MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bndrank Structured version   Unicode version

Theorem bndrank 8291
Description: Any class whose elements have bounded rank is a set. Proposition 9.19 of [TakeutiZaring] p. 80. (Contributed by NM, 13-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
bndrank  |-  ( E. x  e.  On  A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x  ->  A  e.  _V )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem bndrank
StepHypRef Expression
1 rankon 8245 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  y )  e.  On
21onordi 5514 . . . . . . 7  |-  Ord  ( rank `  y )
3 eloni 5420 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
4 ordsucsssuc 6641 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  ( rank `  y
)  /\  Ord  x )  ->  ( ( rank `  y )  C_  x  <->  suc  ( rank `  y
)  C_  suc  x ) )
52, 3, 4sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  (
( rank `  y )  C_  x  <->  suc  ( rank `  y
)  C_  suc  x ) )
61onsuci 6656 . . . . . . 7  |-  suc  ( rank `  y )  e.  On
7 suceloni 6631 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  On  ->  suc  x  e.  On )
8 r1ord3 8232 . . . . . . 7  |-  ( ( suc  ( rank `  y
)  e.  On  /\  suc  x  e.  On )  ->  ( suc  ( rank `  y )  C_  suc  x  ->  ( R1 ` 
suc  ( rank `  y
) )  C_  ( R1 `  suc  x ) ) )
96, 7, 8sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  ( suc  ( rank `  y
)  C_  suc  x  -> 
( R1 `  suc  ( rank `  y )
)  C_  ( R1 ` 
suc  x ) ) )
105, 9sylbid 215 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  (
( rank `  y )  C_  x  ->  ( R1 ` 
suc  ( rank `  y
) )  C_  ( R1 `  suc  x ) ) )
11 vex 3062 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
1211rankid 8283 . . . . 5  |-  y  e.  ( R1 `  suc  ( rank `  y )
)
13 ssel 3436 . . . . 5  |-  ( ( R1 `  suc  ( rank `  y ) ) 
C_  ( R1 `  suc  x )  ->  (
y  e.  ( R1
`  suc  ( rank `  y ) )  -> 
y  e.  ( R1
`  suc  x )
) )
1410, 12, 13syl6mpi 61 . . . 4  |-  ( x  e.  On  ->  (
( rank `  y )  C_  x  ->  y  e.  ( R1 `  suc  x
) ) )
1514ralimdv 2814 . . 3  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x  ->  A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  suc  x
) ) )
16 dfss3 3432 . . . 4  |-  ( A 
C_  ( R1 `  suc  x )  <->  A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  suc  x
) )
17 fvex 5859 . . . . 5  |-  ( R1
`  suc  x )  e.  _V
1817ssex 4538 . . . 4  |-  ( A 
C_  ( R1 `  suc  x )  ->  A  e.  _V )
1916, 18sylbir 213 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  suc  x )  ->  A  e.  _V )
2015, 19syl6 31 . 2  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x  ->  A  e.  _V ) )
2120rexlimiv 2890 1  |-  ( E. x  e.  On  A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x  ->  A  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1842   A.wral 2754   E.wrex 2755   _Vcvv 3059    C_ wss 3414   Ord word 5409   Oncon0 5410   suc csuc 5412   ` cfv 5569   R1cr1 8212   rankcrnk 8213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-reg 8052  ax-inf2 8091
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-r1 8214  df-rank 8215
This theorem is referenced by:  unbndrank  8292  scottex  8335
  Copyright terms: Public domain W3C validator