MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bndrank Structured version   Unicode version

Theorem bndrank 8255
Description: Any class whose elements have bounded rank is a set. Proposition 9.19 of [TakeutiZaring] p. 80. (Contributed by NM, 13-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
bndrank  |-  ( E. x  e.  On  A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x  ->  A  e.  _V )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem bndrank
StepHypRef Expression
1 rankon 8209 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  y )  e.  On
21onordi 4982 . . . . . . 7  |-  Ord  ( rank `  y )
3 eloni 4888 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
4 ordsucsssuc 6636 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  ( rank `  y
)  /\  Ord  x )  ->  ( ( rank `  y )  C_  x  <->  suc  ( rank `  y
)  C_  suc  x ) )
52, 3, 4sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  (
( rank `  y )  C_  x  <->  suc  ( rank `  y
)  C_  suc  x ) )
61onsuci 6651 . . . . . . 7  |-  suc  ( rank `  y )  e.  On
7 suceloni 6626 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  On  ->  suc  x  e.  On )
8 r1ord3 8196 . . . . . . 7  |-  ( ( suc  ( rank `  y
)  e.  On  /\  suc  x  e.  On )  ->  ( suc  ( rank `  y )  C_  suc  x  ->  ( R1 ` 
suc  ( rank `  y
) )  C_  ( R1 `  suc  x ) ) )
96, 7, 8sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  ( suc  ( rank `  y
)  C_  suc  x  -> 
( R1 `  suc  ( rank `  y )
)  C_  ( R1 ` 
suc  x ) ) )
105, 9sylbid 215 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  (
( rank `  y )  C_  x  ->  ( R1 ` 
suc  ( rank `  y
) )  C_  ( R1 `  suc  x ) ) )
11 vex 3116 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
1211rankid 8247 . . . . 5  |-  y  e.  ( R1 `  suc  ( rank `  y )
)
13 ssel 3498 . . . . 5  |-  ( ( R1 `  suc  ( rank `  y ) ) 
C_  ( R1 `  suc  x )  ->  (
y  e.  ( R1
`  suc  ( rank `  y ) )  -> 
y  e.  ( R1
`  suc  x )
) )
1410, 12, 13syl6mpi 62 . . . 4  |-  ( x  e.  On  ->  (
( rank `  y )  C_  x  ->  y  e.  ( R1 `  suc  x
) ) )
1514ralimdv 2874 . . 3  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x  ->  A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  suc  x
) ) )
16 dfss3 3494 . . . 4  |-  ( A 
C_  ( R1 `  suc  x )  <->  A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  suc  x
) )
17 fvex 5874 . . . . 5  |-  ( R1
`  suc  x )  e.  _V
1817ssex 4591 . . . 4  |-  ( A 
C_  ( R1 `  suc  x )  ->  A  e.  _V )
1916, 18sylbir 213 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  suc  x )  ->  A  e.  _V )
2015, 19syl6 33 . 2  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x  ->  A  e.  _V ) )
2120rexlimiv 2949 1  |-  ( E. x  e.  On  A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x  ->  A  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   Ord word 4877   Oncon0 4878   suc csuc 4880   ` cfv 5586   R1cr1 8176   rankcrnk 8177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-reg 8014  ax-inf2 8054
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-r1 8178  df-rank 8179
This theorem is referenced by:  unbndrank  8256  scottex  8299
  Copyright terms: Public domain W3C validator