Theorem bm1.1 2406

Description: Any set defined by a property is the only set defined by that property. Theorem 1.1 of [BellMachover] p. 462. (Contributed by NM, 30-Jun-1994.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 13-Nov-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
bm1.1.1	|- F/ x ph

Assertion

Ref	Expression
bm1.1	|- ( E. x A. y ( y e. x <-> ph ) -> E! x A. y ( y e. x <-> ph ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem bm1.1

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biantr 940	. . . . 5 |- ( ( ( y e. x <-> ph ) /\ ( y e. z <-> ph ) ) -> ( y e. x <-> y e. z ) )
2	1	alanimi 1685	. . . 4 |- ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ A. y ( y e. z <-> ph ) ) -> A. y ( y e. x <-> y e. z ) )
3		ax-ext 2401	. . . 4 |- ( A. y ( y e. x <-> y e. z ) -> x = z )
4	2, 3	syl 17	. . 3 |- ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ A. y ( y e. z <-> ph ) ) -> x = z )
5	4	gen2 1667	. 2 |- A. x A. z ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ A. y ( y e. z <-> ph ) ) -> x = z )
6		nfv 1752	. . . . . 6 |- F/ x y e. z
7		bm1.1.1	. . . . . 6 |- F/ x ph
8	6, 7	nfbi 1991	. . . . 5 |- F/ x ( y e. z <-> ph )
9	8	nfal 2004	. . . 4 |- F/ x A. y ( y e. z <-> ph )
10		elequ2 1874	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( y e. x <-> y e. z ) )
11	10	bibi1d 321	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( y e. x <-> ph ) <-> ( y e. z <-> ph ) ) )
12	11	albidv 1758	. . . 4 |- ( x = z -> ( A. y ( y e. x <-> ph ) <-> A. y ( y e. z <-> ph ) ) )
13	9, 12	mo4f 2313	. . 3 |- ( E* x A. y ( y e. x <-> ph ) <-> A. x A. z ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ A. y ( y e. z <-> ph ) ) -> x = z ) )
14		df-mo 2271	. . 3 |- ( E* x A. y ( y e. x <-> ph ) <-> ( E. x A. y ( y e. x <-> ph ) -> E! x A. y ( y e. x <-> ph ) ) )
15	13, 14	bitr3i 255	. 2 |- ( A. x A. z ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ A. y ( y e. z <-> ph ) ) -> x = z ) <-> ( E. x A. y ( y e. x <-> ph ) -> E! x A. y ( y e. x <-> ph ) ) )
16	5, 15	mpbi 212	1 |- ( E. x A. y ( y e. x <-> ph ) -> E! x A. y ( y e. x <-> ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   A.wal 1436   E.wex 1660   F/wnf 1664   E!weu 2266   E*wmo 2267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271

This theorem is referenced by:  zfnuleu  4549