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Theorem blssps 20130
Description: Any point  P in a ball  B can be centered in another ball that is a subset of  B. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
blssps  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  B  e.  ran  ( ball `  D
)  /\  P  e.  B )  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  B
)
Distinct variable groups:    x, B    x, D    x, P    x, X

Proof of Theorem blssps
Dummy variables  r 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blrnps 20114 . . 3  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( B  e.  ran  ( ball `  D
)  <->  E. y  e.  X  E. r  e.  RR*  B  =  ( y (
ball `  D )
r ) ) )
2 elblps 20093 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( P  e.  ( y
( ball `  D )
r )  <->  ( P  e.  X  /\  (
y D P )  <  r ) ) )
3 simpl1 991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
4 simpl2 992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  y  e.  X )
5 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  P  e.  X )
6 psmetcl 20014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  (
y D P )  e.  RR* )
73, 4, 5, 6syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  (
y D P )  e.  RR* )
8 simpl3 993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  r  e.  RR* )
9 qbtwnxr 11280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y D P )  e.  RR*  /\  r  e.  RR*  /\  ( y D P )  < 
r )  ->  E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  < 
z  /\  z  <  r ) )
1093expia 1190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y D P )  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  ->  (
( y D P )  <  r  ->  E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )
117, 8, 10syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  (
( y D P )  <  r  ->  E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )
12 qre 11068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  QQ  ->  z  e.  RR )
13 simpll1 1027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  D  e.  (PsMet `  X ) )
14 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  P  e.  X
)
15 simpll2 1028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  y  e.  X
)
16 psmetsym 20017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( P D y )  =  ( y D P ) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  =  ( y D P ) )
18 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( y D P )  <  z
)
1917, 18eqbrtrd 4419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <  z
)
20 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  e.  RR )
21 psmetcl 20014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( P D y )  e. 
RR* )
2213, 14, 15, 21syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  e.  RR* )
23 rexr 9539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  RR* )
2423ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  e.  RR* )
25 xrltle 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P D y )  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
( P D y )  <  z  -> 
( P D y )  <_  z )
)
2622, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( ( P D y )  < 
z  ->  ( P D y )  <_ 
z ) )
2719, 26mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <_  z
)
28 psmetlecl 20022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  ( P  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  ( z  e.  RR  /\  ( P D y )  <_  z )
)  ->  ( P D y )  e.  RR )
2913, 14, 15, 20, 27, 28syl122anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  e.  RR )
30 difrp 11134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P D y )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( P D y )  <  z  <->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+ ) )
3129, 20, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( ( P D y )  < 
z  <->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+ )
)
3219, 31mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+ )
3320, 29resubcld 9886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR )
34 xrleid 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P D y )  e.  RR*  ->  ( P D y )  <_ 
( P D y ) )
3522, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <_  ( P D y ) )
3620recnd 9522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  e.  CC )
3729recnd 9522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  e.  CC )
3836, 37nncand 9834 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( z  -  ( z  -  ( P D y ) ) )  =  ( P D y ) )
3935, 38breqtrrd 4425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <_  (
z  -  ( z  -  ( P D y ) ) ) )
40 blss2ps 20109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  (
( z  -  ( P D y ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( P D y )  <_ 
( z  -  (
z  -  ( P D y ) ) ) ) )  -> 
( P ( ball `  D ) ( z  -  ( P D y ) ) ) 
C_  ( y (
ball `  D )
z ) )
4113, 14, 15, 33, 20, 39, 40syl33anc 1234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P (
ball `  D )
( z  -  ( P D y ) ) )  C_  ( y
( ball `  D )
z ) )
42 simpll3 1029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  r  e.  RR* )
43 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  <  r
)
44 xrltle 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  ->  (
z  <  r  ->  z  <_  r ) )
4524, 42, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( z  < 
r  ->  z  <_  r ) )
4643, 45mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  <_  r
)
47 ssblps 20128 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X )  /\  (
z  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  /\  z  <_  r )  ->  (
y ( ball `  D
) z )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) )
4813, 15, 24, 42, 46, 47syl221anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( y (
ball `  D )
z )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) )
4941, 48sstrd 3473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P (
ball `  D )
( z  -  ( P D y ) ) )  C_  ( y
( ball `  D )
r ) )
50 oveq2 6207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( z  -  ( P D y ) )  ->  ( P
( ball `  D )
x )  =  ( P ( ball `  D
) ( z  -  ( P D y ) ) ) )
5150sseq1d 3490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( z  -  ( P D y ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r )  <-> 
( P ( ball `  D ) ( z  -  ( P D y ) ) ) 
C_  ( y (
ball `  D )
r ) ) )
5251rspcev 3177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+  /\  ( P ( ball `  D
) ( z  -  ( P D y ) ) )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) )
5332, 49, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) )
5453expr 615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5512, 54sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  z  e.  QQ )  ->  ( ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5655rexlimdva 2945 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  ( E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5711, 56syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X )  ->  (
( y D P )  <  r  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5857expimpd 603 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  (
( P  e.  X  /\  ( y D P )  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
592, 58sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( P  e.  ( y
( ball `  D )
r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) ) )
60 eleq2 2527 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  ( P  e.  B  <->  P  e.  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
61 sseq2 3485 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  (
( P ( ball `  D ) x ) 
C_  B  <->  ( P
( ball `  D )
x )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) ) )
6261rexbidv 2864 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  ( E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B 
<->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
6360, 62imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  (
( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B )  <->  ( P  e.  ( y ( ball `  D ) r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) ) )
6459, 63syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( B  =  ( y
( ball `  D )
r )  ->  ( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B ) ) )
65643expib 1191 . . . 4  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( (
y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  -> 
( B  =  ( y ( ball `  D
) r )  -> 
( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B ) ) ) )
6665rexlimdvv 2951 . . 3  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( E. y  e.  X  E. r  e.  RR*  B  =  ( y ( ball `  D ) r )  ->  ( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  B
) ) )
671, 66sylbid 215 . 2  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( B  e.  ran  ( ball `  D
)  ->  ( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  B
) ) )
68673imp 1182 1  |-  ( ( D  e.  (PsMet `  X )  /\  B  e.  ran  ( ball `  D
)  /\  P  e.  B )  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2799    C_ wss 3435   class class class wbr 4399   ran crn 4948   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   RRcr 9391   RR*cxr 9527    < clt 9528    <_ cle 9529    - cmin 9705   QQcq 11063   RR+crp 11101  PsMetcpsmet 17924   ballcbl 17927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-sup 7801  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-psmet 17933  df-bl 17936
This theorem is referenced by:  blssexps  20132
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