Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnd2lem Structured version   Unicode version

Theorem bnd2lem 31827
Description: Lemma for equivbnd2 31828 and similar theorems. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
bnd2lem.1  |-  D  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
bnd2lem  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  ->  Y  C_  X )

Proof of Theorem bnd2lem
StepHypRef Expression
1 bnd2lem.1 . . . . . 6  |-  D  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
2 resss 5148 . . . . . 6  |-  ( M  |`  ( Y  X.  Y
) )  C_  M
31, 2eqsstri 3500 . . . . 5  |-  D  C_  M
4 dmss 5054 . . . . 5  |-  ( D 
C_  M  ->  dom  D 
C_  dom  M )
53, 4mp1i 13 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  ->  dom  D 
C_  dom  M )
6 bndmet 31817 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( Bnd `  Y
)  ->  D  e.  ( Met `  Y ) )
7 metf 21276 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( Met `  Y
)  ->  D :
( Y  X.  Y
) --> RR )
8 fdm 5750 . . . . . 6  |-  ( D : ( Y  X.  Y ) --> RR  ->  dom 
D  =  ( Y  X.  Y ) )
96, 7, 83syl 18 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( Bnd `  Y
)  ->  dom  D  =  ( Y  X.  Y
) )
109adantl 467 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  ->  dom  D  =  ( Y  X.  Y ) )
11 metf 21276 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M :
( X  X.  X
) --> RR )
12 fdm 5750 . . . . . 6  |-  ( M : ( X  X.  X ) --> RR  ->  dom 
M  =  ( X  X.  X ) )
1311, 12syl 17 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  dom  M  =  ( X  X.  X
) )
1413adantr 466 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  ->  dom  M  =  ( X  X.  X ) )
155, 10, 143sstr3d 3512 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  ->  ( Y  X.  Y )  C_  ( X  X.  X
) )
16 dmss 5054 . . 3  |-  ( ( Y  X.  Y ) 
C_  ( X  X.  X )  ->  dom  ( Y  X.  Y
)  C_  dom  ( X  X.  X ) )
1715, 16syl 17 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  ->  dom  ( Y  X.  Y
)  C_  dom  ( X  X.  X ) )
18 dmxpid 5074 . 2  |-  dom  ( Y  X.  Y )  =  Y
19 dmxpid 5074 . 2  |-  dom  ( X  X.  X )  =  X
2017, 18, 193sstr3g 3510 1  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  D  e.  ( Bnd `  Y
) )  ->  Y  C_  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    C_ wss 3442    X. cxp 4852   dom cdm 4854    |` cres 4856   -->wf 5597   ` cfv 5601   RRcr 9537   Metcme 18891   Bndcbnd 31803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-map 7482  df-met 18899  df-bnd 31815
This theorem is referenced by:  equivbnd2  31828  prdsbnd2  31831  cntotbnd  31832  cnpwstotbnd  31833
  Copyright terms: Public domain W3C validator