Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bndth Unicode version

Theorem bndth 18936
 Description: The Boundedness Theorem. A continuous function from a compact topological space to the reals is bounded (above). (Boundedness below is obtained by applying this theorem to .) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bndth.1
bndth.2
bndth.3
bndth.4
Assertion
Ref Expression
bndth
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem bndth
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bndth.4 . . . . 5
2 bndth.1 . . . . . 6
3 bndth.2 . . . . . . . 8
4 retopon 18750 . . . . . . . 8 TopOn
53, 4eqeltri 2474 . . . . . . 7 TopOn
65toponunii 16952 . . . . . 6
72, 6cnf 17264 . . . . 5
81, 7syl 16 . . . 4
9 frn 5556 . . . 4
108, 9syl 16 . . 3
11 imassrn 5175 . . . . . 6
12 retopbas 18747 . . . . . . . 8
13 bastg 16986 . . . . . . . 8
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . 7
1514, 3sseqtr4i 3341 . . . . . 6
1611, 15sstri 3317 . . . . 5
17 retop 18748 . . . . . . . 8
183, 17eqeltri 2474 . . . . . . 7
1918elexi 2925 . . . . . 6
2019elpw2 4324 . . . . 5
2116, 20mpbir 201 . . . 4
22 bndth.3 . . . . . 6
23 rncmp 17413 . . . . . 6 t
2422, 1, 23syl2anc 643 . . . . 5 t
256cmpsub 17417 . . . . . 6 t
2618, 10, 25sylancr 645 . . . . 5 t
2724, 26mpbid 202 . . . 4
28 unieq 3984 . . . . . . . 8
2911unissi 3998 . . . . . . . . . 10
30 unirnioo 10960 . . . . . . . . . 10
3129, 30sseqtr4i 3341 . . . . . . . . 9
32 id 20 . . . . . . . . . . . 12
33 ltp1 9804 . . . . . . . . . . . 12
34 ressxr 9085 . . . . . . . . . . . . . 14
35 peano2re 9195 . . . . . . . . . . . . . 14
3634, 35sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . 13
37 elioomnf 10955 . . . . . . . . . . . . 13
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . 12
3932, 33, 38mpbir2and 889 . . . . . . . . . . 11
40 df-ov 6043 . . . . . . . . . . . 12
41 mnfxr 10670 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4241elexi 2925 . . . . . . . . . . . . . . 15
4342snid 3801 . . . . . . . . . . . . . 14
44 opelxpi 4869 . . . . . . . . . . . . . 14
4543, 35, 44sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13
46 ioof 10958 . . . . . . . . . . . . . . 15
47 ffun 5552 . . . . . . . . . . . . . . 15
4846, 47ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
49 snssi 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5041, 49ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16
51 xpss12 4940 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5250, 34, 51mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . 15
5346fdmi 5555 . . . . . . . . . . . . . . 15
5452, 53sseqtr4i 3341 . . . . . . . . . . . . . 14
55 funfvima2 5933 . . . . . . . . . . . . . 14
5648, 54, 55mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13
5745, 56syl 16 . . . . . . . . . . . 12
5840, 57syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . 11
59 elunii 3980 . . . . . . . . . . 11
6039, 58, 59syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
6160ssriv 3312 . . . . . . . . 9
6231, 61eqssi 3324 . . . . . . . 8
6328, 62syl6eq 2452 . . . . . . 7
6463sseq2d 3336 . . . . . 6
65 pweq 3762 . . . . . . . 8
6665ineq1d 3501 . . . . . . 7
6766rexeqdv 2871 . . . . . 6
6864, 67imbi12d 312 . . . . 5
6968rspcv 3008 . . . 4
7021, 27, 69mpsyl 61 . . 3
7110, 70mpd 15 . 2
72 simpr 448 . . . . . . 7
73 elin 3490 . . . . . . 7
7472, 73sylib 189 . . . . . 6
7574adantrr 698 . . . . 5
7675simprd 450 . . . 4
7774simpld 446 . . . . . . 7
7877elpwid 3768 . . . . . 6
7950sseli 3304 . . . . . . . . . . . 12
8079adantr 452 . . . . . . . . . . 11
8134sseli 3304 . . . . . . . . . . . 12
8281adantl 453 . . . . . . . . . . 11
83 mnflt 10678 . . . . . . . . . . . . . . 15
84 xrltnle 9100 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8541, 81, 84sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15
8683, 85mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14
8786adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13
88 elsni 3798 . . . . . . . . . . . . . . 15
8988adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
