Theorem bm1.1 2437

Description: Any set defined by a property is the only set defined by that property. Theorem 1.1 of [BellMachover] p. 462. (Contributed by NM, 30-Jun-1994.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 13-Nov-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
bm1.1.1	|- F/ x ph

Assertion

Ref	Expression
bm1.1	|- ( E. x A. y ( y e. x <-> ph ) -> E! x A. y ( y e. x <-> ph ) )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem bm1.1

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biantr 922	. . . . 5 |- ( ( ( y e. x <-> ph ) /\ ( y e. z <-> ph ) ) -> ( y e. x <-> y e. z ) )
2	1	alanimi 1608	. . . 4 |- ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ A. y ( y e. z <-> ph ) ) -> A. y ( y e. x <-> y e. z ) )
3		ax-ext 2432	. . . 4 |- ( A. y ( y e. x <-> y e. z ) -> x = z )
4	2, 3	syl 16	. . 3 |- ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ A. y ( y e. z <-> ph ) ) -> x = z )
5	4	gen2 1593	. 2 |- A. x A. z ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ A. y ( y e. z <-> ph ) ) -> x = z )
6		nfv 1674	. . . . . 6 |- F/ x y e. z
7		bm1.1.1	. . . . . 6 |- F/ x ph
8	6, 7	nfbi 1872	. . . . 5 |- F/ x ( y e. z <-> ph )
9	8	nfal 1885	. . . 4 |- F/ x A. y ( y e. z <-> ph )
10		elequ2 1763	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( y e. x <-> y e. z ) )
11	10	bibi1d 319	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( y e. x <-> ph ) <-> ( y e. z <-> ph ) ) )
12	11	albidv 1680	. . . 4 |- ( x = z -> ( A. y ( y e. x <-> ph ) <-> A. y ( y e. z <-> ph ) ) )
13	9, 12	mo4f 2325	. . 3 |- ( E* x A. y ( y e. x <-> ph ) <-> A. x A. z ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ A. y ( y e. z <-> ph ) ) -> x = z ) )
14		df-mo 2267	. . 3 |- ( E* x A. y ( y e. x <-> ph ) <-> ( E. x A. y ( y e. x <-> ph ) -> E! x A. y ( y e. x <-> ph ) ) )
15	13, 14	bitr3i 251	. 2 |- ( A. x A. z ( ( A. y ( y e. x <-> ph ) /\ A. y ( y e. z <-> ph ) ) -> x = z ) <-> ( E. x A. y ( y e. x <-> ph ) -> E! x A. y ( y e. x <-> ph ) ) )
16	5, 15	mpbi 208	1 |- ( E. x A. y ( y e. x <-> ph ) -> E! x A. y ( y e. x <-> ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1368   E.wex 1587   F/wnf 1590   E!weu 2262   E*wmo 2263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267

This theorem is referenced by:  zfnuleu  4527