MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blssm Structured version   Unicode version

Theorem blssm 20124
Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blssm  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X )

Proof of Theorem blssm
StepHypRef Expression
1 blf 20113 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( ball `  D ) : ( X  X.  RR* )
--> ~P X )
2 fovrn 6342 . . 3  |-  ( ( ( ball `  D
) : ( X  X.  RR* ) --> ~P X  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  e.  ~P X )
31, 2syl3an1 1252 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  e.  ~P X )
43elpwid 3977 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    e. wcel 1758    C_ wss 3435   ~Pcpw 3967    X. cxp 4945   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   RR*cxr 9527   *Metcxmt 17925   ballcbl 17927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-map 7325  df-xr 9532  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-bl 17936
This theorem is referenced by:  blpnfctr  20142  xmetresbl  20143  imasf1oxms  20195  prdsbl  20197  blcld  20211  blcls  20212  prdsxmslem2  20235  metcnp  20247  cnllycmp  20659  lebnumlem3  20666  lebnum  20667  cfil3i  20911  iscfil3  20915  cfilfcls  20916  iscmet3lem2  20934  equivcfil  20941  caublcls  20950  relcmpcmet  20958  cmpcmet  20959  cncmet  20964  bcthlem2  20967  bcthlem4  20969  dvlip2  21599  dv11cn  21605  pserdvlem2  22025  pserdv  22026  abelthlem3  22030  abelthlem5  22032  dvlog2lem  22229  dvlog2  22230  efopnlem2  22234  efopn  22235  logtayl  22237  efrlim  22495  blscon  27276  sstotbnd2  28820  equivtotbnd  28824  isbnd2  28829  blbnd  28833  totbndbnd  28835  prdstotbnd  28840  prdsbnd2  28841  ismtyima  28849  heiborlem3  28859  heiborlem8  28864
  Copyright terms: Public domain W3C validator