Theorem blss 9130

Description: Any point P in a ball B can be centered in another ball that is a subset of B.

Assertion

Ref	Expression
blss	|- ((D e. Met /\ B e. ran ( ball ` D) /\ P e. B) -> E.x e. RR (0 < x /\ (P( ball ` D)x) C_ B))

Distinct variable groups:   x,B   x,D   x,P

Proof of Theorem blss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . 4 |- dom dom D = dom dom D
2	1	blrn2 9119	. . 3 |- (D e. Met -> (B e. ran ( ball ` D) <-> E.z e. dom dom DE.w e. RR (0 < w /\ B = {v e. dom dom D | (zDv) < w})))
3		simplrr 455	. . . . . . . . . 10 |- (((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ P e. dom dom D) -> w e. RR)
4	1	metcl 9088	. . . . . . . . . . . 12 |- ((D e. Met /\ z e. dom dom D /\ P e. dom dom D) -> (zDP) e. RR)
5	4	3expa 1067	. . . . . . . . . . 11 |- (((D e. Met /\ z e. dom dom D) /\ P e. dom dom D) -> (zDP) e. RR)
6	5	adantlrr 435	. . . . . . . . . 10 |- (((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ P e. dom dom D) -> (zDP) e. RR)
7		resubcl 6601	. . . . . . . . . 10 |- ((w e. RR /\ (zDP) e. RR) -> (w - (zDP)) e. RR)
8	3, 6, 7	syl11anc 524	. . . . . . . . 9 |- (((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ P e. dom dom D) -> (w - (zDP)) e. RR)
9	8	adantrr 431	. . . . . . . 8 |- (((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) -> (w - (zDP)) e. RR)
10		eleq2 1958	. . . . . . . . . 10 |- (B = {v e. dom dom D | (zDv) < w} -> (P e. B <-> P e. {v e. dom dom D | (zDv) < w}))
11		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . 12 |- (v = P -> (zDv) = (zDP))
12	11	breq1d 3348	. . . . . . . . . . 11 |- (v = P -> ((zDv) < w <-> (zDP) < w))
13	12	elrab 2414	. . . . . . . . . 10 |- (P e. {v e. dom dom D | (zDv) < w} <-> (P e. dom dom D /\ (zDP) < w))
14	10, 13	syl6bb 595	. . . . . . . . 9 |- (B = {v e. dom dom D | (zDv) < w} -> (P e. B <-> (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)))
15	14	biimpa 460	. . . . . . . 8 |- ((B = {v e. dom dom D | (zDv) < w} /\ P e. B) -> (P e. dom dom D /\ (zDP) < w))
16	9, 15	sylan2 500	. . . . . . 7 |- (((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (B = {v e. dom dom D | (zDv) < w} /\ P e. B)) -> (w - (zDP)) e. RR)
17		posdif 6843	. . . . . . . . . . 11 |- (((zDP) e. RR /\ w e. RR) -> ((zDP) < w <-> 0 < (w - (zDP))))
18	6, 3, 17	syl11anc 524	. . . . . . . . . 10 |- (((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ P e. dom dom D) -> ((zDP) < w <-> 0 < (w - (zDP))))
19	18	biimpa 460	. . . . . . . . 9 |- ((((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ P e. dom dom D) /\ (zDP) < w) -> 0 < (w - (zDP)))
20	19	anasss 488	. . . . . . . 8 |- (((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) -> 0 < (w - (zDP)))
21	20, 15	sylan2 500	. . . . . . 7 |- (((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (B = {v e. dom dom D | (zDv) < w} /\ P e. B)) -> 0 < (w - (zDP)))
22		simpl 346	. . . . . . . . . . . 12 |- ((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) -> D e. Met)
23		simpl 346	. . . . . . . . . . . 12 |- ((P e. dom dom D /\ (zDP) < w) -> P e. dom dom D)
24	22, 23	anim12i 360	. . . . . . . . . . 11 |- (((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) -> (D e. Met /\ P e. dom dom D))
25	1	blssm 9127	. . . . . . . . . . 11 |- (((D e. Met /\ P e. dom dom D) /\ ((w - (zDP)) e. RR /\ 0 < (w - (zDP)))) -> (P( ball ` D)(w - (zDP))) C_ dom dom D)
26	24, 9, 20, 25	syl12anc 1098	. . . . . . . . . 10 |- (((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) -> (P( ball ` D)(w - (zDP))) C_ dom dom D)
27	1	elbl 9115	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((D e. Met /\ P e. dom dom D) /\ ((w - (zDP)) e. RR /\ 0 < (w - (zDP)))) -> (v e. (P( ball ` D)(w - (zDP))) <-> (v e. dom dom D /\ (PDv) < (w - (zDP)))))
28	24, 9, 20, 27	syl12anc 1098	. . . . . . . . . . . 12 |- (((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) -> (v e. (P( ball ` D)(w - (zDP))) <-> (v e. dom dom D /\ (PDv) < (w - (zDP)))))
29		simplll 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) /\ (v e. dom dom D /\ (PDv) < (w - (zDP)))) -> D e. Met)
30		simplrl 454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) -> z e. dom dom D)
31	30	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) /\ (v e. dom dom D /\ (PDv) < (w - (zDP)))) -> z e. dom dom D)
32		simprl 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) /\ (v e. dom dom D /\ (PDv) < (w - (zDP)))) -> v e. dom dom D)
