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Theorem bnj1090 32325
Description: Technical lemma for bnj69 32356. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1090.9  |-  ( et  <->  ( ( f  e.  K  /\  i  e.  dom  f )  ->  (
f `  i )  C_  B ) )
bnj1090.10  |-  ( rh  <->  A. j  e.  n  ( j  _E  i  ->  [. j  /  i ]. et ) )
bnj1090.17  |-  ( et'  <->  [. j  /  i ]. et )
bnj1090.18  |-  ( si  <->  ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i
)  ->  et' ) )
bnj1090.19  |-  ( ph0  <->  (
i  e.  n  /\  si 
/\  f  e.  K  /\  i  e.  dom  f ) )
bnj1090.28  |-  ( ( th  /\  ta  /\  ch  /\  ze )  ->  A. i E. j (
ph0  ->  ( f `  i )  C_  B
) )
Assertion
Ref Expression
bnj1090  |-  ( ( th  /\  ta  /\  ch  /\  ze )  ->  A. i  e.  n  ( rh  ->  et ) )
Distinct variable groups:    et, j    i, j    j, n
Allowed substitution hints:    ch( f, i, j, n)    th( f,
i, j, n)    ta( f, i, j, n)    et( f, i, n)    ze( f,
i, j, n)    si( f,
i, j, n)    rh( f, i, j, n)    B( f, i, j, n)    K( f, i, j, n)    et'( f, i, j, n)    ph0( f, i, j, n)

Proof of Theorem bnj1090
StepHypRef Expression
1 bnj1090.28 . 2  |-  ( ( th  /\  ta  /\  ch  /\  ze )  ->  A. i E. j (
ph0  ->  ( f `  i )  C_  B
) )
2 impexp 446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( i  e.  n  /\  si )  ->  et ) 
<->  ( i  e.  n  ->  ( si  ->  et ) ) )
32exbii 1635 . . . . . 6  |-  ( E. j ( ( i  e.  n  /\  si )  ->  et )  <->  E. j
( i  e.  n  ->  ( si  ->  et ) ) )
4 bnj1090.18 . . . . . . . . . 10  |-  ( si  <->  ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i
)  ->  et' ) )
54imbi1i 325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( si  ->  et )  <->  ( ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i )  ->  et' )  ->  et ) )
65exbii 1635 . . . . . . . 8  |-  ( E. j ( si  ->  et )  <->  E. j ( ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i
)  ->  et' )  ->  et ) )
76imbi2i 312 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  n  ->  E. j ( si  ->  et ) )  <->  ( i  e.  n  ->  E. j
( ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i )  ->  et' )  ->  et ) ) )
8 19.37v 1930 . . . . . . 7  |-  ( E. j ( i  e.  n  ->  ( si  ->  et ) )  <->  ( i  e.  n  ->  E. j
( si  ->  et ) ) )
9 bnj1090.10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( rh  <->  A. j  e.  n  ( j  _E  i  ->  [. j  /  i ]. et ) )
109bnj115 32069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rh  <->  A. j ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i )  ->  [. j  /  i ]. et ) )
11 bnj1090.17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( et'  <->  [. j  /  i ]. et )
1211imbi2i 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i
)  ->  et' )  <->  ( (
j  e.  n  /\  j  _E  i )  ->  [. j  /  i ]. et ) )
1312albii 1611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. j ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i )  ->  et' )  <->  A. j
( ( j  e.  n  /\  j  _E  i )  ->  [. j  /  i ]. et ) )
1410, 13bitr4i 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( rh  <->  A. j ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i )  ->  et' ) )
1514imbi1i 325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( rh  ->  et )  <->  ( A. j ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i )  ->  et' )  ->  et ) )
16 19.36v 1927 . . . . . . . . 9  |-  ( E. j ( ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i )  ->  et' )  ->  et )  <-> 
( A. j ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i
)  ->  et' )  ->  et ) )
1715, 16bitr4i 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( rh  ->  et )  <->  E. j ( ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i )  ->  et' )  ->  et ) )
1817imbi2i 312 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  n  -> 
( rh  ->  et ) )  <->  ( i  e.  n  ->  E. j
( ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i )  ->  et' )  ->  et ) ) )
197, 8, 183bitr4i 277 . . . . . 6  |-  ( E. j ( i  e.  n  ->  ( si  ->  et ) )  <->  ( i  e.  n  ->  ( rh 
->  et ) ) )
203, 19bitr2i 250 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  n  -> 
( rh  ->  et ) )  <->  E. j
( ( i  e.  n  /\  si )  ->  et ) )
21 impexp 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( i  e.  n  /\  si )  /\  ( f  e.  K  /\  i  e.  dom  f ) )  -> 
( f `  i
)  C_  B )  <->  ( ( i  e.  n  /\  si )  ->  (
( f  e.  K  /\  i  e.  dom  f )  ->  (
f `  i )  C_  B ) ) )
22 bnj256 32049 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  n  /\  si 
/\  f  e.  K  /\  i  e.  dom  f )  <->  ( (
i  e.  n  /\  si )  /\  ( f  e.  K  /\  i  e.  dom  f ) ) )
2322imbi1i 325 . . . . . 6  |-  ( ( ( i  e.  n  /\  si  /\  f  e.  K  /\  i  e. 
