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Theorem bm1.1 2456
Description: Any set defined by a property is the only set defined by that property. Theorem 1.1 of [BellMachover] p. 462. (Contributed by NM, 30-Jun-1994.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 13-Nov-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
bm1.1.1  |-  F/ x ph
Assertion
Ref Expression
bm1.1  |-  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  ->  E! x A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem bm1.1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biantr 945 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  x  <->  ph )  /\  ( y  e.  z  <->  ph ) )  ->  ( y  e.  x  <->  y  e.  z ) )
21alanimi 1696 . . . 4  |-  ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  A. y ( y  e.  z  <->  ph ) )  ->  A. y ( y  e.  x  <->  y  e.  z ) )
3 ax-ext 2451 . . . 4  |-  ( A. y ( y  e.  x  <->  y  e.  z )  ->  x  =  z )
42, 3syl 17 . . 3  |-  ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  A. y ( y  e.  z  <->  ph ) )  ->  x  =  z )
54gen2 1678 . 2  |-  A. x A. z ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  A. y ( y  e.  z  <->  ph ) )  ->  x  =  z )
6 nfv 1769 . . . . . 6  |-  F/ x  y  e.  z
7 bm1.1.1 . . . . . 6  |-  F/ x ph
86, 7nfbi 2037 . . . . 5  |-  F/ x
( y  e.  z  <->  ph )
98nfal 2049 . . . 4  |-  F/ x A. y ( y  e.  z  <->  ph )
10 elequ2 1918 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  z ) )
1110bibi1d 326 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  e.  x  <->  ph )  <->  ( y  e.  z  <->  ph ) ) )
1211albidv 1775 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  <->  A. y
( y  e.  z  <->  ph ) ) )
139, 12mo4f 2365 . . 3  |-  ( E* x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  <->  A. x A. z ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  A. y ( y  e.  z  <->  ph ) )  ->  x  =  z )
)
14 df-mo 2324 . . 3  |-  ( E* x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  <->  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  ->  E! x A. y ( y  e.  x  <->  ph ) ) )
1513, 14bitr3i 259 . 2  |-  ( A. x A. z ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  A. y ( y  e.  z  <->  ph ) )  ->  x  =  z )  <->  ( E. x A. y
( y  e.  x  <->  ph )  ->  E! x A. y ( y  e.  x  <->  ph ) ) )
165, 15mpbi 213 1  |-  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  ->  E! x A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376   A.wal 1450   E.wex 1671   F/wnf 1675   E!weu 2319   E*wmo 2320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324
This theorem is referenced by:  zfnuleu  4523
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