Theorem bnd2 5854

Description: A variant of the Boundedness Axiom bnd 5853 that picks a subset z out of a possibly proper class B in which a property is true.

Hypothesis

Ref	Expression
bnd2.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
bnd2	|- (A.x e. A E.y e. B ph -> E.z(z C_ B /\ A.x e. A E.y e. z ph))

Distinct variable groups:   ph,z   x,z,A   x,y,B,z

Proof of Theorem bnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2110	. . . 4 |- (E.y e. B ph <-> E.y(y e. B /\ ph))
2	1	ralbii 2127	. . 3 |- (A.x e. A E.y e. B ph <-> A.x e. A E.y(y e. B /\ ph))
3		bnd2.1	. . . 4 |- A e. _V
4		raleq 2266	. . . . 5 |- (v = A -> (A.x e. v E.y(y e. B /\ ph) <-> A.x e. A E.y(y e. B /\ ph)))
5		raleq 2266	. . . . . 6 |- (v = A -> (A.x e. v E.y e. w (y e. B /\ ph) <-> A.x e. A E.y e. w (y e. B /\ ph)))
6	5	exbidv 1657	. . . . 5 |- (v = A -> (E.wA.x e. v E.y e. w (y e. B /\ ph) <-> E.wA.x e. A E.y e. w (y e. B /\ ph)))
7	4, 6	imbi12d 688	. . . 4 |- (v = A -> ((A.x e. v E.y(y e. B /\ ph) -> E.wA.x e. v E.y e. w (y e. B /\ ph)) <-> (A.x e. A E.y(y e. B /\ ph) -> E.wA.x e. A E.y e. w (y e. B /\ ph))))
8		bnd 5853	. . . 4 |- (A.x e. v E.y(y e. B /\ ph) -> E.wA.x e. v E.y e. w (y e. B /\ ph))
9	3, 7, 8	vtocl 2339	. . 3 |- (A.x e. A E.y(y e. B /\ ph) -> E.wA.x e. A E.y e. w (y e. B /\ ph))
10	2, 9	sylbi 216	. 2 |- (A.x e. A E.y e. B ph -> E.wA.x e. A E.y e. w (y e. B /\ ph))
11		visset 2295	. . . . 5 |- w e. _V
12	11	inex1 3452	. . . 4 |- (w i^i B) e. _V
13		inss2 2813	. . . . . . 7 |- (w i^i B) C_ B
14		sseq1 2637	. . . . . . 7 |- (z = (w i^i B) -> (z C_ B <-> (w i^i B) C_ B))
15	13, 14	mpbiri 211	. . . . . 6 |- (z = (w i^i B) -> z C_ B)
16	15	biantrurd 796	. . . . 5 |- (z = (w i^i B) -> (A.x e. A E.y e. z ph <-> (z C_ B /\ A.x e. A E.y e. z ph)))
17		rexeq 2267	. . . . . . 7 |- (z = (w i^i B) -> (E.y e. z ph <-> E.y e. (w i^i B)ph))
18		elin 2786	. . . . . . . . . 10 |- (y e. (w i^i B) <-> (y e. w /\ y e. B))
19	18	anbi1i 539	. . . . . . . . 9 |- ((y e. (w i^i B) /\ ph) <-> ((y e. w /\ y e. B) /\ ph))
20		anass 487	. . . . . . . . 9 |- (((y e. w /\ y e. B) /\ ph) <-> (y e. w /\ (y e. B /\ ph)))
21	19, 20	bitri 190	. . . . . . . 8 |- ((y e. (w i^i B) /\ ph) <-> (y e. w /\ (y e. B /\ ph)))
22	21	rexbii2 2132	. . . . . . 7 |- (E.y e. (w i^i B)ph <-> E.y e. w (y e. B /\ ph))
23	17, 22	syl6bb 595	. . . . . 6 |- (z = (w i^i B) -> (E.y e. z ph <-> E.y e. w (y e. B /\ ph)))
24	23	ralbidv 2123	. . . . 5 |- (z = (w i^i B) -> (A.x e. A E.y e. z ph <-> A.x e. A E.y e. w (y e. B /\ ph)))
25	16, 24	bitr3d 589	. . . 4 |- (z = (w i^i B) -> ((z C_ B /\ A.x e. A E.y e. z ph) <-> A.x e. A E.y e. w (y e. B /\ ph)))
26	12, 25	cla4ev 2371	. . 3 |- (A.x e. A E.y e. w (y e. B /\ ph) -> E.z(z C_ B /\ A.x e. A E.y e. z ph))
27	26	19.23aiv 1674	. 2 |- (E.wA.x e. A E.y e. w (y e. B /\ ph) -> E.z(z C_ B /\ A.x e. A E.y e. z ph))
28	10, 27	syl 12	1 |- (A.x e. A E.y e. B ph -> E.z(z C_ B /\ A.x e. A E.y e. z ph))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593

This theorem is referenced by:  ac6s 5918

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-rdg 5140  df-r1 5750  df-rank 5751

Copyright terms: Public domain