Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blssps Structured version   Unicode version

Theorem blssps 21425
 Description: Any point in a ball can be centered in another ball that is a subset of . (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
blssps PsMet
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem blssps
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blrnps 21409 . . 3 PsMet
2 elblps 21388 . . . . . . 7 PsMet
3 simpl1 1008 . . . . . . . . . . 11 PsMet PsMet
4 simpl2 1009 . . . . . . . . . . 11 PsMet
5 simpr 462 . . . . . . . . . . 11 PsMet
6 psmetcl 21309 . . . . . . . . . . 11 PsMet
73, 4, 5, 6syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10 PsMet
8 simpl3 1010 . . . . . . . . . 10 PsMet
9 qbtwnxr 11493 . . . . . . . . . . 11
1093expia 1207 . . . . . . . . . 10
117, 8, 10syl2anc 665 . . . . . . . . 9 PsMet
12 qre 11269 . . . . . . . . . . 11
13 simpll1 1044 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet PsMet
14 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet
15 simpll2 1045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet
16 psmetsym 21312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet
1713, 14, 15, 16syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
18 simprrl 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
1917, 18eqbrtrd 4441 . . . . . . . . . . . . . 14 PsMet
20 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet
21 psmetcl 21309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 PsMet
2213, 14, 15, 21syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 PsMet
23 rexr 9686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2423ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 PsMet
25 xrltle 11448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2622, 24, 25syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 PsMet
2719, 26mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet
28 psmetlecl 21317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet
2913, 14, 15, 20, 27, 28syl122anc 1273 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
30 difrp 11337 . . . . . . . . . . . . . . 15
3129, 20, 30syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14 PsMet
3219, 31mpbid 213 . . . . . . . . . . . . 13 PsMet
3320, 29resubcld 10047 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
34 xrleid 11449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3522, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet
3620recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 PsMet
3729recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 PsMet
3836, 37nncand 9991 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet
3935, 38breqtrrd 4447 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
40 blss2ps 21404 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
4113, 14, 15, 33, 20, 39, 40syl33anc 1279 . . . . . . . . . . . . . 14 PsMet
42 simpll3 1046 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
43 simprrr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet
44 xrltle 11448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4524, 42, 44syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 PsMet
4643, 45mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
47 ssblps 21423 . . . . . . . . . . . . . . 15 PsMet
4813, 15, 24, 42, 46, 47syl221anc 1275 . . . . . . . . . . . . . 14 PsMet
4941, 48sstrd 3474 . . . . . . . . . . . . 13 PsMet
50 oveq2 6309 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150sseq1d 3491 . . . . . . . . . . . . . 14
5251rspcev 3182 . . . . . . . . . . . . 13
5332, 49, 52syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12 PsMet
5453expr 618 . . . . . . . . . . 11 PsMet
5512, 54sylan2 476 . . . . . . . . . 10 PsMet
5655rexlimdva 2917 . . . . . . . . 9 PsMet
5711, 56syld 45 . . . . . . . 8 PsMet
5857expimpd 606 . . . . . . 7 PsMet
592, 58sylbid 218 . . . . . 6 PsMet
60 eleq2 2495 . . . . . . 7
61 sseq2 3486 . . . . . . . 8
6261rexbidv 2939 . . . . . . 7
6360, 62imbi12d 321 . . . . . 6
6459, 63syl5ibrcom 225 . . . . 5 PsMet
65643expib 1208 . . . 4 PsMet
6665rexlimdvv 2923 . . 3 PsMet
671, 66sylbid 218 . 2 PsMet
68673imp 1199 1 PsMet
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1868  wrex 2776   wss 3436   class class class wbr 4420   crn 4850  cfv 5597  (class class class)co 6301  cr 9538  cxr 9674   clt 9675   cle 9676   cmin 9860  cq 11264  crp 11302  PsMetcpsmet 18941  cbl 18944 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-sup 7958  df-inf 7959  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-psmet 18949  df-bl 18952 This theorem is referenced by:  blssexps  21427
 Copyright terms: Public domain W3C validator