Theorem bm2.5ii 3887

Description: Problem 2.5(ii) of [BellMachover] p. 471.

Hypothesis

Ref	Expression
bm2.5ii.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
bm2.5ii	|- (A C_ On -> U.A = |^|{x e. On | A.y e. A y C_ x})

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem bm2.5ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bm2.5ii.1	. . 3 |- A e. _V
2	1	ssonunii 3873	. 2 |- (A C_ On -> U.A e. On)
3		intmin 3237	. . 3 |- (U.A e. On -> |^|{x e. On | U.A C_ x} = U.A)
4		unissb 3208	. . . . . 6 |- (U.A C_ x <-> A.y e. A y C_ x)
5	4	a1i 8	. . . . 5 |- (x e. On -> (U.A C_ x <-> A.y e. A y C_ x))
6	5	rabbiia 2285	. . . 4 |- {x e. On | U.A C_ x} = {x e. On | A.y e. A y C_ x}
7	6	inteqi 3218	. . 3 |- |^|{x e. On | U.A C_ x} = |^|{x e. On | A.y e. A y C_ x}
8	3, 7	syl5reqr 1943	. 2 |- (U.A e. On -> U.A = |^|{x e. On | A.y e. A y C_ x})
9	2, 8	syl 12	1 |- (A C_ On -> U.A = |^|{x e. On | A.y e. A y C_ x})

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  {crab 2108  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  U.cuni 3177  |^|cint 3214  Oncon0 3657

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661

Copyright terms: Public domain