MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bnd2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem bnd2 8364
Description: A variant of the Boundedness Axiom bnd 8363 that picks a subset  z out of a possibly proper class 
B in which a property is true. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
bnd2.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
bnd2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. z ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) )
Distinct variable groups:    ph, z    x, z, A    x, y, B, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( y)

Proof of Theorem bnd2
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 2743 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. y ( y  e.  B  /\  ph )
)
21ralbii 2819 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  B  /\  ph ) )
3 bnd2.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
4 raleq 2987 . . . . 5  |-  ( v  =  A  ->  ( A. x  e.  v  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x  e.  A  E. y ( y  e.  B  /\  ph )
) )
5 raleq 2987 . . . . . 6  |-  ( v  =  A  ->  ( A. x  e.  v  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
) )
65exbidv 1768 . . . . 5  |-  ( v  =  A  ->  ( E. w A. x  e.  v  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )  <->  E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
) )
74, 6imbi12d 322 . . . 4  |-  ( v  =  A  ->  (
( A. x  e.  v  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. w A. x  e.  v  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( A. x  e.  A  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
) ) )
8 bnd 8363 . . . 4  |-  ( A. x  e.  v  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. w A. x  e.  v  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
)
93, 7, 8vtocl 3100 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
)
102, 9sylbi 199 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
)
11 vex 3048 . . . . 5  |-  w  e. 
_V
1211inex1 4544 . . . 4  |-  ( w  i^i  B )  e. 
_V
13 inss2 3653 . . . . . . 7  |-  ( w  i^i  B )  C_  B
14 sseq1 3453 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  (
z  C_  B  <->  ( w  i^i  B )  C_  B
) )
1513, 14mpbiri 237 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  z  C_  B )
1615biantrurd 511 . . . . 5  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph 
<->  ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) ) )
17 rexeq 2988 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  ( E. y  e.  z  ph 
<->  E. y  e.  ( w  i^i  B )
ph ) )
18 elin 3617 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( w  i^i 
B )  <->  ( y  e.  w  /\  y  e.  B ) )
1918anbi1i 701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( w  i^i  B )  /\  ph )  <->  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  B )  /\  ph ) )
20 anass 655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  y  e.  B
)  /\  ph )  <->  ( y  e.  w  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
2119, 20bitri 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( w  i^i  B )  /\  ph )  <->  ( y  e.  w  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2221rexbii2 2887 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  ( w  i^i  B ) ph  <->  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) )
2317, 22syl6bb 265 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  ( E. y  e.  z  ph 
<->  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2423ralbidv 2827 . . . . 5  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph 
<-> 
A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2516, 24bitr3d 259 . . . 4  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  (
( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2612, 25spcev 3141 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  (
y  e.  B  /\  ph )  ->  E. z
( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) )
2726exlimiv 1776 . 2  |-  ( E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. z ( z 
C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) )
2810, 27syl 17 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. z ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-reg 8107  ax-inf2 8146
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-r1 8235  df-rank 8236
This theorem is referenced by:  ac6s  8914
  Copyright terms: Public domain W3C validator