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Theorem bm1.1 2437
Description: Any set defined by a property is the only set defined by that property. Theorem 1.1 of [BellMachover] p. 462. (Contributed by NM, 30-Jun-1994.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 13-Nov-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
bm1.1.1  |-  F/ x ph
Assertion
Ref Expression
bm1.1  |-  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  ->  E! x A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )
Distinct variable group:    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem bm1.1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biantr 922 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  x  <->  ph )  /\  ( y  e.  z  <->  ph ) )  ->  ( y  e.  x  <->  y  e.  z ) )
21alanimi 1608 . . . 4  |-  ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  A. y ( y  e.  z  <->  ph ) )  ->  A. y ( y  e.  x  <->  y  e.  z ) )
3 ax-ext 2432 . . . 4  |-  ( A. y ( y  e.  x  <->  y  e.  z )  ->  x  =  z )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  A. y ( y  e.  z  <->  ph ) )  ->  x  =  z )
54gen2 1593 . 2  |-  A. x A. z ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  A. y ( y  e.  z  <->  ph ) )  ->  x  =  z )
6 nfv 1674 . . . . . 6  |-  F/ x  y  e.  z
7 bm1.1.1 . . . . . 6  |-  F/ x ph
86, 7nfbi 1872 . . . . 5  |-  F/ x
( y  e.  z  <->  ph )
98nfal 1885 . . . 4  |-  F/ x A. y ( y  e.  z  <->  ph )
10 elequ2 1763 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  z ) )
1110bibi1d 319 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  e.  x  <->  ph )  <->  ( y  e.  z  <->  ph ) ) )
1211albidv 1680 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  <->  A. y
( y  e.  z  <->  ph ) ) )
139, 12mo4f 2325 . . 3  |-  ( E* x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  <->  A. x A. z ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  A. y ( y  e.  z  <->  ph ) )  ->  x  =  z )
)
14 df-mo 2267 . . 3  |-  ( E* x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  <->  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  ->  E! x A. y ( y  e.  x  <->  ph ) ) )
1513, 14bitr3i 251 . 2  |-  ( A. x A. z ( ( A. y ( y  e.  x  <->  ph )  /\  A. y ( y  e.  z  <->  ph ) )  ->  x  =  z )  <->  ( E. x A. y
( y  e.  x  <->  ph )  ->  E! x A. y ( y  e.  x  <->  ph ) ) )
165, 15mpbi 208 1  |-  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  ph )  ->  E! x A. y ( y  e.  x  <->  ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368   E.wex 1587   F/wnf 1590   E!weu 2262   E*wmo 2263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267
This theorem is referenced by:  zfnuleu  4527
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