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Theorem bnd2 8382
Description: A variant of the Boundedness Axiom bnd 8381 that picks a subset  z out of a possibly proper class 
B in which a property is true. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
bnd2.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
bnd2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. z ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) )
Distinct variable groups:    ph, z    x, z, A    x, y, B, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( y)

Proof of Theorem bnd2
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 2762 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. y ( y  e.  B  /\  ph )
)
21ralbii 2823 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  B  /\  ph ) )
3 bnd2.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
4 raleq 2973 . . . . 5  |-  ( v  =  A  ->  ( A. x  e.  v  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x  e.  A  E. y ( y  e.  B  /\  ph )
) )
5 raleq 2973 . . . . . 6  |-  ( v  =  A  ->  ( A. x  e.  v  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
) )
65exbidv 1776 . . . . 5  |-  ( v  =  A  ->  ( E. w A. x  e.  v  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )  <->  E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
) )
74, 6imbi12d 327 . . . 4  |-  ( v  =  A  ->  (
( A. x  e.  v  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. w A. x  e.  v  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( A. x  e.  A  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
) ) )
8 bnd 8381 . . . 4  |-  ( A. x  e.  v  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. w A. x  e.  v  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
)
93, 7, 8vtocl 3086 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
)
102, 9sylbi 200 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
)
11 vex 3034 . . . . 5  |-  w  e. 
_V
1211inex1 4537 . . . 4  |-  ( w  i^i  B )  e. 
_V
13 inss2 3644 . . . . . . 7  |-  ( w  i^i  B )  C_  B
14 sseq1 3439 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  (
z  C_  B  <->  ( w  i^i  B )  C_  B
) )
1513, 14mpbiri 241 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  z  C_  B )
1615biantrurd 516 . . . . 5  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph 
<->  ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) ) )
17 rexeq 2974 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  ( E. y  e.  z  ph 
<->  E. y  e.  ( w  i^i  B )
ph ) )
18 elin 3608 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( w  i^i 
B )  <->  ( y  e.  w  /\  y  e.  B ) )
1918anbi1i 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( w  i^i  B )  /\  ph )  <->  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  B )  /\  ph ) )
20 anass 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  y  e.  B
)  /\  ph )  <->  ( y  e.  w  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
2119, 20bitri 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( w  i^i  B )  /\  ph )  <->  ( y  e.  w  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2221rexbii2 2879 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  ( w  i^i  B ) ph  <->  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) )
2317, 22syl6bb 269 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  ( E. y  e.  z  ph 
<->  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2423ralbidv 2829 . . . . 5  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph 
<-> 
A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2516, 24bitr3d 263 . . . 4  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  (
( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2612, 25spcev 3127 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  (
y  e.  B  /\  ph )  ->  E. z
( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) )
2726exlimiv 1784 . 2  |-  ( E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. z ( z 
C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) )
2810, 27syl 17 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. z ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-reg 8125  ax-inf2 8164
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-r1 8253  df-rank 8254
This theorem is referenced by:  ac6s  8932
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