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Theorem bm1.3ii 4541
Description: Convert implication to equivalence using the Separation Scheme (Aussonderung) ax-sep 4538. Similar to Theorem 1.3ii of [BellMachover] p. 463. (Contributed by NM, 21-Jun-1993.)
Hypothesis
Ref Expression
bm1.3ii.1  |-  E. x A. y ( ph  ->  y  e.  x )
Assertion
Ref Expression
bm1.3ii  |-  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )
Distinct variable groups:    ph, x    x, y
Allowed substitution hint:    ph( y)

Proof of Theorem bm1.3ii
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.42v 1844 . . 3  |-  ( E. x ( A. y
( ph  ->  y  e.  z )  /\  A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) )  <->  ( A. y ( ph  ->  y  e.  z )  /\  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) ) )
2 bimsc1 955 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  ->  y  e.  z )  /\  (
y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) )  ->  (
y  e.  x  <->  ph ) )
32alanimi 1698 . . . 4  |-  ( ( A. y ( ph  ->  y  e.  z )  /\  A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) )  ->  A. y
( y  e.  x  <->  ph ) )
43eximi 1717 . . 3  |-  ( E. x ( A. y
( ph  ->  y  e.  z )  /\  A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) )  ->  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )
51, 4sylbir 218 . 2  |-  ( ( A. y ( ph  ->  y  e.  z )  /\  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) )  ->  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )
6 bm1.3ii.1 . . . . 5  |-  E. x A. y ( ph  ->  y  e.  x )
7 elequ2 1911 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  z ) )
87imbi2d 322 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( ph  ->  y  e.  x )  <->  ( ph  ->  y  e.  z ) ) )
98albidv 1777 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y ( ph  ->  y  e.  x )  <->  A. y
( ph  ->  y  e.  z ) ) )
109cbvexv 2127 . . . . 5  |-  ( E. x A. y (
ph  ->  y  e.  x
)  <->  E. z A. y
( ph  ->  y  e.  z ) )
116, 10mpbi 213 . . . 4  |-  E. z A. y ( ph  ->  y  e.  z )
12 ax-sep 4538 . . . 4  |-  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
)
1311, 12pm3.2i 461 . . 3  |-  ( E. z A. y (
ph  ->  y  e.  z )  /\  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) )
1413exan 2063 . 2  |-  E. z
( A. y (
ph  ->  y  e.  z )  /\  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ( y  e.  z  /\  ph )
) )
155, 14exlimiiv 1787 1  |-  E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375   A.wal 1452   E.wex 1673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-sep 4538
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-an 377  df-ex 1674  df-nf 1678
This theorem is referenced by:  axpow3  4597  pwex  4599  zfpair2  4653  axun2  6611  uniex2  6612
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