Theorem blssopn 9144

Description: The balls of a metric space are open sets.

Hypothesis

Ref	Expression
opni.1	|- J = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
blssopn	|- (D e. Met -> ran ( ball ` D) C_ J)

Proof of Theorem blssopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . . . 6 |- dom dom D = dom dom D
2	1	rnblssm 9128	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ w e. ran ( ball ` D)) -> w C_ dom dom D)
3		ssid 2634	. . . . . . . 8 |- w C_ w
4		elequ2 1497	. . . . . . . . . 10 |- (u = w -> (v e. u <-> v e. w))
5		sseq1 2637	. . . . . . . . . 10 |- (u = w -> (u C_ w <-> w C_ w))
6	4, 5	anbi12d 690	. . . . . . . . 9 |- (u = w -> ((v e. u /\ u C_ w) <-> (v e. w /\ w C_ w)))
7	6	rcla4ev 2381	. . . . . . . 8 |- ((w e. ran ( ball ` D) /\ (v e. w /\ w C_ w)) -> E.u e. ran ( ball ` D)(v e. u /\ u C_ w))
8	3, 7	mpanr2 776	. . . . . . 7 |- ((w e. ran ( ball ` D) /\ v e. w) -> E.u e. ran ( ball ` D)(v e. u /\ u C_ w))
9	8	r19.21aiva 2176	. . . . . 6 |- (w e. ran ( ball ` D) -> A.v e. w E.u e. ran ( ball ` D)(v e. u /\ u C_ w))
10	9	adantl 424	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ w e. ran ( ball ` D)) -> A.v e. w E.u e. ran ( ball ` D)(v e. u /\ u C_ w))
11	2, 10	jca 310	. . . 4 |- ((D e. Met /\ w e. ran ( ball ` D)) -> (w C_ dom dom D /\ A.v e. w E.u e. ran ( ball ` D)(v e. u /\ u C_ w)))
12	11	ex 402	. . 3 |- (D e. Met -> (w e. ran ( ball ` D) -> (w C_ dom dom D /\ A.v e. w E.u e. ran ( ball ` D)(v e. u /\ u C_ w))))
13		opni.1	. . . 4 |- J = (Open` D)
14	1, 13	isopn 9136	. . 3 |- (D e. Met -> (w e. J <-> (w C_ dom dom D /\ A.v e. w E.u e. ran ( ball ` D)(v e. u /\ u C_ w))))
15	12, 14	sylibrd 221	. 2 |- (D e. Met -> (w e. ran ( ball ` D) -> w e. J))
16	15	ssrdv 2622	1 |- (D e. Met -> ran ( ball ` D) C_ J)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  dom cdm 3986  ran crn 3987  ` cfv 3998  Metcme 9066   ball cbl 9068  Opencopn 9069

This theorem is referenced by:  tgbl 9148  blbas 9149  rnblopn 9151  unirnbl 9152

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-enr 6318  df-nr 6319  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-bl 9072  df-opn 9073

Copyright terms: Public domain