Theorem bnj110 29741

Description: Well-founded induction restricted to a set ( A e. _V). The proof has been taken from Chapter 4 of Don Monk's notes on Set Theory. See http://euclid.colorado.edu/~monkd/setth.pdf. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj110.1	|- A e. _V
bnj110.2	|- ( ps <-> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ph ) )

Assertion

Ref	Expression
bnj110	|- ( ( R Fr A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) -> A. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, R, y   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( x, y)

Proof of Theorem bnj110

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralnex 2834	. . . . 5 |- ( A. z e. { x e. A | -. ph } -. [. z / x ]. ph <-> -. E. z e. { x e. A | -. ph } [. z / x ]. ph )
2		vex 3034	. . . . . . . 8 |- z e. _V
3		sbcng 3296	. . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> ( [. z / x ]. -. ph <-> -. [. z / x ]. ph ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( [. z / x ]. -. ph <-> -. [. z / x ]. ph )
5	4	bicomi 207	. . . . . 6 |- ( -. [. z / x ]. ph <-> [. z / x ]. -. ph )
6	5	ralbii 2823	. . . . 5 |- ( A. z e. { x e. A | -. ph } -. [. z / x ]. ph <-> A. z e. { x e. A | -. ph } [. z / x ]. -. ph )
7	1, 6	bitr3i 259	. . . 4 |- ( -. E. z e. { x e. A | -. ph } [. z / x ]. ph <-> A. z e. { x e. A | -. ph } [. z / x ]. -. ph )
8		df-rab 2765	. . . . . . 7 |- { x e. A | -. ph } = { x | ( x e. A /\ -. ph ) }
9	8	eleq2i 2541	. . . . . 6 |- ( z e. { x e. A | -. ph } <-> z e. { x | ( x e. A /\ -. ph ) } )
10		df-sbc 3256	. . . . . . 7 |- ( [. z / x ]. ( x e. A /\ -. ph ) <-> z e. { x | ( x e. A /\ -. ph ) } )
11		sbcan 3298	. . . . . . . 8 |- ( [. z / x ]. ( x e. A /\ -. ph ) <-> ( [. z / x ]. x e. A /\ [. z / x ]. -. ph ) )
12		sbcel1v 3314	. . . . . . . . 9 |- ( [. z / x ]. x e. A <-> z e. A )
13	12	anbi1i 709	. . . . . . . 8 |- ( ( [. z / x ]. x e. A /\ [. z / x ]. -. ph ) <-> ( z e. A /\ [. z / x ]. -. ph ) )
14	11, 13	bitri 257	. . . . . . 7 |- ( [. z / x ]. ( x e. A /\ -. ph ) <-> ( z e. A /\ [. z / x ]. -. ph ) )
15	10, 14	bitr3i 259	. . . . . 6 |- ( z e. { x | ( x e. A /\ -. ph ) } <-> ( z e. A /\ [. z / x ]. -. ph ) )
16	9, 15	bitri 257	. . . . 5 |- ( z e. { x e. A | -. ph } <-> ( z e. A /\ [. z / x ]. -. ph ) )
17	16	simprbi 471	. . . 4 |- ( z e. { x e. A | -. ph } -> [. z / x ]. -. ph )
18	7, 17	mprgbir 2771	. . 3 |- -. E. z e. { x e. A | -. ph } [. z / x ]. ph
19		bnj110.1	. . . . . . . . 9 |- A e. _V
20	19	rabex 4550	. . . . . . . 8 |- { x e. A | -. ph } e. _V
21	20	biantrur 514	. . . . . . 7 |- ( R Fr A <-> ( { x e. A | -. ph } e. _V /\ R Fr A ) )
22		rexnal 2836	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. A -. ph <-> -. A. x e. A ph )
23		rabn0 3755	. . . . . . . . 9 |- ( { x e. A | -. ph } =/= (/) <-> E. x e. A -. ph )
24		ssrab2 3500	. . . . . . . . . 10 |- { x e. A | -. ph } C_ A
25	24	biantrur 514	. . . . . . . . 9 |- ( { x e. A | -. ph } =/= (/) <-> ( { x e. A | -. ph } C_ A /\ { x e. A | -. ph } =/= (/) ) )
26	23, 25	bitr3i 259	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. A -. ph <-> ( { x e. A | -. ph } C_ A /\ { x e. A | -. ph } =/= (/) ) )
27	22, 26	bitr3i 259	. . . . . . 7 |- ( -. A. x e. A ph <-> ( { x e. A | -. ph } C_ A /\ { x e. A | -. ph } =/= (/) ) )
28		fri 4801	. . . . . . 7 |- ( ( ( { x e. A | -. ph } e. _V /\ R Fr A ) /\ ( { x e. A | -. ph } C_ A /\ { x e. A | -. ph } =/= (/) ) ) -> E. z e. { x e. A | -. ph } A. w e. { x e. A | -. ph } -. w R z )
29	21, 27, 28	syl2anb 487	. . . . . 6 |- ( ( R Fr A /\ -. A. x e. A ph ) -> E. z e. { x e. A | -. ph } A. w e. { x e. A | -. ph } -. w R z )
30		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- { x e. A | -. ph } = { x e. A | -. ph }
