Theorem bnj106 13225

Description: First-order logic and set theory.

Hypotheses

Ref	Expression
bnj106.1	|- (ps <-> A.i e. om (suc i e. n -> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)))
bnj106.2	|- F e. _V

Assertion

Ref	Expression
bnj106	|- ([F / f][1o / n]ps <-> A.i e. om (suc i e. 1o -> (F` suc i) = U_y e. (F` i) pred(y, A, R)))

Distinct variable groups:   A,f,n   f,F,i,y   R,f,n   i,n,y

Proof of Theorem bnj106

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj106.1	. . . 4 |- (ps <-> A.i e. om (suc i e. n -> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)))
2		bnj105 12451	. . . 4 |- 1o e. _V
3	1, 2	bnj92 13216	. . 3 |- ([1o / n]ps <-> A.i e. om (suc i e. 1o -> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)))
4		bnj106.2	. . 3 |- F e. _V
5	3, 4	bnj524 12523	. 2 |- ([F / f][1o / n]ps <-> [F / f]A.i e. om (suc i e. 1o -> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)))
6		fveq1 4680	. . . . . 6 |- (f = F -> (f` suc i) = (F` suc i))
7		fveq1 4680	. . . . . . 7 |- (f = F -> (f` i) = (F` i))
8		iuneq1 3269	. . . . . . 7 |- ((f` i) = (F` i) -> U_y e. (f` i) pred(y, A, R) = U_y e. (F` i) pred(y, A, R))
9	7, 8	syl 12	. . . . . 6 |- (f = F -> U_y e. (f` i) pred(y, A, R) = U_y e. (F` i) pred(y, A, R))
10	6, 9	eqeq12d 1899	. . . . 5 |- (f = F -> ((f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R) <-> (F` suc i) = U_y e. (F` i) pred(y, A, R)))
11	10	imbi2d 674	. . . 4 |- (f = F -> ((suc i e. 1o -> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)) <-> (suc i e. 1o -> (F` suc i) = U_y e. (F` i) pred(y, A, R))))
12	11	ralbidv 2123	. . 3 |- (f = F -> (A.i e. om (suc i e. 1o -> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)) <-> A.i e. om (suc i e. 1o -> (F` suc i) = U_y e. (F` i) pred(y, A, R))))
13	4, 12	sbcie 2485	. 2 |- ([F / f]A.i e. om (suc i e. 1o -> (f` suc i) = U_y e. (f` i) pred(y, A, R)) <-> A.i e. om (suc i e. 1o -> (F` suc i) = U_y e. (F` i) pred(y, A, R)))
14	5, 13	bitri 190	1 |- ([F / f][1o / n]ps <-> A.i e. om (suc i e. 1o -> (F` suc i) = U_y e. (F` i) pred(y, A, R)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  [wsbc 1534  A.wral 2105  _Vcvv 2292  U_ciun 3255  suc csuc 3659  omcom 3949  ` cfv 3998  1oc1o 5172   predsyn-bnj14 12023

This theorem is referenced by:  bnj109 13226  bnj126 13236

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-suc 3663  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014  df-1o 5177

Copyright terms: Public domain