Theorem bnj100 12449

Description: First-order logic and set theory.

Hypothesis

Ref	Expression
bnj100.1	|- Y e. _V

Assertion

Ref	Expression
bnj100	|- ([Y / x]Z Fn x <-> Z Fn Y)

Distinct variable group:   x,Z

Proof of Theorem bnj100

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj100.1	. . 3 |- Y e. _V
2		sbc8g 2477	. . 3 |- (Y e. _V -> ([Y / x]Z Fn x <-> Y e. {x | Z Fn x}))
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- ([Y / x]Z Fn x <-> Y e. {x | Z Fn x})
4	1	isseti 2297	. . . . 5 |- E.w w = Y
5		fneq2 4504	. . . . . 6 |- (w = Y -> (Z Fn w <-> Z Fn Y))
6		eleq1 1957	. . . . . . 7 |- (w = Y -> (w e. {w | Z Fn w} <-> Y e. {w | Z Fn w}))
7		abid 1873	. . . . . . 7 |- (w e. {w | Z Fn w} <-> Z Fn w)
8	6, 7	syl5bbr 593	. . . . . 6 |- (w = Y -> (Z Fn w <-> Y e. {w | Z Fn w}))
9	5, 8	bitr3d 589	. . . . 5 |- (w = Y -> (Z Fn Y <-> Y e. {w | Z Fn w}))
10	4, 9	bnj101 12448	. . . 4 |- E.w(Z Fn Y <-> Y e. {w | Z Fn w})
11		fneq2 4504	. . . . . . . 8 |- (x = w -> (Z Fn x <-> Z Fn w))
12	11	cbvabv 2420	. . . . . . 7 |- {x | Z Fn x} = {w | Z Fn w}
13	12	eleq2i 1961	. . . . . 6 |- (Y e. {x | Z Fn x} <-> Y e. {w | Z Fn w})
14	13	bibi2i 669	. . . . 5 |- ((Z Fn Y <-> Y e. {x | Z Fn x}) <-> (Z Fn Y <-> Y e. {w | Z Fn w}))
15	14	exbii 1398	. . . 4 |- (E.w(Z Fn Y <-> Y e. {x | Z Fn x}) <-> E.w(Z Fn Y <-> Y e. {w | Z Fn w}))
16	10, 15	mpbir 207	. . 3 |- E.w(Z Fn Y <-> Y e. {x | Z Fn x})
17		ax-17 1317	. . . 4 |- ((Z Fn Y <-> Y e. {x | Z Fn x}) -> A.w(Z Fn Y <-> Y e. {x | Z Fn x}))
18	17	19.9 1383	. . 3 |- (E.w(Z Fn Y <-> Y e. {x | Z Fn x}) <-> (Z Fn Y <-> Y e. {x | Z Fn x}))
19	16, 18	mpbi 206	. 2 |- (Z Fn Y <-> Y e. {x | Z Fn x})
20	3, 19	bitr4i 193	1 |- ([Y / x]Z Fn x <-> Z Fn Y)

Syntax hints:   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  [wsbc 1534  {cab 1871  _Vcvv 2292   Fn wfn 3993

This theorem is referenced by:  bnj210 12502  bnj210OLD 12503  bnj207 13248

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-v 2294  df-sbc 2454  df-fn 4009

Copyright terms: Public domain