Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj1143 Structured version   Unicode version

Theorem bnj1143 32803
Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bnj1143  |-  U_ x  e.  A  B  C_  B
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem bnj1143
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-iun 4320 . . . 4  |-  U_ x  e.  A  B  =  { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }
2 notnot 291 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  <->  -.  -.  A  =  (/) )
3 neq0 3788 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  =  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
42, 3xchbinx 310 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  <->  -.  E. x  x  e.  A )
5 df-rex 2813 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  B  <->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )
6 exsimpl 1649 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x ( x  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  E. x  x  e.  A )
75, 6sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  B  ->  E. x  x  e.  A )
87con3i 135 . . . . . . 7  |-  ( -. 
E. x  x  e.  A  ->  -.  E. x  e.  A  z  e.  B )
94, 8sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  E. x  e.  A  z  e.  B )
109alrimiv 1690 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  A. z  -.  E. x  e.  A  z  e.  B )
11 notnot 291 . . . . . . 7  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  =  (/)  <->  -.  -.  {
y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  =  (/) )
12 neq0 3788 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
U_ x  e.  A  B  =  (/)  <->  E. z 
z  e.  U_ x  e.  A  B )
131eqeq1i 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ x  e.  A  B  =  (/)  <->  { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  =  (/) )
1413notbii 296 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
U_ x  e.  A  B  =  (/)  <->  -.  { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  =  (/) )
15 df-iun 4320 . . . . . . . . . 10  |-  U_ x  e.  A  B  =  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  B }
1615eleq2i 2538 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  B  <->  z  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  B } )
1716exbii 1639 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  z  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. z  z  e.  {
z  |  E. x  e.  A  z  e.  B } )
1812, 14, 173bitr3i 275 . . . . . . 7  |-  ( -. 
{ y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  =  (/)  <->  E. z  z  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  B } )
1911, 18xchbinx 310 . . . . . 6  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  =  (/)  <->  -.  E. z 
z  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  B } )
20 alnex 1593 . . . . . 6  |-  ( A. z  -.  z  e.  {
z  |  E. x  e.  A  z  e.  B }  <->  -.  E. z 
z  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  B } )
21 abid 2447 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  B }  <->  E. x  e.  A  z  e.  B )
2221notbii 296 . . . . . . 7  |-  ( -.  z  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  B } 
<->  -.  E. x  e.  A  z  e.  B
)
2322albii 1615 . . . . . 6  |-  ( A. z  -.  z  e.  {
z  |  E. x  e.  A  z  e.  B }  <->  A. z  -.  E. x  e.  A  z  e.  B )
2419, 20, 233bitr2i 273 . . . . 5  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  =  (/)  <->  A. z  -.  E. x  e.  A  z  e.  B )
2510, 24sylibr 212 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  =  (/) )
261, 25syl5eq 2513 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  U_ x  e.  A  B  =  (/) )
27 0ss 3807 . . 3  |-  (/)  C_  B
2826, 27syl6eqss 3547 . 2  |-  ( A  =  (/)  ->  U_ x  e.  A  B  C_  B
)
29 iunconst 4327 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  A  B  =  B )
30 eqimss 3549 . . 3  |-  ( U_ x  e.  A  B  =  B  ->  U_ x  e.  A  B  C_  B
)
3129, 30syl 16 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  A  B  C_  B
)
3228, 31pm2.61ine 2773 1  |-  U_ x  e.  A  B  C_  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369   A.wal 1372    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762   {cab 2445    =/= wne 2655   E.wrex 2808    C_ wss 3469   (/)c0 3778   U_ciun 4318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-v 3108  df-dif 3472  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-iun 4320
This theorem is referenced by:  bnj1146  32804  bnj1145  33003  bnj1136  33007
  Copyright terms: Public domain W3C validator