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Theorem blssps 18407
Description: Any point  P in a ball  B can be centered in another ball that is a subset of  B. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
blssps  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  B  e.  ran  ( ball `  D
)  /\  P  e.  B )  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  B
)
Distinct variable groups:    x, B    x, D    x, P    x, X

Proof of Theorem blssps
Dummy variables  r 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blrnps 18391 . . 3  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( B  e.  ran  ( ball `  D
)  <->  E. y  e.  X  E. r  e.  RR*  B  =  ( y (
ball `  D )
r ) ) )
2 elblps 18370 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( P  e.  ( y
( ball `  D )
r )  <->  ( P  e.  X  /\  (
y D P )  <  r ) ) )
3 simpl1 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
4 simpl2 961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  y  e.  X )
5 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  P  e.  X )
6 psmetcl 18291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  (
y D P )  e.  RR* )
73, 4, 5, 6syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  (
y D P )  e.  RR* )
8 simpl3 962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  r  e.  RR* )
9 qbtwnxr 10742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y D P )  e.  RR*  /\  r  e.  RR*  /\  ( y D P )  < 
r )  ->  E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  < 
z  /\  z  <  r ) )
1093expia 1155 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y D P )  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  ->  (
( y D P )  <  r  ->  E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )
117, 8, 10syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  (
( y D P )  <  r  ->  E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )
12 qre 10535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  QQ  ->  z  e.  RR )
13 simpll1 996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  D  e.  (PsMet `  X ) )
14 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  P  e.  X
)
15 simpll2 997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  y  e.  X
)
16 psmetsym 18294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( P D y )  =  ( y D P ) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  =  ( y D P ) )
18 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( y D P )  <  z
)
1917, 18eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <  z
)
20 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  e.  RR )
21 psmetcl 18291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( P D y )  e. 
RR* )
2213, 14, 15, 21syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  e.  RR* )
23 rexr 9086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  RR* )
2423ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  e.  RR* )
25 xrltle 10698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P D y )  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
( P D y )  <  z  -> 
( P D y )  <_  z )
)
2622, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( ( P D y )  < 
z  ->  ( P D y )  <_ 
z ) )
2719, 26mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <_  z
)
28 psmetlecl 18299 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  ( P  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( P D y )  <_  z )
)  ->  ( P D y )  e.  RR )
2913, 14, 15, 20, 27, 28syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  e.  RR )
30 difrp 10601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P D y )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( P D y )  <  z  <->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+ ) )
3129, 20, 30syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( ( P D y )  < 
z  <->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+ )
)
3219, 31mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+ )
3320, 29resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR )
34 xrleid 10699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P D y )  e.  RR*  ->  ( P D y )  <_ 
( P D y ) )
3522, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <_  ( P D y ) )
3620recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  e.  CC )
3729recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  e.  CC )
3836, 37nncand 9372 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( z  -  ( z  -  ( P D y ) ) )  =  ( P D y ) )
3935, 38breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <_  (
z  -  ( z  -  ( P D y ) ) ) )
40 blss2ps 18386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  (
( z  -  ( P D y ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( P D y )  <_ 
( z  -  (
z  -  ( P D y ) ) ) ) )  -> 
( P ( ball `  D ) ( z  -  ( P D y ) ) ) 
C_  ( y (
ball `  D )
z ) )
4113, 14, 15, 33, 20, 39, 40syl33anc 1199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P (
ball `  D )
( z  -  ( P D y ) ) )  C_  ( y
( ball `  D )
z ) )
42 simpll3 998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  r  e.  RR* )
43 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  <  r
)
44 xrltle 10698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  ->  (
z  <  r  ->  z  <_  r ) )
4524, 42, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( z  < 
r  ->  z  <_  r ) )
4643, 45mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  <_  r
)
47 ssblps 18405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X )  /\  (
z  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  /\  z  <_  r )  ->  (
y ( ball `  D
) z )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) )
4813, 15, 24, 42, 46, 47syl221anc 1195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( y (
ball `  D )
z )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) )
4941, 48sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P (
ball `  D )
( z  -  ( P D y ) ) )  C_  ( y
( ball `  D )
r ) )
50 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( z  -  ( P D y ) )  ->  ( P
( ball `  D )
x )  =  ( P ( ball `  D
) ( z  -  ( P D y ) ) ) )
5150sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( z  -  ( P D y ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r )  <-> 
( P ( ball `  D ) ( z  -  ( P D y ) ) ) 
C_  ( y (
ball `  D )
r ) ) )
5251rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+  /\  ( P ( ball `  D
) ( z  -  ( P D y ) ) )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) )
5332, 49, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) )
5453expr 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5512, 54sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  z  e.  QQ )  ->  ( ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5655rexlimdva 2790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  ( E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5711, 56syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  (
( y D P )  <  r  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5857expimpd 587 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  (
( P  e.  X  /\  ( y D P )  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
592, 58sylbid 207 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( P  e.  ( y
( ball `  D )
r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) ) )
60 eleq2 2465 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  ( P  e.  B  <->  P  e.  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
61 sseq2 3330 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  (
( P ( ball `  D ) x ) 
C_  B  <->  ( P
( ball `  D )
x )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) ) )
6261rexbidv 2687 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  ( E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B 
<->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
6360, 62imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  (
( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B )  <->  ( P  e.  ( y ( ball `  D ) r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) ) )
6459, 63syl5ibrcom 214 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( B  =  ( y
( ball `  D )
r )  ->  ( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B ) ) )
65643expib 1156 . . . 4  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( (
y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  -> 
( B  =  ( y ( ball `  D
) r )  -> 
( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B ) ) ) )
6665rexlimdvv 2796 . . 3  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( E. y  e.  X  E. r  e.  RR*  B  =  ( y ( ball `  D ) r )  ->  ( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  B
) ) )
671, 66sylbid 207 . 2  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( B  e.  ran  ( ball `  D
)  ->  ( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  B
) ) )
68673imp 1147 1  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  B  e.  ran  ( ball `  D
)  /\  P  e.  B )  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ran crn 4838   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   QQcq 10530   RR+crp 10568  PsMetcpsmet 16640   ballcbl 16643
This theorem is referenced by:  blssexps  18409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-psmet 16649  df-bl 16652
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