dom  f )  -> 
( f `  i
)  C_  B )  <->  ( ( ( i  e.  n  /\  si )  /\  ( f  e.  K  /\  i  e.  dom  f ) )  -> 
( f `  i
)  C_  B )
)
24 bnj1090.9 . . . . . . 7  |-  ( et  <->  ( ( f  e.  K  /\  i  e.  dom  f )  ->  (
f `  i )  C_  B ) )
2524imbi2i 312 . . . . . 6  |-  ( ( ( i  e.  n  /\  si )  ->  et ) 
<->  ( ( i  e.  n  /\  si )  ->  ( ( f  e.  K  /\  i  e. 
dom  f )  -> 
( f `  i
)  C_  B )
) )
2621, 23, 253bitr4i 277 . . . . 5  |-  ( ( ( i  e.  n  /\  si  /\  f  e.  K  /\  i  e. 
dom  f )  -> 
( f `  i
)  C_  B )  <->  ( ( i  e.  n  /\  si )  ->  et ) )
2720, 26bnj133 32071 . . . 4  |-  ( ( i  e.  n  -> 
( rh  ->  et ) )  <->  E. j
( ( i  e.  n  /\  si  /\  f  e.  K  /\  i  e.  dom  f )  ->  ( f `  i )  C_  B
) )
2827albii 1611 . . 3  |-  ( A. i ( i  e.  n  ->  ( rh  ->  et ) )  <->  A. i E. j ( ( i  e.  n  /\  si  /\  f  e.  K  /\  i  e.  dom  f )  ->  ( f `  i )  C_  B
) )
29 df-ral 2804 . . 3  |-  ( A. i  e.  n  ( rh  ->  et )  <->  A. i
( i  e.  n  ->  ( rh  ->  et ) ) )
30 bnj1090.19 . . . . . 6  |-  ( ph0  <->  (
i  e.  n  /\  si 
/\  f  e.  K  /\  i  e.  dom  f ) )
3130imbi1i 325 . . . . 5  |-  ( (
ph0  ->  ( f `  i )  C_  B
)  <->  ( ( i  e.  n  /\  si  /\  f  e.  K  /\  i  e.  dom  f )  ->  ( f `  i )  C_  B
) )
3231exbii 1635 . . . 4  |-  ( E. j ( ph0  ->  (
f `  i )  C_  B )  <->  E. j
( ( i  e.  n  /\  si  /\  f  e.  K  /\  i  e.  dom  f )  ->  ( f `  i )  C_  B
) )
3332albii 1611 . . 3  |-  ( A. i E. j ( ph0  ->  ( f `  i
)  C_  B )  <->  A. i E. j ( ( i  e.  n  /\  si  /\  f  e.  K  /\  i  e. 
dom  f )  -> 
( f `  i
)  C_  B )
)
3428, 29, 333bitr4i 277 . 2  |-  ( A. i  e.  n  ( rh  ->  et )  <->  A. i E. j ( ph0  ->  (
f `  i )  C_  B ) )
351, 34sylibr 212 1  |-  ( ( th  /\  ta  /\  ch  /\  ze )  ->  A. i  e.  n  ( rh  ->  et ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368   E.wex 1587    e. wcel 1758   A.wral 2799   [.wsbc 3294    C_ wss 3439   class class class wbr 4403    _E cep 4741   dom cdm 4951   ` cfv 5529    /\ w-bnj17 32029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-12 1794
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-3an 967  df-ex 1588  df-nf 1591  df-ral 2804  df-bnj17 32030
This theorem is referenced by:  bnj1030  32333
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