Theorem bnj1128 29807

Description: Technical lemma for bnj69 29827. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1128.1	|- ( ph <-> ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
bnj1128.2	|- ( ps <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
bnj1128.3	|- D = ( om \ { (/) } )
bnj1128.4	|- B = { f | E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) }
bnj1128.5	|- ( ch <-> ( n e. D /\ f Fn n /\ ph /\ ps ) )
bnj1128.6	|- ( th <-> ( ch -> ( f ` i ) C_ A ) )
bnj1128.7	|- ( ta <-> A. j e. n ( j _E i -> [. j / i ]. th ) )
bnj1128.8	|- ( ph' <-> [. j / i ]. ph )
bnj1128.9	|- ( ps' <-> [. j / i ]. ps )
bnj1128.10	|- ( ch' <-> [. j / i ]. ch )
bnj1128.11	|- ( th' <-> [. j / i ]. th )

Assertion

Ref	Expression
bnj1128	|- ( Y e. trCl ( X , A , R ) -> Y e. A )

Distinct variable groups:   A, f, i, j, n, y   D, i, j, y   R, f, i, j, n, y   f, X, i, n, y   f, Y, i, n, y   ch, j   ph, i, y   th, j

Allowed substitution hints:   ph( f, j, n)   ps( y, f, i, j, n)   ch( y, f, i, n)   th( y, f, i, n)   ta( y, f, i, j, n)   B( y, f, i, j, n)   D( f, n)   X( j)   Y( j)   ph'( y, f, i, j, n)   ps'( y, f, i, j, n)   ch'( y, f, i, j, n)   th'( y, f, i, j, n)

