Theorem bm1.1 2437

Description: Any set defined by a property is the only set defined by that property. Theorem 1.1 of [BellMachover] p. 462. (Contributed by NM, 30-Jun-1994.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 13-Nov-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
bm1.1.1	|- F/ x ph

Assertion

Ref	Expression
bm1.1	|- ( E. x A. y ( y e. x <-> ph ) -> E! x A. y ( y e. x <-> ph ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem bm1.1

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biantr 929	. . . . 5 |- ( ( ( y e. x <-> ph ) /\ ( y e. z <-> ph ) ) -> ( y e. x <-> y e. z ) )
2	1	alanimi 1642	. . . 4 |- ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ A. y ( y e. z <-> ph ) ) -> A. y ( y e. x <-> y e. z ) )
3		ax-ext 2432	. . . 4 |- ( A. y ( y e. x <-> y e. z ) -> x = z )
4	2, 3	syl 16	. . 3 |- ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ A. y ( y e. z <-> ph ) ) -> x = z )
5	4	gen2 1624	. 2 |- A. x A. z ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ A. y ( y e. z <-> ph ) ) -> x = z )
6		nfv 1712	. . . . . 6 |- F/ x y e. z
7		bm1.1.1	. . . . . 6 |- F/ x ph
8	6, 7	nfbi 1939	. . . . 5 |- F/ x ( y e. z <-> ph )
9	8	nfal 1952	. . . 4 |- F/ x A. y ( y e. z <-> ph )
10		elequ2 1828	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( y e. x <-> y e. z ) )
11	10	bibi1d 317	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( y e. x <-> ph ) <-> ( y e. z <-> ph ) ) )
12	11	albidv 1718	. . . 4 |- ( x = z -> ( A. y ( y e. x <-> ph ) <-> A. y ( y e. z <-> ph ) ) )
13	9, 12	mo4f 2334	. . 3 |- ( E* x A. y ( y e. x <-> ph ) <-> A. x A. z ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ A. y ( y e. z <-> ph ) ) -> x = z ) )
14		df-mo 2289	. . 3 |- ( E* x A. y ( y e. x <-> ph ) <-> ( E. x A. y ( y e. x <-> ph ) -> E! x A. y ( y e. x <-> ph ) ) )
15	13, 14	bitr3i 251	. 2 |- ( A. x A. z ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ A. y ( y e. z <-> ph ) ) -> x = z ) <-> ( E. x A. y ( y e. x <-> ph ) -> E! x A. y ( y e. x <-> ph ) ) )
16	5, 15	mpbi 208	1 |- ( E. x A. y ( y e. x <-> ph ) -> E! x A. y ( y e. x <-> ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   A.wal 1396   E.wex 1617   F/wnf 1621   E!weu 2284   E*wmo 2285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289

This theorem is referenced by:  zfnuleu  4565