MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blssm Structured version   Unicode version

Theorem blssm 20656
Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blssm  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X )

Proof of Theorem blssm
StepHypRef Expression
1 blf 20645 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( ball `  D ) : ( X  X.  RR* )
--> ~P X )
2 fovrn 6427 . . 3  |-  ( ( ( ball `  D
) : ( X  X.  RR* ) --> ~P X  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  e.  ~P X )
31, 2syl3an1 1261 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  e.  ~P X )
43elpwid 4020 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    e. wcel 1767    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010    X. cxp 4997   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RR*cxr 9623   *Metcxmt 18174   ballcbl 18176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-map 7419  df-xr 9628  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-bl 18185
This theorem is referenced by:  blpnfctr  20674  xmetresbl  20675  imasf1oxms  20727  prdsbl  20729  blcld  20743  blcls  20744  prdsxmslem2  20767  metcnp  20779  cnllycmp  21191  lebnumlem3  21198  lebnum  21199  cfil3i  21443  iscfil3  21447  cfilfcls  21448  iscmet3lem2  21466  equivcfil  21473  caublcls  21482  relcmpcmet  21490  cmpcmet  21491  cncmet  21496  bcthlem2  21499  bcthlem4  21501  dvlip2  22131  dv11cn  22137  pserdvlem2  22557  pserdv  22558  abelthlem3  22562  abelthlem5  22564  dvlog2lem  22761  dvlog2  22762  efopnlem2  22766  efopn  22767  logtayl  22769  efrlim  23027  blscon  28329  sstotbnd2  29873  equivtotbnd  29877  isbnd2  29882  blbnd  29886  totbndbnd  29888  prdstotbnd  29893  prdsbnd2  29894  ismtyima  29902  heiborlem3  29912  heiborlem8  29917
  Copyright terms: Public domain W3C validator