Proof of Theorem bnj1128

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1128.1	. . . 4 |- ( ph <-> ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
2		bnj1128.2	. . . 4 |- ( ps <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
3		bnj1128.3	. . . 4 |- D = ( om \ { (/) } )
4		bnj1128.4	. . . 4 |- B = { f | E. n e. D ( f Fn n /\ ph /\ ps ) }
5		bnj1128.5	. . . 4 |- ( ch <-> ( n e. D /\ f Fn n /\ ph /\ ps ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	bnj981 29769	. . 3 |- ( Y e. trCl ( X , A , R ) -> E. f E. n E. i ( ch /\ i e. n /\ Y e. ( f ` i ) ) )
7		simp1 1005	. . . . . 6 |- ( ( ch /\ i e. n /\ Y e. ( f ` i ) ) -> ch )
8		simp2 1006	. . . . . 6 |- ( ( ch /\ i e. n /\ Y e. ( f ` i ) ) -> i e. n )
9		bnj1128.7	. . . . . . . . 9 |- ( ta <-> A. j e. n ( j _E i -> [. j / i ]. th ) )
10		nfv 1755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j i e. n
11		nfra1 2803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ j A. j e. n ( j _E i -> [. j / i ]. th )
12	9, 11	nfxfr 1690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j ta
13		nfv 1755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j ch
14	10, 12, 13	nf3an 1990	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ j ( i e. n /\ ta /\ ch )
15		nfv 1755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ j ( f ` i ) C_ A
16	14, 15	nfim 1980	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ j ( ( i e. n /\ ta /\ ch ) -> ( f ` i ) C_ A )
17	16	nfri 1929	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( i e. n /\ ta /\ ch ) -> ( f ` i ) C_ A ) -> A. j ( ( i e. n /\ ta /\ ch ) -> ( f ` i ) C_ A ) )
18	3	bnj1098 29603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- E. j ( ( i =/= (/) /\ i e. n /\ n e. D ) -> ( j e. n /\ i = suc j ) )
19		simpl 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> i =/= (/) )
20		simpr1 1011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> i e. n )
21	5	bnj1232 29623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch -> n e. D )
22	21	3ad2ant3 1028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. n /\ ta /\ ch ) -> n e. D )
23	22	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> n e. D )
24	19, 20, 23	3jca 1185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> ( i =/= (/) /\ i e. n /\ n e. D ) )
25	18, 24	bnj1101 29604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- E. j ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> ( j e. n /\ i = suc j ) )
26		ancl 548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> ( j e. n /\ i = suc j ) ) -> ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) ) )
27	25, 26	bnj101 29537	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- E. j ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) )
28		df-3an 984	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) <-> ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) )
29	28	imbi2i 313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) ) <-> ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) ) )
30	29	exbii 1712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. j ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) ) <-> E. j ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) ) )
31	27, 30	mpbir 212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E. j ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) )
32		bnj213 29701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- pred ( y , A , R ) C_ A
33	32	bnj226 29550	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) C_ A
34		simp21 1038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) -> i e. n )
35		simp3r 1034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) -> i = suc j )
36		biid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n e. D <-> n e. D )
37		biid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f Fn n <-> f Fn n )
38		bnj1128.8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph' <-> [. j / i ]. ph )
39		vex 3083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- j e. _V
40		sbcg 3365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. _V -> ( [. j / i ]. ph <-> ph ) )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( [. j / i ]. ph <-> ph )
42	38, 41	bitr2i 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph <-> ph' )
43		bnj1128.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ps' <-> [. j / i ]. ps )
44	2, 43	bnj1039 29788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ps' <-> A. i e. om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) pred ( y , A , R ) ) )
45	2, 44	bitr4i 255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ps <-> ps' )
46	36, 37, 42, 45	bnj887 29584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( n e. D /\ f Fn n /\ ph /\ ps ) <-> ( n e. D /\ f Fn n /\ ph' /\ ps' ) )
47		bnj1128.10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ch' <-> [. j / i ]. ch )
48	38, 43, 5, 47	bnj1040 29789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ch' <-> ( n e. D /\ f Fn n /\ ph' /\ ps' ) )
49	46, 5, 48	3bitr4i 280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch <-> ch' )
50	48	bnj1254 29629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ch' -> ps' )
51	49, 50	sylbi 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ch -> ps' )
52	51	3ad2ant3 1028	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. n /\ ta /\ ch ) -> ps' )
53	52	3ad2ant2 1027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) -> ps' )
54		simp3l 1033	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) -> j e. n )
55	22	3ad2ant2 1027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) -> n e. D )
56	3	bnj923 29587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. D -> n e. om )
