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Theorem bnd2 8307
Description: A variant of the Boundedness Axiom bnd 8306 that picks a subset  z out of a possibly proper class 
B in which a property is true. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
bnd2.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
bnd2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. z ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) )
Distinct variable groups:    ph, z    x, z, A    x, y, B, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( y)

Proof of Theorem bnd2
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 2820 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. y ( y  e.  B  /\  ph )
)
21ralbii 2895 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  B  /\  ph ) )
3 bnd2.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
4 raleq 3058 . . . . 5  |-  ( v  =  A  ->  ( A. x  e.  v  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x  e.  A  E. y ( y  e.  B  /\  ph )
) )
5 raleq 3058 . . . . . 6  |-  ( v  =  A  ->  ( A. x  e.  v  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
) )
65exbidv 1690 . . . . 5  |-  ( v  =  A  ->  ( E. w A. x  e.  v  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )  <->  E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
) )
74, 6imbi12d 320 . . . 4  |-  ( v  =  A  ->  (
( A. x  e.  v  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. w A. x  e.  v  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( A. x  e.  A  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
) ) )
8 bnd 8306 . . . 4  |-  ( A. x  e.  v  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. w A. x  e.  v  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
)
93, 7, 8vtocl 3165 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
)
102, 9sylbi 195 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
)
11 vex 3116 . . . . 5  |-  w  e. 
_V
1211inex1 4588 . . . 4  |-  ( w  i^i  B )  e. 
_V
13 inss2 3719 . . . . . . 7  |-  ( w  i^i  B )  C_  B
14 sseq1 3525 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  (
z  C_  B  <->  ( w  i^i  B )  C_  B
) )
1513, 14mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  z  C_  B )
1615biantrurd 508 . . . . 5  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph 
<->  ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) ) )
17 rexeq 3059 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  ( E. y  e.  z  ph 
<->  E. y  e.  ( w  i^i  B )
ph ) )
18 elin 3687 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( w  i^i 
B )  <->  ( y  e.  w  /\  y  e.  B ) )
1918anbi1i 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( w  i^i  B )  /\  ph )  <->  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  B )  /\  ph ) )
20 anass 649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  y  e.  B
)  /\  ph )  <->  ( y  e.  w  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
2119, 20bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( w  i^i  B )  /\  ph )  <->  ( y  e.  w  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2221rexbii2 2963 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  ( w  i^i  B ) ph  <->  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) )
2317, 22syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  ( E. y  e.  z  ph 
<->  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2423ralbidv 2903 . . . . 5  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph 
<-> 
A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2516, 24bitr3d 255 . . . 4  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  (
( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2612, 25spcev 3205 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  (
y  e.  B  /\  ph )  ->  E. z
( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) )
2726exlimiv 1698 . 2  |-  ( E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. z ( z 
C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) )
2810, 27syl 16 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. z ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-reg 8014  ax-inf2 8054
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-r1 8178  df-rank 8179
This theorem is referenced by:  ac6s  8860
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