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Theorem blssps 19974
Description: Any point  P in a ball  B can be centered in another ball that is a subset of  B. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
blssps  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  B  e.  ran  ( ball `  D
)  /\  P  e.  B )  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  B
)
Distinct variable groups:    x, B    x, D    x, P    x, X

Proof of Theorem blssps
Dummy variables  r 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blrnps 19958 . . 3  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( B  e.  ran  ( ball `  D
)  <->  E. y  e.  X  E. r  e.  RR*  B  =  ( y (
ball `  D )
r ) ) )
2 elblps 19937 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( P  e.  ( y
( ball `  D )
r )  <->  ( P  e.  X  /\  (
y D P )  <  r ) ) )
3 simpl1 991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
4 simpl2 992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  y  e.  X )
5 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  P  e.  X )
6 psmetcl 19858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  (
y D P )  e.  RR* )
73, 4, 5, 6syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  (
y D P )  e.  RR* )
8 simpl3 993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  r  e.  RR* )
9 qbtwnxr 11162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y D P )  e.  RR*  /\  r  e.  RR*  /\  ( y D P )  < 
r )  ->  E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  < 
z  /\  z  <  r ) )
1093expia 1189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y D P )  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  ->  (
( y D P )  <  r  ->  E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )
117, 8, 10syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  (
( y D P )  <  r  ->  E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )
12 qre 10950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  QQ  ->  z  e.  RR )
13 simpll1 1027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  D  e.  (PsMet `  X ) )
14 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  P  e.  X
)
15 simpll2 1028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  y  e.  X
)
16 psmetsym 19861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( P D y )  =  ( y D P ) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  =  ( y D P ) )
18 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( y D P )  <  z
)
1917, 18eqbrtrd 4307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <  z
)
20 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  e.  RR )
21 psmetcl 19858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( P D y )  e. 
RR* )
2213, 14, 15, 21syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  e.  RR* )
23 rexr 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  RR* )
2423ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  e.  RR* )
25 xrltle 11118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P D y )  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
( P D y )  <  z  -> 
( P D y )  <_  z )
)
2622, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( ( P D y )  < 
z  ->  ( P D y )  <_ 
z ) )
2719, 26mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <_  z
)
28 psmetlecl 19866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  ( P  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( P D y )  <_  z )
)  ->  ( P D y )  e.  RR )
2913, 14, 15, 20, 27, 28syl122anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  e.  RR )
30 difrp 11016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P D y )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( P D y )  <  z  <->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+ ) )
3129, 20, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( ( P D y )  < 
z  <->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+ )
)
3219, 31mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+ )
3320, 29resubcld 9768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR )
34 xrleid 11119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P D y )  e.  RR*  ->  ( P D y )  <_ 
( P D y ) )
3522, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <_  ( P D y ) )
3620recnd 9404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  e.  CC )
3729recnd 9404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  e.  CC )
3836, 37nncand 9716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( z  -  ( z  -  ( P D y ) ) )  =  ( P D y ) )
3935, 38breqtrrd 4313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <_  (
z  -  ( z  -  ( P D y ) ) ) )
40 blss2ps 19953 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  (
( z  -  ( P D y ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( P D y )  <_ 
( z  -  (
z  -  ( P D y ) ) ) ) )  -> 
( P ( ball `  D ) ( z  -  ( P D y ) ) ) 
C_  ( y (
ball `  D )
z ) )
4113, 14, 15, 33, 20, 39, 40syl33anc 1233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P (
ball `  D )
( z  -  ( P D y ) ) )  C_  ( y
( ball `  D )
z ) )
42 simpll3 1029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  r  e.  RR* )
43 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  <  r
)
44 xrltle 11118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  ->  (
z  <  r  ->  z  <_  r ) )
4524, 42, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( z  < 
r  ->  z  <_  r ) )
4643, 45mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  <_  r
)
47 ssblps 19972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X )  /\  (
z  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  /\  z  <_  r )  ->  (
y ( ball `  D
) z )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) )
4813, 15, 24, 42, 46, 47syl221anc 1229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( y (
ball `  D )
z )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) )
4941, 48sstrd 3361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P (
ball `  D )
( z  -  ( P D y ) ) )  C_  ( y
( ball `  D )
r ) )
50 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( z  -  ( P D y ) )  ->  ( P
( ball `  D )
x )  =  ( P ( ball `  D
) ( z  -  ( P D y ) ) ) )
5150sseq1d 3378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( z  -  ( P D y ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r )  <-> 
( P ( ball `  D ) ( z  -  ( P D y ) ) ) 
C_  ( y (
ball `  D )
r ) ) )
5251rspcev 3068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+  /\  ( P ( ball `  D
) ( z  -  ( P D y ) ) )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) )
5332, 49, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) )
5453expr 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5512, 54sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  z  e.  QQ )  ->  ( ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5655rexlimdva 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  ( E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5711, 56syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  (
( y D P )  <  r  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5857expimpd 603 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  (
( P  e.  X  /\  ( y D P )  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
592, 58sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( P  e.  ( y
( ball `  D )
r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) ) )
60 eleq2 2499 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  ( P  e.  B  <->  P  e.  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
61 sseq2 3373 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  (
( P ( ball `  D ) x ) 
C_  B  <->  ( P
( ball `  D )
x )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) ) )
6261rexbidv 2731 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  ( E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B 
<->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
6360, 62imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  (
( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B )  <->  ( P  e.  ( y ( ball `  D ) r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) ) )
6459, 63syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( B  =  ( y
( ball `  D )
r )  ->  ( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B ) ) )
65643expib 1190 . . . 4  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( (
y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  -> 
( B  =  ( y ( ball `  D
) r )  -> 
( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B ) ) ) )
6665rexlimdvv 2842 . . 3  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( E. y  e.  X  E. r  e.  RR*  B  =  ( y ( ball `  D ) r )  ->  ( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  B
) ) )
671, 66sylbid 215 . 2  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( B  e.  ran  ( ball `  D
)  ->  ( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  B
) ) )
68673imp 1181 1  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  B  e.  ran  ( ball `  D
)  /\  P  e.  B )  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2711    C_ wss 3323   class class class wbr 4287   ran crn 4836   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   RR*cxr 9409    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587   QQcq 10945   RR+crp 10983  PsMetcpsmet 17775   ballcbl 17778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-psmet 17784  df-bl 17787
This theorem is referenced by:  blssexps  19976
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