Theorem bndss 15942

Description: A subset of a bounded metric space is bounded.

Hypothesis

Ref	Expression
bndss.1	|- X = dom dom M

Assertion

Ref	Expression
bndss	|- ((M e. Bnd /\ S C_ X) -> (M |` (S X. S)) e. Bnd)

Proof of Theorem bndss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metres 9100	. . . 4 |- (M e. Met -> (M |` (S X. S)) e. Met)
2	1	ad2antrr 440	. . 3 |- (((M e. Met /\ A.y e. X E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)) /\ S C_ X) -> (M |` (S X. S)) e. Met)
3		bndss.1	. . . . . . . . 9 |- X = dom dom M
4	3	metssba2 9087	. . . . . . . 8 |- ((M e. Met /\ S C_ X) -> S = dom dom ( M |` (S X. S)))
5	4	eleq2d 1964	. . . . . . 7 |- ((M e. Met /\ S C_ X) -> (x e. S <-> x e. dom dom ( M |` (S X. S))))
6	5	biimpar 461	. . . . . 6 |- (((M e. Met /\ S C_ X) /\ x e. dom dom ( M |` (S X. S))) -> x e. S)
7	6	adantllr 433	. . . . 5 |- ((((M e. Met /\ A.y e. X E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)) /\ S C_ X) /\ x e. dom dom ( M |` (S X. S))) -> x e. S)
8		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = x -> (y( ball ` M)r) = (x( ball ` M)r))
9	8	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = x -> (X = (y( ball ` M)r) <-> X = (x( ball ` M)r)))
10	9	rexbidv 2124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = x -> (E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r) <-> E.r e. RR+ X = (x( ball ` M)r)))
11	10	rcla4va 2378	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. X /\ A.y e. X E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)) -> E.r e. RR+ X = (x( ball ` M)r))
12		ssel2 2616	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((S C_ X /\ x e. S) -> x e. X)
13	12	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. S /\ S C_ X) -> x e. X)
14	11, 13	sylan 497	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. S /\ S C_ X) /\ A.y e. X E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)) -> E.r e. RR+ X = (x( ball ` M)r))
15	14	adantlll 432	. . . . . . . . . . 11 |- ((((M e. Met /\ x e. S) /\ S C_ X) /\ A.y e. X E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)) -> E.r e. RR+ X = (x( ball ` M)r))
16		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (M |` (S X. S)) = (M |` (S X. S))
17	3, 16	blssp 15844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((M e. Met /\ S C_ X) /\ (x e. S /\ r e. RR+)) -> (x( ball ` (M |` (S X. S)))r) = ((x( ball ` M)r) i^i S))
18	17	an4s 566	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((M e. Met /\ x e. S) /\ (S C_ X /\ r e. RR+)) -> (x( ball ` (M |` (S X. S)))r) = ((x( ball ` M)r) i^i S))
19	18	anassrs 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((M e. Met /\ x e. S) /\ S C_ X) /\ r e. RR+) -> (x( ball ` (M |` (S X. S)))r) = ((x( ball ` M)r) i^i S))
20	19	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((((M e. Met /\ x e. S) /\ S C_ X) /\ r e. RR+) /\ X = (x( ball ` M)r)) -> (x( ball ` (M |` (S X. S)))r) = ((x( ball ` M)r) i^i S))
21		dfss 2606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (S C_ X <-> S = (S i^i X))
22	21	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (S C_ X -> S = (S i^i X))
23		incom 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (S i^i X) = (X i^i S)
24	22, 23	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (S C_ X -> S = (X i^i S))
25		ineq1 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (X = (x( ball ` M)r) -> (X i^i S) = ((x( ball ` M)r) i^i S))
26	24, 25	sylan9eq 1948	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((S C_ X /\ X = (x( ball ` M)r)) -> S = ((x( ball ` M)r) i^i S))
27	26	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((M e. Met /\ x e. S) /\ S C_ X) /\ X = (x( ball ` M)r)) -> S = ((x( ball ` M)r) i^i S))
28	27	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((((M e. Met /\ x e. S) /\ S C_ X) /\ r e. RR+) /\ X = (x( ball ` M)r)) -> S = ((x( ball ` M)r) i^i S))
29	4	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((M e. Met /\ x e. S) /\ S C_ X) -> S = dom dom ( M |` (S X. S)))