31	30	bnj23 29596	. . . . . . 7 |- ( A. w e. { x e. A | -. ph } -. w R z -> A. y e. A ( y R z -> [. y / x ]. ph ) )
32		df-ral 2761	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ph ) <-> A. y ( y e. A -> ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) )
33	32	sbcbii 3311	. . . . . . . . 9 |- ( [. z / x ]. A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ph ) <-> [. z / x ]. A. y ( y e. A -> ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) )
34		sbcal 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( [. z / x ]. A. y ( y e. A -> ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) <-> A. y [. z / x ]. ( y e. A -> ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) )
35		sbcimg 3297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. _V -> ( [. z / x ]. ( y e. A -> ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) <-> ( [. z / x ]. y e. A -> [. z / x ]. ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) ) )
36	2, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [. z / x ]. ( y e. A -> ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) <-> ( [. z / x ]. y e. A -> [. z / x ]. ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) )
37		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x y e. A
38	37	sbcgf 3319	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. _V -> ( [. z / x ]. y e. A <-> y e. A ) )
39	2, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [. z / x ]. y e. A <-> y e. A )
40		sbcimg 3297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. _V -> ( [. z / x ]. ( y R x -> [. y / x ]. ph ) <-> ( [. z / x ]. y R x -> [. z / x ]. [. y / x ]. ph ) ) )
41	2, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [. z / x ]. ( y R x -> [. y / x ]. ph ) <-> ( [. z / x ]. y R x -> [. z / x ]. [. y / x ]. ph ) )
42		sbcbr2g 4451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. _V -> ( [. z / x ]. y R x <-> y R [_ z / x ]_ x ) )
43	2, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [. z / x ]. y R x <-> y R [_ z / x ]_ x )
44		csbvarg 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. _V -> [_ z / x ]_ x = z )
45	2, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- [_ z / x ]_ x = z
46	45	breq2i 4403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y R [_ z / x ]_ x <-> y R z )
47	43, 46	bitri 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. z / x ]. y R x <-> y R z )
48		nfsbc1v 3275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x [. y / x ]. ph
49	48	sbcgf 3319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. _V -> ( [. z / x ]. [. y / x ]. ph <-> [. y / x ]. ph ) )
50	2, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [. z / x ]. [. y / x ]. ph <-> [. y / x ]. ph )
51	47, 50	imbi12i 333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( [. z / x ]. y R x -> [. z / x ]. [. y / x ]. ph ) <-> ( y R z -> [. y / x ]. ph ) )
52	41, 51	bitri 257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [. z / x ]. ( y R x -> [. y / x ]. ph ) <-> ( y R z -> [. y / x ]. ph ) )
53	39, 52	imbi12i 333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( [. z / x ]. y e. A -> [. z / x ]. ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) <-> ( y e. A -> ( y R z -> [. y / x ]. ph ) ) )
54	36, 53	bitri 257	. . . . . . . . . . 11 |- ( [. z / x ]. ( y e. A -> ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) <-> ( y e. A -> ( y R z -> [. y / x ]. ph ) ) )
55	54	albii 1699	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y [. z / x ]. ( y e. A -> ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) <-> A. y ( y e. A -> ( y R z -> [. y / x ]. ph ) ) )
56	34, 55	bitri 257	. . . . . . . . 9 |- ( [. z / x ]. A. y ( y e. A -> ( y R x -> [. y / x ]. ph ) ) <-> A. y ( y e. A -> ( y R z -> [. y / x ]. ph ) ) )
