MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bndatandm Structured version   Unicode version

Theorem bndatandm 22981
Description: A point in the open unit disk is in the domain of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
bndatandm  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  A  e.  dom arctan )

Proof of Theorem bndatandm
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  A  e.  CC )
2 sqcl 12185 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
32adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( A ^ 2 )  e.  CC )
43abscld 13216 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  ( A ^ 2 ) )  e.  RR )
5 2nn0 10801 . . . . . 6  |-  2  e.  NN0
6 absexp 13087 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( abs `  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )
71, 5, 6sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  ( A ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  A ) ^ 2 ) )
8 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  <  1 )
9 abscl 13061 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
109adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR )
11 1red 9600 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
1  e.  RR )
12 absge0 13070 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  A
) )
1312adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
0  <_  ( abs `  A ) )
14 0le1 10065 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
1514a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
0  <_  1 )
1610, 11, 13, 15lt2sqd 12299 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( abs `  A
)  <  1  <->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  <  (
1 ^ 2 ) ) )
178, 16mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  <  ( 1 ^ 2 ) )
18 sq1 12217 . . . . . 6  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
1917, 18syl6breq 4479 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( ( abs `  A
) ^ 2 )  <  1 )
207, 19eqbrtrd 4460 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  ( A ^ 2 ) )  <  1 )
214, 20ltned 9709 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( abs `  ( A ^ 2 ) )  =/=  1 )
22 fveq2 5857 . . . . 5  |-  ( ( A ^ 2 )  =  -u 1  ->  ( abs `  ( A ^
2 ) )  =  ( abs `  -u 1
) )
23 ax-1cn 9539 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
2423absnegi 13181 . . . . . 6  |-  ( abs `  -u 1 )  =  ( abs `  1
)
25 abs1 13080 . . . . . 6  |-  ( abs `  1 )  =  1
2624, 25eqtri 2489 . . . . 5  |-  ( abs `  -u 1 )  =  1
2722, 26syl6eq 2517 . . . 4  |-  ( ( A ^ 2 )  =  -u 1  ->  ( abs `  ( A ^
2 ) )  =  1 )
2827necon3i 2700 . . 3  |-  ( ( abs `  ( A ^ 2 ) )  =/=  1  ->  ( A ^ 2 )  =/=  -u 1 )
2921, 28syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  -> 
( A ^ 2 )  =/=  -u 1
)
30 atandm3 22930 . 2  |-  ( A  e.  dom arctan  <->  ( A  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  =/=  -u 1 ) )
311, 29, 30sylanbrc 664 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( abs `  A )  <  1 )  ->  A  e.  dom arctan )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   class class class wbr 4440   dom cdm 4992   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    < clt 9617    <_ cle 9618   -ucneg 9795   2c2 10574   NN0cn0 10784   ^cexp 12122   abscabs 13017  arctancatan 22916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-atan 22919
This theorem is referenced by:  atantayl  22989  log2cnv  22996
  Copyright terms: Public domain W3C validator