30	29	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((((M e. Met /\ x e. S) /\ S C_ X) /\ r e. RR+) /\ X = (x( ball ` M)r)) -> S = dom dom ( M |` (S X. S)))
31	20, 28, 30	3eqtr2rd 1933	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((((M e. Met /\ x e. S) /\ S C_ X) /\ r e. RR+) /\ X = (x( ball ` M)r)) -> dom dom ( M |` (S X. S)) = (x( ball ` (M |` (S X. S)))r))
32	31	ex 402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((M e. Met /\ x e. S) /\ S C_ X) /\ r e. RR+) -> (X = (x( ball ` M)r) -> dom dom ( M |` (S X. S)) = (x( ball ` (M |` (S X. S)))r)))
33	32	reximdva 2203	. . . . . . . . . . . 12 |- (((M e. Met /\ x e. S) /\ S C_ X) -> (E.r e. RR+ X = (x( ball ` M)r) -> E.r e. RR+ dom dom ( M |` (S X. S)) = (x( ball ` (M |` (S X. S)))r)))
34	33	imp 377	. . . . . . . . . . 11 |- ((((M e. Met /\ x e. S) /\ S C_ X) /\ E.r e. RR+ X = (x( ball ` M)r)) -> E.r e. RR+ dom dom ( M |` (S X. S)) = (x( ball ` (M |` (S X. S)))r))
35	15, 34	syldan 516	. . . . . . . . . 10 |- ((((M e. Met /\ x e. S) /\ S C_ X) /\ A.y e. X E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)) -> E.r e. RR+ dom dom ( M |` (S X. S)) = (x( ball ` (M |` (S X. S)))r))
36	35	an1rs 547	. . . . . . . . 9 |- ((((M e. Met /\ x e. S) /\ A.y e. X E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)) /\ S C_ X) -> E.r e. RR+ dom dom ( M |` (S X. S)) = (x( ball ` (M |` (S X. S)))r))
37	36	ex 402	. . . . . . . 8 |- (((M e. Met /\ x e. S) /\ A.y e. X E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)) -> (S C_ X -> E.r e. RR+ dom dom ( M |` (S X. S)) = (x( ball ` (M |` (S X. S)))r)))
38	37	an1rs 547	. . . . . . 7 |- (((M e. Met /\ A.y e. X E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)) /\ x e. S) -> (S C_ X -> E.r e. RR+ dom dom ( M |` (S X. S)) = (x( ball ` (M |` (S X. S)))r)))
39	38	imp 377	. . . . . 6 |- ((((M e. Met /\ A.y e. X E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)) /\ x e. S) /\ S C_ X) -> E.r e. RR+ dom dom ( M |` (S X. S)) = (x( ball ` (M |` (S X. S)))r))
40	39	an1rs 547	. . . . 5 |- ((((M e. Met /\ A.y e. X E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)) /\ S C_ X) /\ x e. S) -> E.r e. RR+ dom dom ( M |` (S X. S)) = (x( ball ` (M |` (S X. S)))r))
41	7, 40	syldan 516	. . . 4 |- ((((M e. Met /\ A.y e. X E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)) /\ S C_ X) /\ x e. dom dom ( M |` (S X. S))) -> E.r e. RR+ dom dom ( M |` (S X. S)) = (x( ball ` (M |` (S X. S)))r))
42	41	r19.21aiva 2176	. . 3 |- (((M e. Met /\ A.y e. X E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)) /\ S C_ X) -> A.x e. dom dom ( M |` (S X. S))E.r e. RR+ dom dom ( M |` (S X. S)) = (x( ball ` (M |` (S X. S)))r))
43	2, 42	jca 310	. 2 |- (((M e. Met /\ A.y e. X E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)) /\ S C_ X) -> ((M |` (S X. S)) e. Met /\ A.x e. dom dom ( M |` (S X. S))E.r e. RR+ dom dom ( M |` (S X. S)) = (x( ball ` (M |` (S X. S)))r)))
44	3	isbnd 15939	. . 3 |- (M e. Bnd <-> (M e. Met /\ A.y e. X E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)))
45	44	anbi1i 539	. 2 |- ((M e. Bnd /\ S C_ X) <-> ((M e. Met /\ A.y e. X E.r e. RR+ X = (y( ball ` M)r)) /\ S C_ X))
46		eqid 1884	. . 3 |- dom dom ( M |` (S X. S)) = dom dom ( M |` (S X. S))
47	46	isbnd 15939	. 2 |- ((M |` (S X. S)) e. Bnd <-> ((M |` (S X. S)) e. Met /\ A.x e. dom dom ( M |` (S X. S))E.r e. RR+ dom dom ( M |` (S X. S)) = (x( ball ` (M |` (S X. S)))r)))
48	43, 45, 47	3imtr4i 236	1 |- ((M e. Bnd /\ S C_ X) -> (M |` (S X. S)) e. Bnd)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   i^i cin 2592   C_ wss 2593   X. cxp 3984  dom cdm 3986   |` cres 3988  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RR+crp 6453  Metcme 9066   ball cbl 9068  Bndcbnd 15931

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-enr 6318  df-nr 6319  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-rp 7232  df-met 9070  df-bl 9072  df-bnd 15938

Copyright terms: Public domain