Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bndth Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem bndth 22064
 Description: The Boundedness Theorem. A continuous function from a compact topological space to the reals is bounded (above). (Boundedness below is obtained by applying this theorem to .) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bndth.1
bndth.2
bndth.3
bndth.4
Assertion
Ref Expression
bndth
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem bndth
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bndth.4 . . . . 5
2 bndth.1 . . . . . 6
3 bndth.2 . . . . . . . 8
4 retopon 21862 . . . . . . . 8 TopOn
53, 4eqeltri 2545 . . . . . . 7 TopOn
65toponunii 20024 . . . . . 6
72, 6cnf 20339 . . . . 5
81, 7syl 17 . . . 4
9 frn 5747 . . . 4
108, 9syl 17 . . 3
11 imassrn 5185 . . . . . 6
12 retopbas 21859 . . . . . . . 8
13 bastg 20058 . . . . . . . 8
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7
1514, 3sseqtr4i 3451 . . . . . 6
1611, 15sstri 3427 . . . . 5
17 retop 21860 . . . . . . . 8
183, 17eqeltri 2545 . . . . . . 7
1918elexi 3041 . . . . . 6
2019elpw2 4565 . . . . 5
2116, 20mpbir 214 . . . 4
22 bndth.3 . . . . . 6
23 rncmp 20488 . . . . . 6 t
2422, 1, 23syl2anc 673 . . . . 5 t
256cmpsub 20492 . . . . . 6 t
2618, 10, 25sylancr 676 . . . . 5 t
2724, 26mpbid 215 . . . 4
28 unieq 4198 . . . . . . . 8
2911unissi 4213 . . . . . . . . . 10
30 unirnioo 11759 . . . . . . . . . 10
3129, 30sseqtr4i 3451 . . . . . . . . 9
32 id 22 . . . . . . . . . . . 12
33 ltp1 10465 . . . . . . . . . . . 12
34 ressxr 9702 . . . . . . . . . . . . . 14
35 peano2re 9824 . . . . . . . . . . . . . 14
3634, 35sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . 13
37 elioomnf 11754 . . . . . . . . . . . . 13
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12
3932, 33, 38mpbir2and 936 . . . . . . . . . . 11
40 df-ov 6311 . . . . . . . . . . . 12
41 mnfxr 11437 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4241elexi 3041 . . . . . . . . . . . . . . 15
4342snid 3988 . . . . . . . . . . . . . 14
44 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . . 14
4543, 35, 44sylancr 676 . . . . . . . . . . . . 13
46 ioof 11757 . . . . . . . . . . . . . . 15
47 ffun 5742 . . . . . . . . . . . . . . 15
4846, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
49 snssi 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5041, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
51 xpss12 4945 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5250, 34, 51mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . 15
5346fdmi 5746 . . . . . . . . . . . . . . 15
5452, 53sseqtr4i 3451 . . . . . . . . . . . . . 14
55 funfvima2 6158 . . . . . . . . . . . . . 14
5648, 54, 55mp2an 686 . . . . . . . . . . . . 13
5745, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12
5840, 57syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . 11
59 elunii 4195 . . . . . . . . . . 11
6039, 58, 59syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
6160ssriv 3422 . . . . . . . . 9
6231, 61eqssi 3434 . . . . . . . 8
6328, 62syl6eq 2521 . . . . . . 7
6463sseq2d 3446 . . . . . 6
65 pweq 3945 . . . . . . . 8
6665ineq1d 3624 . . . . . . 7
6766rexeqdv 2980 . . . . . 6
6864, 67imbi12d 327 . . . . 5
6968rspcv 3132 . . . 4
7021, 27, 69mpsyl 64 . . 3
7110, 70mpd 15 . 2
72 simpr 468 . . . . . . 7
73 elin 3608 . . . . . . 7
7472, 73sylib 201 . . . . . 6
7574adantrr 731 . . . . 5
7675simprd 470 . . . 4
7774simpld 466 . . . . . . 7
7877elpwid 3952 . . . . . 6
7950sseli 3414 . . . . . . . . . . . 12
8079adantr 472 . . . . . . . . . . 11
8134sseli 3414 . . . . . . . . . . . 12
8281adantl 473 . . . . . . . . . . 11
83 mnflt 11448 . . . . . . . . . . . . . . 15
84 xrltnle 9719 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8541, 81, 84sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . 15
8683, 85mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14
8786adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
88 elsni 3985 . . . . . . . . . . . . . . 15
8988adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