9089breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . 13
9187, 90mtbird 293 . . . . . . . . . . . 12
92 ioo0 10897 . . . . . . . . . . . . . 14
9379, 81, 92syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13
9493necon3abid 2600 . . . . . . . . . . . 12
9591, 94mpbird 224 . . . . . . . . . . 11
96 df-ioo 10876 . . . . . . . . . . . 12
97 idd 22 . . . . . . . . . . . 12
98 xrltle 10698 . . . . . . . . . . . 12
99 idd 22 . . . . . . . . . . . 12
100 xrltle 10698 . . . . . . . . . . . 12
10196, 97, 98, 99, 100ixxub 10893 . . . . . . . . . . 11
10280, 82, 95, 101syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
103 simpr 448 . . . . . . . . . 10
104102, 103eqeltrd 2478 . . . . . . . . 9
105104rgen2 2762 . . . . . . . 8
106 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12
107 df-ov 6043 . . . . . . . . . . . 12
108106, 107syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . 11
109108supeq1d 7409 . . . . . . . . . 10
110109eleq1d 2470 . . . . . . . . 9
111110ralxp 4975 . . . . . . . 8
112105, 111mpbir 201 . . . . . . 7
113 ffn 5550 . . . . . . . . 9
11446, 113ax-mp 8 . . . . . . . 8
115 supeq1 7408 . . . . . . . . . 10
116115eleq1d 2470 . . . . . . . . 9
117116ralima 5937 . . . . . . . 8
118114, 52, 117mp2an 654 . . . . . . 7
119112, 118mpbir 201 . . . . . 6
120 ssralv 3367 . . . . . 6
12178, 119, 120ee10 1382 . . . . 5
122121adantrr 698 . . . 4
123 fimaxre3 9913 . . . 4
12476, 122, 123syl2anc 643 . . 3
125 simplrr 738 . . . . . . . 8
126125sselda 3308 . . . . . . 7
127 eluni2 3979 . . . . . . . 8
128 r19.29r 2807 . . . . . . . . . 10
129 sspwuni 4136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13031, 129mpbir 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131783ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
132 simp2r 984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
133131, 132sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
134130, 133sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
135134elpwid 3768 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136 simp3l 985 . . . . . . . . . . . . . . . 16
137135, 136sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . . . 15
138121r19.21bi 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
139138adantrl 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1401393adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . 15
141 simp2l 983 . . . . . . . . . . . . . . 15
142135, 34syl6ss 3320 . . . . . . . . . . . . . . . 16
143 supxrub 10859 . . . . . . . . . . . . . . . 16
144142, 136, 143syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15
145 simp3r 986 . . . . . . . . . . . . . . 15
146137, 140, 141, 144, 145letrd 9183 . . . . . . . . . . . . . 14
1471463expia 1155 . . . . . . . . . . . . 13
148147anassrs 630 . . . . . . . . . . . 12
149148rexlimdva 2790 . . . . . . . . . . 11
150149adantlrr 702 . . . . . . . . . 10
151128, 150syl5 30 . . . . . . . . 9
152151expdimp 427 . . . . . . . 8
153127, 152sylan2b 462 . . . . . . 7
154126, 153syldan 457 . . . . . 6
155154ralrimdva 2756 . . . . 5
156 ffn 5550 . . . . . . . 8
1578, 156syl 16 . . . . . . 7
158157ad2antrr 707 . . . . . 6
159 breq1 4175 . . . . . . 7
160159ralrn 5832 . . . . . 6
161158, 160syl 16 . . . . 5
162155, 161sylibd 206 . . . 4
163162reximdva 2778 . . 3
164124, 163mpd 15 . 2
16571, 164rexlimddv 2794 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wral 2666  wrex 2667   cin 3279   wss 3280  c0 3588  cpw 3759  csn 3774  cop 3777  cuni 3975   class class class wbr 4172   cxp 4835   cdm 4837   crn 4838  cima 4840   wfun 5407   wfn 5408  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  cfn 7068  csup 7403  cr 8945  c1 8947   caddc 8949   cmnf 9074  cxr 9075   clt 9076   cle 9077  cioo 10872   ↾t crest 13603  ctg 13620  ctop 16913  TopOnctopon 16914  ctb 16917   ccn 17242  ccmp 17403 This theorem is referenced by:  evth  18937 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-ioo 10876  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cn 17245  df-cmp 17404
 Copyright terms: Public domain W3C validator