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Theorem bnj110 29664
Description: Well-founded induction restricted to a set ( A  e.  _V). The proof has been taken from Chapter 4 of Don Monk's notes on Set Theory. See http://euclid.colorado.edu/~monkd/setth.pdf. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj110.1  |-  A  e. 
_V
bnj110.2  |-  ( ps  <->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph ) )
Assertion
Ref Expression
bnj110  |-  ( ( R  Fr  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  A. x  e.  A  ph )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, R, y    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x, y)

Proof of Theorem bnj110
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralnex 2871 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  [. z  /  x ]. ph  <->  -.  E. z  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } [. z  /  x ]. ph )
2 vex 3084 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
3 sbcng 3340 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  ( [. z  /  x ].  -.  ph  <->  -.  [. z  /  x ]. ph ) )
42, 3ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( [. z  /  x ].  -.  ph  <->  -. 
[. z  /  x ]. ph )
54bicomi 205 . . . . . 6  |-  ( -. 
[. z  /  x ]. ph  <->  [. z  /  x ].  -.  ph )
65ralbii 2856 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  [. z  /  x ]. ph  <->  A. z  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } [. z  /  x ].  -.  ph )
71, 6bitr3i 254 . . . 4  |-  ( -. 
E. z  e.  {
x  e.  A  |  -.  ph } [. z  /  x ]. ph  <->  A. z  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } [. z  /  x ].  -.  ph )
8 df-rab 2784 . . . . . . 7  |-  { x  e.  A  |  -.  ph }  =  { x  |  ( x  e.  A  /\  -.  ph ) }
98eleq2i 2500 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } 
<->  z  e.  { x  |  ( x  e.  A  /\  -.  ph ) } )
10 df-sbc 3300 . . . . . . 7  |-  ( [. z  /  x ]. (
x  e.  A  /\  -.  ph )  <->  z  e.  { x  |  ( x  e.  A  /\  -.  ph ) } )
11 sbcan 3342 . . . . . . . 8  |-  ( [. z  /  x ]. (
x  e.  A  /\  -.  ph )  <->  ( [. z  /  x ]. x  e.  A  /\  [. z  /  x ].  -.  ph ) )
12 sbcel1v 3358 . . . . . . . . 9  |-  ( [. z  /  x ]. x  e.  A  <->  z  e.  A
)
1312anbi1i 699 . . . . . . . 8  |-  ( (
[. z  /  x ]. x  e.  A  /\  [. z  /  x ].  -.  ph )  <->  ( z  e.  A  /\  [. z  /  x ].  -.  ph ) )
1411, 13bitri 252 . . . . . . 7  |-  ( [. z  /  x ]. (
x  e.  A  /\  -.  ph )  <->  ( z  e.  A  /\  [. z  /  x ].  -.  ph ) )
1510, 14bitr3i 254 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  |  ( x  e.  A  /\  -.  ph ) }  <-> 
( z  e.  A  /\  [. z  /  x ].  -.  ph ) )
169, 15bitri 252 . . . . 5  |-  ( z  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } 
<->  ( z  e.  A  /\  [. z  /  x ].  -.  ph ) )
1716simprbi 465 . . . 4  |-  ( z  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  ->  [. z  /  x ].  -.  ph )
187, 17mprgbir 2789 . . 3  |-  -.  E. z  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } [. z  /  x ]. ph
19 bnj110.1 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
_V
2019rabex 4571 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  -.  ph }  e.  _V
2120biantrur 508 . . . . . . 7  |-  ( R  Fr  A  <->  ( {
x  e.  A  |  -.  ph }  e.  _V  /\  R  Fr  A ) )
22 rexnal 2873 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  -.  ph  <->  -. 
A. x  e.  A  ph )
23 rabn0 3782 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  A  |  -.  ph }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  A  -.  ph )
24 ssrab2 3546 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  A  |  -.  ph }  C_  A
2524biantrur 508 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  A  |  -.  ph }  =/=  (/)  <->  ( {
x  e.  A  |  -.  ph }  C_  A  /\  { x  e.  A  |  -.  ph }  =/=  (/) ) )
2623, 25bitr3i 254 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  -.  ph  <->  ( { x  e.  A  |  -.  ph }  C_  A  /\  { x  e.  A  |  -.  ph }  =/=  (/) ) )
2722, 26bitr3i 254 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  e.  A  ph  <->  ( { x  e.  A  |  -.  ph }  C_  A  /\  { x  e.  A  |  -.  ph }  =/=  (/) ) )
28 fri 4811 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { x  e.  A  |  -.  ph }  e.  _V  /\  R  Fr  A )  /\  ( { x  e.  A  |  -.  ph }  C_  A  /\  { x  e.  A  |  -.  ph }  =/=  (/) ) )  ->  E. z  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } A. w  e. 
