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Theorem bm1.3ii 4492
Description: Convert implication to equivalence using the Separation Scheme (Aussonderung) ax-sep 4489. Similar to Theorem 1.3ii of [BellMachover] p. 463. (Contributed by NM, 21-Jun-1993.)
Hypothesis
Ref Expression
bm1.3ii.1  |-  E. x A. y ( ph  ->  y  e.  x )
Assertion
Ref Expression
bm1.3ii  |-  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )
Distinct variable groups:    ph, x    x, y
Allowed substitution hint:    ph( y)

Proof of Theorem bm1.3ii
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bm1.3ii.1 . . . . 5  |-  E. x A. y ( ph  ->  y  e.  x )
2 elequ2 1877 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  z ) )
32imbi2d 317 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( ph  ->  y  e.  x )  <->  ( ph  ->  y  e.  z ) ) )
43albidv 1761 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y ( ph  ->  y  e.  x )  <->  A. y
( ph  ->  y  e.  z ) ) )
54cbvexv 2089 . . . . 5  |-  ( E. x A. y (
ph  ->  y  e.  x
)  <->  E. z A. y
( ph  ->  y  e.  z ) )
61, 5mpbi 211 . . . 4  |-  E. z A. y ( ph  ->  y  e.  z )
7 ax-sep 4489 . . . 4  |-  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
)
86, 7pm3.2i 456 . . 3  |-  ( E. z A. y (
ph  ->  y  e.  z )  /\  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) )
98exan 2030 . 2  |-  E. z
( A. y (
ph  ->  y  e.  z )  /\  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) )
10 19.42v 1827 . . . 4  |-  ( E. x ( A. y
( ph  ->  y  e.  z )  /\  A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) )  <->  ( A. y ( ph  ->  y  e.  z )  /\  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) ) )
11 bimsc1 946 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  ->  y  e.  z )  /\  (
y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) )  ->  (
y  e.  x  <->  ph ) )
1211alanimi 1682 . . . . 5  |-  ( ( A. y ( ph  ->  y  e.  z )  /\  A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) )  ->  A. y
( y  e.  x  <->  ph ) )
1312eximi 1701 . . . 4  |-  ( E. x ( A. y
( ph  ->  y  e.  z )  /\  A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) )  ->  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )
1410, 13sylbir 216 . . 3  |-  ( ( A. y ( ph  ->  y  e.  z )  /\  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) )  ->  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )
1514exlimiv 1770 . 2  |-  ( E. z ( A. y
( ph  ->  y  e.  z )  /\  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) )  ->  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )
169, 15ax-mp 5 1  |-  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435   E.wex 1657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-sep 4489
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-an 372  df-ex 1658  df-nf 1662
This theorem is referenced by:  axpow3  4548  pwex  4550  zfpair2  4604  axun2  6543  uniex2  6544
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