f ( f ` i )
6		ss2iun 4198	. . . 4 |- ( A. f e. B U_ i e. dom f ( f ` i ) C_ A -> U_ f e. B U_ i e. dom f ( f ` i ) C_ U_ f e. B A )
7		bnj1145.5	. . . . . . 7 |- ( ch <-> ( n e. D /\ f Fn n /\ ph /\ ps ) )
8	7, 4	bnj1083 31981	. . . . . 6 |- ( f e. B <-> E. n ch )
9	2	bnj1095 31787	. . . . . . . . . 10 |- ( ps -> A. i ps )
10	9, 7	bnj1096 31788	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> A. i ch )
11	10	nfi 1596	. . . . . . . 8 |- F/ i ch
12	3	bnj1098 31789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- E. j ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ n e. D ) -> ( j e. n /\ i = suc j ) )
13	7	bnj1232 31809	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ch -> n e. D )
14	13	3anim3i 1175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ ch ) -> ( i =/= (/) /\ i e. n /\ n e. D ) )
15	12, 14	bnj1101 31790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- E. j ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ ch ) -> ( j e. n /\ i = suc j ) )
16		ancl 546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ ch ) -> ( j e. n /\ i = suc j ) ) -> ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ ch ) -> ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) ) )
17	15, 16	bnj101 31724	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- E. j ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ ch ) -> ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) )
18		bnj1145.6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( th <-> ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) )
19	18	imbi2i 312	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ ch ) -> th ) <-> ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ ch ) -> ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) ) )
20	19	exbii 1634	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. j ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ ch ) -> th ) <-> E. j ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ ch ) -> ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) ) )
21	17, 20	mpbir 209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E. j ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ ch ) -> th )
22		bnj213 31887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- pred ( y , A , R ) C_ A
23	22	bnj226 31737	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) C_ A
24		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( j e. n /\ i = suc j ) -> i = suc j )
25	18, 24	bnj833 31763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( th -> i = suc j )
26		simp2 989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ ch ) -> i e. n )
27	13	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ ch ) -> n e. D )
28	3	bnj923 31773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. D -> n e. om )
29		elnn 6498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( i e. n /\ n e. om ) -> i e. om )
30	28, 29	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. n /\ n e. D ) -> i e. om )
31	26, 27, 30	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ ch ) -> i e. om )
32	18, 31	bnj832 31762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( th -> i e. om )
33		vex 2987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- j e. _V
34	33	bnj216 31735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = suc j -> j e. i )
35		elnn 6498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( j e. i /\ i e. om ) -> j e. om )
36	34, 35	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i = suc j /\ i e. om ) -> j e. om )
37	25, 32, 36	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( th -> j e. om )
38	18, 26	bnj832 31762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( th -> i e. n )
39	25, 38	eqeltrrd 2518	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( th -> suc j e. n )
40	2	bnj589 31914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ps <-> A. j e. om ( suc j e. n -> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) )
41	40	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ps -> A. j e. om ( suc j e. n -> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) )
42	41	bnj708 31760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( n e. D /\ f Fn n /\ ph /\ ps ) -> A. j e. om ( suc j e. n -> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) )
43		rsp 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A. j e. om ( suc j e. n -> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) -> ( j e. om -> ( suc j e. n -> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) ) )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. D /\ f Fn n /\ ph /\ ps ) -> ( j e. om -> ( suc j e. n -> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) ) )
45	7, 44	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ( j e. om -> ( suc j e. n -> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) ) )
46	45	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ ch ) -> ( j e. om -> ( suc j e. n -> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) ) )
47	18, 46	bnj832 31762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( th -> ( j e. om -> ( suc j e. n -> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) ) )
48	37, 39, 47	mp2d 45	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( th -> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) )
