MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blssm Unicode version

Theorem blssm 18401
Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blssm  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X )

Proof of Theorem blssm
StepHypRef Expression
1 blf 18390 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( ball `  D ) : ( X  X.  RR* )
--> ~P X )
2 fovrn 6175 . . 3  |-  ( ( ( ball `  D
) : ( X  X.  RR* ) --> ~P X  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  e.  ~P X )
31, 2syl3an1 1217 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  e.  ~P X )
43elpwid 3768 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    e. wcel 1721    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759    X. cxp 4835   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RR*cxr 9075   * Metcxmt 16641   ballcbl 16643
This theorem is referenced by:  blpnfctr  18419  xmetresbl  18420  imasf1oxms  18472  prdsbl  18474  blcld  18488  blcls  18489  prdsxmslem2  18512  metcnp  18524  cnllycmp  18934  lebnumlem3  18941  lebnum  18942  cfil3i  19175  iscfil3  19179  cfilfcls  19180  iscmet3lem2  19198  equivcfil  19205  caublcls  19214  relcmpcmet  19222  cmpcmet  19223  cncmet  19228  bcthlem2  19231  bcthlem4  19233  dvlip2  19832  dv11cn  19838  pserdvlem2  20297  pserdv  20298  abelthlem3  20302  abelthlem5  20304  dvlog2lem  20496  dvlog2  20497  efopnlem2  20501  efopn  20502  logtayl  20504  efrlim  20761  blscon  24884  sstotbnd2  26373  equivtotbnd  26377  isbnd2  26382  blbnd  26386  totbndbnd  26388  prdstotbnd  26393  prdsbnd2  26394  ismtyima  26402  heiborlem3  26412  heiborlem8  26417
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-map 6979  df-xr 9080  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-bl 16652
  Copyright terms: Public domain W3C validator