57	33, 56	bitri 257	. . . . . . . 8 |- ( [. z / x ]. A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ph ) <-> A. y ( y e. A -> ( y R z -> [. y / x ]. ph ) ) )
58		bnj110.2	. . . . . . . . 9 |- ( ps <-> A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ph ) )
59	58	sbcbii 3311	. . . . . . . 8 |- ( [. z / x ]. ps <-> [. z / x ]. A. y e. A ( y R x -> [. y / x ]. ph ) )
60		df-ral 2761	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A ( y R z -> [. y / x ]. ph ) <-> A. y ( y e. A -> ( y R z -> [. y / x ]. ph ) ) )
61	57, 59, 60	3bitr4i 285	. . . . . . 7 |- ( [. z / x ]. ps <-> A. y e. A ( y R z -> [. y / x ]. ph ) )
62	31, 61	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( A. w e. { x e. A | -. ph } -. w R z -> [. z / x ]. ps )
63	29, 62	bnj31 29597	. . . . 5 |- ( ( R Fr A /\ -. A. x e. A ph ) -> E. z e. { x e. A | -. ph } [. z / x ]. ps )
64		nfv 1769	. . . . . . . 8 |- F/ z ( ps -> ph )
65		nfsbc1v 3275	. . . . . . . . 9 |- F/ x [. z / x ]. ps
66		nfsbc1v 3275	. . . . . . . . 9 |- F/ x [. z / x ]. ph
67	65, 66	nfim 2023	. . . . . . . 8 |- F/ x ( [. z / x ]. ps -> [. z / x ]. ph )
68		sbceq1a 3266	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ps <-> [. z / x ]. ps ) )
69		sbceq1a 3266	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ph <-> [. z / x ]. ph ) )
70	68, 69	imbi12d 327	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( ps -> ph ) <-> ( [. z / x ]. ps -> [. z / x ]. ph ) ) )
71	64, 67, 70	cbvral 3001	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( ps -> ph ) <-> A. z e. A ( [. z / x ]. ps -> [. z / x ]. ph ) )
72		elrabi 3181	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { x e. A | -. ph } -> z e. A )
73	72	imim1i 59	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. A -> ( [. z / x ]. ps -> [. z / x ]. ph ) ) -> ( z e. { x e. A | -. ph } -> ( [. z / x ]. ps -> [. z / x ]. ph ) ) )
74	73	ralimi2 2793	. . . . . . 7 |- ( A. z e. A ( [. z / x ]. ps -> [. z / x ]. ph ) -> A. z e. { x e. A | -. ph } ( [. z / x ]. ps -> [. z / x ]. ph ) )
75	71, 74	sylbi 200	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( ps -> ph ) -> A. z e. { x e. A | -. ph } ( [. z / x ]. ps -> [. z / x ]. ph ) )
76		rexim 2849	. . . . . 6 |- ( A. z e. { x e. A | -. ph } ( [. z / x ]. ps -> [. z / x ]. ph ) -> ( E. z e. { x e. A | -. ph } [. z / x ]. ps -> E. z e. { x e. A | -. ph } [. z / x ]. ph ) )
77	75, 76	syl 17	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( ps -> ph ) -> ( E. z e. { x e. A | -. ph } [. z / x ]. ps -> E. z e. { x e. A | -. ph } [. z / x ]. ph ) )
78	63, 77	mpan9 477	. . . 4 |- ( ( ( R Fr A /\ -. A. x e. A ph ) /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) -> E. z e. { x e. A | -. ph } [. z / x ]. ph )
79	78	an32s 821	. . 3 |- ( ( ( R Fr A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) /\ -. A. x e. A ph ) -> E. z e. { x e. A | -. ph } [. z / x ]. ph )
80	18, 79	mto 181	. 2 |- -. ( ( R Fr A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) /\ -. A. x e. A ph )
81		iman 431	. 2 |- ( ( ( R Fr A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) -> A. x e. A ph ) <-> -. ( ( R Fr A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) /\ -. A. x e. A ph ) )
82	80, 81	mpbir 214	1 |- ( ( R Fr A /\ A. x e. A ( ps -> ph ) ) -> A. x e. A ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   A.wal 1450   = wceq 1452   e. wcel 1904   {cab 2457   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   [.wsbc 3255   [_csb 3349   C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   Fr wfr 4795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-br 4396  df-fr 4798

This theorem is referenced by:  bnj157  29742  bnj580  29796  bnj1052  29856  bnj1030  29868  bnj1133  29870