49		fveq2 5703	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = suc j -> ( f ` i ) = ( f ` suc j ) )
50	49	eqeq1d 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = suc j -> ( ( f ` i ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) <-> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) )
51	25, 50	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( th -> ( ( f ` i ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) <-> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) )
52	48, 51	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( th -> ( f ` i ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) )
53	23, 52	bnj1262 31816	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( th -> ( f ` i ) C_ A )
54	21, 53	bnj1023 31786	. . . . . . . . . . . . 13 |- E. j ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ ch ) -> ( f ` i ) C_ A )
55		3anass 969	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ ch ) <-> ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ch ) ) )
56	55	imbi1i 325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ ch ) -> ( f ` i ) C_ A ) <-> ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ch ) ) -> ( f ` i ) C_ A ) )
57	56	exbii 1634	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. j ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ ch ) -> ( f ` i ) C_ A ) <-> E. j ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ch ) ) -> ( f ` i ) C_ A ) )
58	54, 57	mpbi 208	. . . . . . . . . . . 12 |- E. j ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ch ) ) -> ( f ` i ) C_ A )
59	1	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
60	7, 59	bnj771 31769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ch -> ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
61		fveq2 5703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = (/) -> ( f ` i ) = ( f ` (/) ) )
62		bnj213 31887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- pred ( X , A , R ) C_ A
63		sseq1 3389	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) -> ( ( f ` (/) ) C_ A <-> pred ( X , A , R ) C_ A ) )
64	62, 63	mpbiri 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) -> ( f ` (/) ) C_ A )
65		sseq1 3389	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f ` i ) = ( f ` (/) ) -> ( ( f ` i ) C_ A <-> ( f ` (/) ) C_ A ) )
66	65	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f ` i ) = ( f ` (/) ) /\ ( f ` (/) ) C_ A ) -> ( f ` i ) C_ A )
67	61, 64, 66	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i = (/) /\ ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) ) -> ( f ` i ) C_ A )
68	60, 67	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i = (/) /\ ch ) -> ( f ` i ) C_ A )
69	68	adantrl 715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = (/) /\ ( i e. n /\ ch ) ) -> ( f ` i ) C_ A )
70	58, 69	bnj1109 31792	. . . . . . . . . . 11 |- E. j ( ( i e. n /\ ch ) -> ( f ` i ) C_ A )
71		19.9v 1717	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j ( ( i e. n /\ ch ) -> ( f ` i ) C_ A ) <-> ( ( i e. n /\ ch ) -> ( f ` i ) C_ A ) )
72	70, 71	mpbi 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. n /\ ch ) -> ( f ` i ) C_ A )
73	72	expcom 435	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( i e. n -> ( f ` i ) C_ A ) )
74		fndm 5522	. . . . . . . . . . 11 |- ( f Fn n -> dom f = n )
75	7, 74	bnj770 31768	. . . . . . . . . 10 |- ( ch -> dom f = n )
76		eleq2 2504	. . . . . . . . . . 11 |- ( dom f = n -> ( i e. dom f <-> i e. n ) )
77	76	imbi1d 317	. . . . . . . . . 10 |- ( dom f = n -> ( ( i e. dom f -> ( f ` i ) C_ A ) <-> ( i e. n -> ( f ` i ) C_ A ) ) )
78	75, 77	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ch -> ( ( i e. dom f -> ( f ` i ) C_ A ) <-> ( i e. n -> ( f ` i ) C_ A ) ) )
79	73, 78	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ch -> ( i e. dom f -> ( f ` i ) C_ A ) )
80	11, 79	ralrimi 2809	. . . . . . 7 |- ( ch -> A. i e. dom f ( f ` i ) C_ A )
81	80	exlimiv 1688	. . . . . 6 |- ( E. n ch -> A. i e. dom f ( f ` i ) C_ A )
82	8, 81	sylbi 195	. . . . 5 |- ( f e. B -> A. i e. dom f ( f ` i ) C_ A )
83		ss2iun 4198	. . . . . 6 |- ( A. i e. dom f ( f ` i ) C_ A -> U_ i e. dom f ( f ` i ) C_ U_ i e. dom f A )
84		bnj1143 31796	. . . . . 6 |- U_ i e. dom f A C_ A
85	83, 84	syl6ss 3380	. . . . 5 |- ( A. i e. dom f ( f ` i ) C_ A -> U_ i e. dom f ( f ` i ) C_ A )
86	82, 85	syl 16	. . . 4 |- ( f e. B -> U_ i e. dom f ( f ` i ) C_ A )
87	6, 86	mprg 2797	. . 3 |- U_ f e. B U_ i e. dom f ( f ` i ) C_ U_ f e. B A
88	4	bnj1317 31827	. . . 4 |- ( w e. B -> A. f w e. B )
89	88	bnj1146 31797	. . 3 |- U_ f e. B A C_ A
90	87, 89	sstri 3377	. 2 |- U_ f e. B U_ i e. dom f ( f ` i ) C_ A
91	5, 90	eqsstri 3398	1 |- trCl ( X , A , R ) C_ A

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   {cab 2429   =/= wne 2618   A.wral 2727   E.wrex 2728   \ cdif 3337   C_ wss 3340   (/)c0 3649   {csn 3889   U_ciun 4183   suc csuc 4733   dom cdm 4852   Fn wfn 5425   ` cfv 5430   omcom 6488   /\ w-bnj17 31686   predc-bnj14 31688   trClc-bnj18 31694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pr 4543  ax-un 6384

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-iota 5393  df-fn 5433  df-fv 5438  df-om 6489  df-bnj17 31687  df-bnj14 31689  df-bnj18 31695

This theorem is referenced by:  bnj1147  31997