MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blssm Structured version   Unicode version

Theorem blssm 19968
Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blssm  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X )

Proof of Theorem blssm
StepHypRef Expression
1 blf 19957 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( ball `  D ) : ( X  X.  RR* )
--> ~P X )
2 fovrn 6228 . . 3  |-  ( ( ( ball `  D
) : ( X  X.  RR* ) --> ~P X  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  e.  ~P X )
31, 2syl3an1 1251 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  e.  ~P X )
43elpwid 3865 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    e. wcel 1756    C_ wss 3323   ~Pcpw 3855    X. cxp 4833   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RR*cxr 9409   *Metcxmt 17776   ballcbl 17778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-map 7208  df-xr 9414  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-bl 17787
This theorem is referenced by:  blpnfctr  19986  xmetresbl  19987  imasf1oxms  20039  prdsbl  20041  blcld  20055  blcls  20056  prdsxmslem2  20079  metcnp  20091  cnllycmp  20503  lebnumlem3  20510  lebnum  20511  cfil3i  20755  iscfil3  20759  cfilfcls  20760  iscmet3lem2  20778  equivcfil  20785  caublcls  20794  relcmpcmet  20802  cmpcmet  20803  cncmet  20808  bcthlem2  20811  bcthlem4  20813  dvlip2  21442  dv11cn  21448  pserdvlem2  21868  pserdv  21869  abelthlem3  21873  abelthlem5  21875  dvlog2lem  22072  dvlog2  22073  efopnlem2  22077  efopn  22078  logtayl  22080  efrlim  22338  blscon  27085  sstotbnd2  28626  equivtotbnd  28630  isbnd2  28635  blbnd  28639  totbndbnd  28641  prdstotbnd  28646  prdsbnd2  28647  ismtyima  28655  heiborlem3  28665  heiborlem8  28670
  Copyright terms: Public domain W3C validator