9089breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . 13
9187, 90mtbird 308 . . . . . . . . . . . 12
92 ioo0 11686 . . . . . . . . . . . . . 14
9379, 81, 92syl2an 485 . . . . . . . . . . . . 13
9493necon3abid 2679 . . . . . . . . . . . 12
9591, 94mpbird 240 . . . . . . . . . . 11
96 df-ioo 11664 . . . . . . . . . . . 12
97 idd 24 . . . . . . . . . . . 12
98 xrltle 11471 . . . . . . . . . . . 12
99 idd 24 . . . . . . . . . . . 12
100 xrltle 11471 . . . . . . . . . . . 12
10196, 97, 98, 99, 100ixxub 11681 . . . . . . . . . . 11
10280, 82, 95, 101syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
103 simpr 468 . . . . . . . . . 10
104102, 103eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9
105104rgen2 2818 . . . . . . . 8
106 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
107 df-ov 6311 . . . . . . . . . . . 12
108106, 107syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . 11
109108supeq1d 7978 . . . . . . . . . 10
110109eleq1d 2533 . . . . . . . . 9
111110ralxp 4981 . . . . . . . 8
112105, 111mpbir 214 . . . . . . 7
113 ffn 5739 . . . . . . . . 9
11446, 113ax-mp 5 . . . . . . . 8
115 supeq1 7977 . . . . . . . . . 10
116115eleq1d 2533 . . . . . . . . 9
117116ralima 6163 . . . . . . . 8
118114, 52, 117mp2an 686 . . . . . . 7
119112, 118mpbir 214 . . . . . 6
120 ssralv 3479 . . . . . 6
12178, 119, 120mpisyl 21 . . . . 5
122121adantrr 731 . . . 4
123 fimaxre3 10575 . . . 4
12476, 122, 123syl2anc 673 . . 3
125 simplrr 779 . . . . . . . 8
126125sselda 3418 . . . . . . 7
127 eluni2 4194 . . . . . . . 8
128 r19.29r 2913 . . . . . . . . . 10
129 sspwuni 4360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13031, 129mpbir 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131783ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
132 simp2r 1057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
133131, 132sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
134130, 133sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
135134elpwid 3952 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136 simp3l 1058 . . . . . . . . . . . . . . . 16
137135, 136sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . 15
138121r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
139138adantrl 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1401393adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . 15
141 simp2l 1056 . . . . . . . . . . . . . . 15
142135, 34syl6ss 3430 . . . . . . . . . . . . . . . 16
143 supxrub 11635 . . . . . . . . . . . . . . . 16
144142, 136, 143syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15
145 simp3r 1059 . . . . . . . . . . . . . . 15
146137, 140, 141, 144, 145letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . 14
1471463expia 1233 . . . . . . . . . . . . 13
148147anassrs 660 . . . . . . . . . . . 12
149148rexlimdva 2871 . . . . . . . . . . 11
150149adantlrr 735 . . . . . . . . . 10
151128, 150syl5 32 . . . . . . . . 9
152151expdimp 444 . . . . . . . 8
153127, 152sylan2b 483 . . . . . . 7
154126, 153syldan 478 . . . . . 6
155154ralrimdva 2812 . . . . 5
156 ffn 5739 . . . . . . . 8
1578, 156syl 17 . . . . . . 7
158157ad2antrr 740 . . . . . 6
159 breq1 4398 . . . . . . 7
160159ralrn 6040 . . . . . 6
161158, 160syl 17 . . . . 5
162155, 161sylibd 222 . . . 4
163162reximdva 2858 . . 3
164124, 163mpd 15 . 2
16571, 164rexlimddv 2875 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cpw 3942  csn 3959  cop 3965  cuni 4190   class class class wbr 4395   cxp 4837   cdm 4839   crn 4840  cima 4842   wfun 5583   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  csup 7972  cr 9556  c1 9558   caddc 9560   cmnf 9691  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cioo 11660   ↾t crest 15397  ctg 15414  ctop 19994  TopOnctopon 19995  ctb 19997   ccn 20317  ccmp 20478 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-ioo 11664  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320  df-cmp 20479 This theorem is referenced by:  evth  22065
 Copyright terms: Public domain W3C validator