57		elnn 6716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( j e. n /\ n e. om ) -> j e. om )
58	56, 57	sylan2 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( j e. n /\ n e. D ) -> j e. om )
59	54, 55, 58	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) -> j e. om )
60	44	bnj589 29728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ps' <-> A. j e. om ( suc j e. n -> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) )
61		rsp 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. j e. om ( suc j e. n -> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) -> ( j e. om -> ( suc j e. n -> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) ) )
62	60, 61	sylbi 198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ps' -> ( j e. om -> ( suc j e. n -> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) ) )
63		eleq1 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = suc j -> ( i e. n <-> suc j e. n ) )
64		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i = suc j -> ( f ` i ) = ( f ` suc j ) )
65	64	eqeq1d 2424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = suc j -> ( ( f ` i ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) <-> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) )
66	63, 65	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = suc j -> ( ( i e. n -> ( f ` i ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) <-> ( suc j e. n -> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) ) )
67	66	imbi2d 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = suc j -> ( ( j e. om -> ( i e. n -> ( f ` i ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) ) <-> ( j e. om -> ( suc j e. n -> ( f ` suc j ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) ) ) )
68	62, 67	syl5ibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = suc j -> ( ps' -> ( j e. om -> ( i e. n -> ( f ` i ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) ) ) )
69	35, 53, 59, 68	syl3c 63	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) -> ( i e. n -> ( f ` i ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) ) )
70	34, 69	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) -> ( f ` i ) = U_ y e. ( f ` j ) pred ( y , A , R ) )
71	33, 70	bnj1262 29630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) /\ ( j e. n /\ i = suc j ) ) -> ( f ` i ) C_ A )
72	31, 71	bnj1023 29600	. . . . . . . . . . . . 13 |- E. j ( ( i =/= (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> ( f ` i ) C_ A )
73	5	bnj1247 29628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ch -> ph )
74	73	3ad2ant3 1028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i e. n /\ ta /\ ch ) -> ph )
75		bnj213 29701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pred ( X , A , R ) C_ A
76		fveq2 5881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = (/) -> ( f ` i ) = ( f ` (/) ) )
77	1	biimpi 197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( f ` (/) ) = pred ( X , A , R ) )
78	76, 77	sylan9eq 2483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i = (/) /\ ph ) -> ( f ` i ) = pred ( X , A , R ) )
79	75, 78	bnj1262 29630	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i = (/) /\ ph ) -> ( f ` i ) C_ A )
80	74, 79	sylan2 476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i = (/) /\ ( i e. n /\ ta /\ ch ) ) -> ( f ` i ) C_ A )
81	72, 80	bnj1109 29606	. . . . . . . . . . . 12 |- E. j ( ( i e. n /\ ta /\ ch ) -> ( f ` i ) C_ A )
82	17, 81	bnj1131 29607	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. n /\ ta /\ ch ) -> ( f ` i ) C_ A )
83	82	3expia 1207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. n /\ ta ) -> ( ch -> ( f ` i ) C_ A ) )
84		bnj1128.6	. . . . . . . . . 10 |- ( th <-> ( ch -> ( f ` i ) C_ A ) )
85	83, 84	sylibr 215	. . . . . . . . 9 |- ( ( i e. n /\ ta ) -> th )
86	3, 5, 9, 85	bnj1133 29806	. . . . . . . 8 |- ( ch -> A. i e. n th )
87	84	ralbii 2853	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. n th <-> A. i e. n ( ch -> ( f ` i ) C_ A ) )
88	86, 87	sylib 199	. . . . . . 7 |- ( ch -> A. i e. n ( ch -> ( f ` i ) C_ A ) )
89		rsp 2788	. . . . . . 7 |- ( A. i e. n ( ch -> ( f ` i ) C_ A ) -> ( i e. n -> ( ch -> ( f ` i ) C_ A ) ) )
90	88, 89	syl 17	. . . . . 6 |- ( ch -> ( i e. n -> ( ch -> ( f ` i ) C_ A ) ) )
91	7, 8, 7, 90	syl3c 63	. . . . 5 |- ( ( ch /\ i e. n /\ Y e. ( f ` i ) ) -> ( f ` i ) C_ A )
92		simp3 1007	. . . . 5 |- ( ( ch /\ i e. n /\ Y e. ( f ` i ) ) -> Y e. ( f ` i ) )
93	91, 92	sseldd 3465	. . . 4 |- ( ( ch /\ i e. n /\ Y e. ( f ` i ) ) -> Y e. A )
94	93	2eximi 1702	. . 3 |- ( E. n E. i ( ch /\ i e. n /\ Y e. ( f ` i ) ) -> E. n E. i Y e. A )
95	6, 94	bnj593 29563	. 2 |- ( Y e. trCl ( X , A , R ) -> E. f E. n E. i Y e. A )
96		19.9v 1805	. . 3 |- ( E. f E. n E. i Y e. A <-> E. n E. i Y e. A )
97		19.9v 1805	. . 3 |- ( E. n E. i Y e. A <-> E. i Y e. A )
98		19.9v 1805	. . 3 |- ( E. i Y e. A <-> Y e. A )
99	96, 97, 98	3bitri 274	. 2 |- ( E. f E. n E. i Y e. A <-> Y e. A )
100	95, 99	sylib 199	1 |- ( Y e. trCl ( X , A , R ) -> Y e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   E.wex 1657   e. wcel 1872   {cab 2407   =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080   [.wsbc 3299   \ cdif 3433   C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3998   U_ciun 4299   class class class wbr 4423   _E cep 4762   suc csuc 5444   Fn wfn 5596   ` cfv 5601   omcom 6706   /\ w-bnj17 29499   predc-bnj14 29501   trClc-bnj18 29507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pr 4660  ax-un 6597

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fn 5604  df-fv 5609  df-om 6707  df-bnj17 29500  df-bnj14 29502  df-bnj18 29508

This theorem is referenced by:  bnj1127  29808