MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bndatandm Structured version   Unicode version

Theorem bndatandm 23587
Description: A point in the open unit disk is in the domain of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
bndatandm  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  A  e.  dom arctan )

Proof of Theorem bndatandm
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  A  e.  CC )
2 sqcl 12277 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
32adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( A ^ 2 )  e.  CC )
43abscld 13418 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  ( A ^ 2 ) )  e.  RR )
5 2nn0 10855 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
6 absexp 13288 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( abs `  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )
71, 5, 6sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )
8 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  <  1 )
9 abscl 13262 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
109adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
11 1red 9643 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
1  e.  RR )
12 absge0 13271 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
1312adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
0  <_  ( abs `  A ) )
14 0le1 10118 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
1514a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
0  <_  1 )
1610, 11, 13, 15lt2sqd 12390 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( abs `  A
)  <  1  <->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  <  (
1 ^ 2 ) ) )
178, 16mpbid 212 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 ) )
18 sq1 12309 . . . . . 6  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
1917, 18syl6breq 4436 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  <  1 )
207, 19eqbrtrd 4417 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  ( A ^ 2 ) )  <  1 )
214, 20ltned 9755 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  ( A ^ 2 ) )  =/=  1 )
22 fveq2 5851 . . . . 5  |-  ( ( A ^ 2 )  =  -u 1  ->  ( abs `  ( A ^
2 ) )  =  ( abs `  -u 1
) )
23 ax-1cn 9582 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
2423absnegi 13383 . . . . . 6  |-  ( abs `  -u 1 )  =  ( abs `  1
)
25 abs1 13281 . . . . . 6  |-  ( abs `  1 )  =  1
2624, 25eqtri 2433 . . . . 5  |-  ( abs `  -u 1 )  =  1
2722, 26syl6eq 2461 . . . 4  |-  ( ( A ^ 2 )  =  -u 1  ->  ( abs `  ( A ^
2 ) )  =  1 )
2827necon3i 2645 . . 3  |-  ( ( abs `  ( A ^ 2 ) )  =/=  1  ->  ( A ^ 2 )  =/=  -u 1 )
2921, 28syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( A ^ 2 )  =/=  -u 1
)
30 atandm3 23536 . 2  |-  ( A  e.  dom arctan  <->  ( A  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  =/=  -u 1 ) )
311, 29, 30sylanbrc 664 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  A  e.  dom arctan )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600   class class class wbr 4397   dom cdm 4825   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   CCcc 9522   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525    < clt 9660    <_ cle 9661   -ucneg 9844   2c2 10628   NN0cn0 10838   ^cexp 12212   abscabs 13218  arctancatan 23522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-sup 7937  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-rp 11268  df-seq 12154  df-exp 12213  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-atan 23525
This theorem is referenced by:  atantayl  23595  log2cnv  23602
  Copyright terms: Public domain W3C validator