Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj1143 Structured version   Unicode version

Theorem bnj1143 32087
Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bnj1143  |-  U_ x  e.  A  B  C_  B
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem bnj1143
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-iun 4274 . . . 4  |-  U_ x  e.  A  B  =  { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }
2 notnot 291 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  <->  -.  -.  A  =  (/) )
3 neq0 3748 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  =  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
42, 3xchbinx 310 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  <->  -.  E. x  x  e.  A )
5 df-rex 2801 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  B  <->  E. x
( x  e.  A  /\  z  e.  B
) )
6 exsimpl 1645 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x ( x  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  E. x  x  e.  A )
75, 6sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  z  e.  B  ->  E. x  x  e.  A )
87con3i 135 . . . . . . 7  |-  ( -. 
E. x  x  e.  A  ->  -.  E. x  e.  A  z  e.  B )
94, 8sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  E. x  e.  A  z  e.  B )
109alrimiv 1686 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  A. z  -.  E. x  e.  A  z  e.  B )
11 notnot 291 . . . . . . 7  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  =  (/)  <->  -.  -.  {
y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  =  (/) )
12 neq0 3748 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
U_ x  e.  A  B  =  (/)  <->  E. z 
z  e.  U_ x  e.  A  B )
131eqeq1i 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ x  e.  A  B  =  (/)  <->  { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  =  (/) )
1413notbii 296 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
U_ x  e.  A  B  =  (/)  <->  -.  { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  =  (/) )
15 df-iun 4274 . . . . . . . . . 10  |-  U_ x  e.  A  B  =  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  B }
1615eleq2i 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U_ x  e.  A  B  <->  z  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  B } )
1716exbii 1635 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  z  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. z  z  e.  {
z  |  E. x  e.  A  z  e.  B } )
1812, 14, 173bitr3i 275 . . . . . . 7  |-  ( -. 
{ y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  =  (/)  <->  E. z  z  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  B } )
1911, 18xchbinx 310 . . . . . 6  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  =  (/)  <->  -.  E. z 
z  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  B } )
20 alnex 1589 . . . . . 6  |-  ( A. z  -.  z  e.  {
z  |  E. x  e.  A  z  e.  B }  <->  -.  E. z 
z  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  B } )
21 abid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  B }  <->  E. x  e.  A  z  e.  B )
2221notbii 296 . . . . . . 7  |-  ( -.  z  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  e.  B } 
<->  -.  E. x  e.  A  z  e.  B
)
2322albii 1611 . . . . . 6  |-  ( A. z  -.  z  e.  {
z  |  E. x  e.  A  z  e.  B }  <->  A. z  -.  E. x  e.  A  z  e.  B )
2419, 20, 233bitr2i 273 . . . . 5  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  =  (/)  <->  A. z  -.  E. x  e.  A  z  e.  B )
2510, 24sylibr 212 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  e.  B }  =  (/) )
261, 25syl5eq 2504 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  U_ x  e.  A  B  =  (/) )
27 0ss 3767 . . 3  |-  (/)  C_  B
2826, 27syl6eqss 3507 . 2  |-  ( A  =  (/)  ->  U_ x  e.  A  B  C_  B
)
29 iunconst 4280 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  A  B  =  B )
30 eqimss 3509 . . 3  |-  ( U_ x  e.  A  B  =  B  ->  U_ x  e.  A  B  C_  B
)
3129, 30syl 16 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  U_ x  e.  A  B  C_  B
)
3228, 31pm2.61ine 2761 1  |-  U_ x  e.  A  B  C_  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369   A.wal 1368    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   {cab 2436    =/= wne 2644   E.wrex 2796    C_ wss 3429   (/)c0 3738   U_ciun 4272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-v 3073  df-dif 3432  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-iun 4274
This theorem is referenced by:  bnj1146  32088  bnj1145  32287  bnj1136  32291
  Copyright terms: Public domain W3C validator