MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blssm Structured version   Unicode version

Theorem blssm 21213
Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blssm  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X )

Proof of Theorem blssm
StepHypRef Expression
1 blf 21202 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( ball `  D ) : ( X  X.  RR* )
--> ~P X )
2 fovrn 6426 . . 3  |-  ( ( ( ball `  D
) : ( X  X.  RR* ) --> ~P X  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  e.  ~P X )
31, 2syl3an1 1263 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  e.  ~P X )
43elpwid 3965 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    e. wcel 1842    C_ wss 3414   ~Pcpw 3955    X. cxp 4821   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   RR*cxr 9657   *Metcxmt 18723   ballcbl 18725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-map 7459  df-xr 9662  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-bl 18734
This theorem is referenced by:  blpnfctr  21231  xmetresbl  21232  imasf1oxms  21284  prdsbl  21286  blcld  21300  blcls  21301  prdsxmslem2  21324  metcnp  21336  cnllycmp  21748  lebnumlem3  21755  lebnum  21756  cfil3i  22000  iscfil3  22004  cfilfcls  22005  iscmet3lem2  22023  equivcfil  22030  caublcls  22039  relcmpcmet  22047  cmpcmet  22048  cncmet  22053  bcthlem2  22056  bcthlem4  22058  dvlip2  22688  dv11cn  22694  pserdvlem2  23115  pserdv  23116  abelthlem3  23120  abelthlem5  23122  dvlog2lem  23327  dvlog2  23328  efopnlem2  23332  efopn  23333  logtayl  23335  efrlim  23625  blscon  29541  sstotbnd2  31552  equivtotbnd  31556  isbnd2  31561  blbnd  31565  totbndbnd  31567  prdstotbnd  31572  prdsbnd2  31573  ismtyima  31581  heiborlem3  31591  heiborlem8  31596
  Copyright terms: Public domain W3C validator