{ x  e.  A  |  -.  ph }  -.  w R z )
2921, 27, 28syl2anb 481 . . . . . 6  |-  ( ( R  Fr  A  /\  -.  A. x  e.  A  ph )  ->  E. z  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } A. w  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  w R z )
30 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  A  |  -.  ph }  =  { x  e.  A  |  -.  ph }
3130bnj23 29519 . . . . . . 7  |-  ( A. w  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  w R z  ->  A. y  e.  A  ( y R z  ->  [. y  /  x ]. ph )
)
32 df-ral 2780 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  (
y R x  ->  [. y  /  x ]. ph )  <->  A. y
( y  e.  A  ->  ( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph ) ) )
3332sbcbii 3355 . . . . . . . . 9  |-  ( [. z  /  x ]. A. y  e.  A  (
y R x  ->  [. y  /  x ]. ph )  <->  [. z  /  x ]. A. y ( y  e.  A  -> 
( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph ) ) )
34 sbcal 3349 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. z  /  x ]. A. y ( y  e.  A  ->  ( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph )
)  <->  A. y [. z  /  x ]. ( y  e.  A  ->  (
y R x  ->  [. y  /  x ]. ph ) ) )
35 sbcimg 3341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  _V  ->  ( [. z  /  x ]. ( y  e.  A  ->  ( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph ) )  <->  ( [. z  /  x ]. y  e.  A  ->  [. z  /  x ]. ( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph )
) ) )
362, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. z  /  x ]. (
y  e.  A  -> 
( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph ) )  <->  ( [. z  /  x ]. y  e.  A  ->  [. z  /  x ]. ( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph )
) )
37 nfv 1751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x  y  e.  A
3837sbcgf 3363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  _V  ->  ( [. z  /  x ]. y  e.  A  <->  y  e.  A ) )
392, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. z  /  x ]. y  e.  A  <->  y  e.  A
)
40 sbcimg 3341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  _V  ->  ( [. z  /  x ]. ( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph )  <->  ( [. z  /  x ]. y R x  ->  [. z  /  x ]. [. y  /  x ]. ph )
) )
412, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [. z  /  x ]. (
y R x  ->  [. y  /  x ]. ph )  <->  ( [. z  /  x ]. y R x  ->  [. z  /  x ]. [. y  /  x ]. ph )
)
42 sbcbr2g 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  _V  ->  ( [. z  /  x ]. y R x  <->  y R [_ z  /  x ]_ x ) )
432, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [. z  /  x ]. y R x  <->  y R [_ z  /  x ]_ x
)
44 csbvarg 3820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  _V  ->  [_ z  /  x ]_ x  =  z )
452, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  [_ z  /  x ]_ x  =  z
4645breq2i 4428 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y R [_ z  /  x ]_ x  <->  y R
z )
4743, 46bitri 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. z  /  x ]. y R x  <->  y R z )
48 nfsbc1v 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x [. y  /  x ]. ph
4948sbcgf 3363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  _V  ->  ( [. z  /  x ]. [. y  /  x ]. ph  <->  [. y  /  x ]. ph ) )
502, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. z  /  x ]. [. y  /  x ]. ph  <->  [. y  /  x ]. ph )
5147, 50imbi12i 327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
[. z  /  x ]. y R x  ->  [. z  /  x ]. [. y  /  x ]. ph )  <->  ( y R z  ->  [. y  /  x ]. ph )
)
5241, 51bitri 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. z  /  x ]. (
y R x  ->  [. y  /  x ]. ph )  <->  ( y R z  ->  [. y  /  x ]. ph )
)
5339, 52imbi12i 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
[. z  /  x ]. y  e.  A  ->  [. z  /  x ]. ( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph ) )  <->  ( y  e.  A  ->  ( y R z  ->  [. y  /  x ]. ph )
) )
5436, 53bitri 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [. z  /  x ]. (
y  e.  A  -> 
( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph ) )  <->  ( y  e.  A  ->  ( y R z  ->  [. y  /  x ]. ph )
) )
5554albii 1687 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y [. z  /  x ]. ( y  e.  A  ->  ( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph ) )  <->  A. y
( y  e.  A  ->  ( y R z  ->  [. y  /  x ]. ph ) ) )
5634, 55bitri 252 . . . . . . . . 9  |-  ( [. z  /  x ]. A. y ( y  e.  A  ->  ( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph )
)  <->  A. y ( y  e.  A  ->  (
y R z  ->  [. y  /  x ]. ph ) ) )
5733, 56bitri 252 . . . . . . . 8  |-  ( [. z  /  x ]. A. y  e.  A  (
y R x  ->  [. y  /  x ]. ph )  <->  A. y
( y  e.  A  ->  ( y R z  ->  [. y  /  x ]. ph ) ) )
58 bnj110.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ps  <->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph ) )
5958sbcbii 3355 . . . . . . . 8  |-  ( [. z  /  x ]. ps  <->  [. z  /  x ]. A. y  e.  A  ( y R x  ->  [. y  /  x ]. ph ) )
60 df-ral 2780 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  (
y R z  ->  [. y  /  x ]. ph )  <->  A. y
( y  e.  A  ->  ( y R z  ->  [. y  /  x ]. ph ) ) )
6157, 59, 603bitr4i 280 . . . . . . 7  |-  ( [. z  /  x ]. ps  <->  A. y  e.  A  ( y R z  ->  [. y  /  x ]. ph ) )
6231, 61sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  -.  w R z  ->  [. z  /  x ]. ps )
6329, 62bnj31 29520 . . . . 5  |-  ( ( R  Fr  A  /\  -.  A. x  e.  A  ph )  ->  E. z  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } [. z  /  x ]. ps )
64 nfv 1751 . . . . . . . 8  |-  F/ z ( ps  ->  ph )
65 nfsbc1v 3319 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [. z  /  x ]. ps
66 nfsbc1v 3319 . . . . . . . . 9  |-  F/ x [. z  /  x ]. ph
6765, 66nfim 1976 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( [. z  /  x ]. ps  ->  [. z  /  x ]. ph )
68 sbceq1a 3310 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( ps 
<-> 
[. z  /  x ]. ps ) )
69 sbceq1a 3310 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( ph 
<-> 
[. z  /  x ]. ph ) )
7068, 69imbi12d 321 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( ps  ->  ph )  <->  (
[. z  /  x ]. ps  ->  [. z  /  x ]. ph ) ) )
7164, 67, 70cbvral 3051 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  <->  A. z  e.  A  ( [. z  /  x ]. ps  ->  [. z  /  x ]. ph ) )
72 elrabi 3226 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  ->  z  e.  A
)
7372imim1i 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  A  -> 
( [. z  /  x ]. ps  ->  [. z  /  x ]. ph ) )  ->  ( z  e. 
{ x  e.  A  |  -.  ph }  ->  (
[. z  /  x ]. ps  ->  [. z  /  x ]. ph ) ) )
7473ralimi2 2815 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  A  ( [. z  /  x ]. ps  ->  [. z  /  x ]. ph )  ->  A. z  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  ( [. z  /  x ]. ps  ->  [. z  /  x ]. ph ) )
7571, 74sylbi 198 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  ->  A. z  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  ( [. z  /  x ]. ps  ->  [. z  /  x ]. ph ) )
76 rexim 2890 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  { x  e.  A  |  -.  ph }  ( [. z  /  x ]. ps  ->  [. z  /  x ]. ph )  ->  ( E. z  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } [. z  /  x ]. ps  ->  E. z  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } [. z  /  x ]. ph )
)
7775, 76syl 17 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )  ->  ( E. z  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } [. z  /  x ]. ps  ->  E. z  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } [. z  /  x ]. ph )
)
7863, 77mpan9 471 . . . 4  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  -.  A. x  e.  A  ph )  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  E. z  e.  {
x  e.  A  |  -.  ph } [. z  /  x ]. ph )
7978an32s 811 . . 3  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )
)  /\  -.  A. x  e.  A  ph )  ->  E. z  e.  { x  e.  A  |  -.  ph } [. z  /  x ]. ph )
8018, 79mto 179 . 2  |-  -.  (
( R  Fr  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )
)  /\  -.  A. x  e.  A  ph )
81 iman 425 . 2  |-  ( ( ( R  Fr  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )
)  ->  A. x  e.  A  ph )  <->  -.  (
( R  Fr  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph )
)  /\  -.  A. x  e.  A  ph ) )
8280, 81mpbir 212 1  |-  ( ( R  Fr  A  /\  A. x  e.  A  ( ps  ->  ph ) )  ->  A. x  e.  A  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1868   {cab 2407    =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   {crab 2779   _Vcvv 3081   [.wsbc 3299   [_csb 3395    C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4420    Fr wfr 4805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-br 4421  df-fr 4808
This theorem is referenced by:  bnj157  29665  bnj580  29719  bnj1052  29779  bnj1030  29791  bnj1133  29793
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