33	1	metcl 9088	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((D e. Met /\ z e. dom dom D /\ v e. dom dom D) -> (zDv) e. RR)
34	29, 31, 32, 33	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) /\ (v e. dom dom D /\ (PDv) < (w - (zDP)))) -> (zDv) e. RR)
35		simplrl 454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) /\ (v e. dom dom D /\ (PDv) < (w - (zDP)))) -> P e. dom dom D)
36	29, 31, 35, 4	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) /\ (v e. dom dom D /\ (PDv) < (w - (zDP)))) -> (zDP) e. RR)
37	1	metcl 9088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((D e. Met /\ P e. dom dom D /\ v e. dom dom D) -> (PDv) e. RR)
38	29, 35, 32, 37	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) /\ (v e. dom dom D /\ (PDv) < (w - (zDP)))) -> (PDv) e. RR)
39		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((zDP) e. RR /\ (PDv) e. RR) -> ((zDP) + (PDv)) e. RR)
40	36, 38, 39	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) /\ (v e. dom dom D /\ (PDv) < (w - (zDP)))) -> ((zDP) + (PDv)) e. RR)
41		simprr 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) -> w e. RR)
42	41	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) /\ (v e. dom dom D /\ (PDv) < (w - (zDP)))) -> w e. RR)
43	1	mettri 9094	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ v e. dom dom D /\ P e. dom dom D)) -> (zDv) <_ ((zDP) + (PDv)))
44	29, 31, 32, 35, 43	syl13anc 1102	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) /\ (v e. dom dom D /\ (PDv) < (w - (zDP)))) -> (zDv) <_ ((zDP) + (PDv)))
45	6	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) -> (zDP) e. RR)
46	45	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) /\ v e. dom dom D) -> (zDP) e. RR)
47	37	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((D e. Met /\ P e. dom dom D) /\ v e. dom dom D) -> (PDv) e. RR)
48	47	adantlrr 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((D e. Met /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) /\ v e. dom dom D) -> (PDv) e. RR)
49	48	adantllr 433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) /\ v e. dom dom D) -> (PDv) e. RR)
50	41	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) /\ v e. dom dom D) -> w e. RR)
51		ltaddsub2 6815	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((zDP) e. RR /\ (PDv) e. RR /\ w e. RR) -> (((zDP) + (PDv)) < w <-> (PDv) < (w - (zDP))))
52	46, 49, 50, 51	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) /\ v e. dom dom D) -> (((zDP) + (PDv)) < w <-> (PDv) < (w - (zDP))))
53	52	biimpar 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) /\ v e. dom dom D) /\ (PDv) < (w - (zDP))) -> ((zDP) + (PDv)) < w)
54	53	anasss 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) /\ (v e. dom dom D /\ (PDv) < (w - (zDP)))) -> ((zDP) + (PDv)) < w)
55	34, 40, 42, 44, 54	lelttrd 6697	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) /\ (v e. dom dom D /\ (PDv) < (w - (zDP)))) -> (zDv) < w)
56	55	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- (((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) -> ((v e. dom dom D /\ (PDv) < (w - (zDP))) -> (zDv) < w))
57	28, 56	sylbid 220	. . . . . . . . . . 11 |- (((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) -> (v e. (P( ball ` D)(w - (zDP))) -> (zDv) < w))
58	57	imp 377	. . . . . . . . . 10 |- ((((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) /\ v e. (P( ball ` D)(w - (zDP)))) -> (zDv) < w)
59	26, 58	ssrabdv 2686	. . . . . . . . 9 |- (((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (P e. dom dom D /\ (zDP) < w)) -> (P( ball ` D)(w - (zDP))) C_ {v e. dom dom D | (zDv) < w})
60	59, 15	sylan2 500	. . . . . . . 8 |- (((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (B = {v e. dom dom D | (zDv) < w} /\ P e. B)) -> (P( ball ` D)(w - (zDP))) C_ {v e. dom dom D | (zDv) < w})
61		simprl 450	. . . . . . . 8 |- (((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (B = {v e. dom dom D | (zDv) < w} /\ P e. B)) -> B = {v e. dom dom D | (zDv) < w})
62	60, 61	sseqtr4d 2654	. . . . . . 7 |- (((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (B = {v e. dom dom D | (zDv) < w} /\ P e. B)) -> (P( ball ` D)(w - (zDP))) C_ B)
63		breq2 3342	. . . . . . . . 9 |- (x = (w - (zDP)) -> (0 < x <-> 0 < (w - (zDP))))
64		opreq2 4890	. . . . . . . . . 10 |- (x = (w - (zDP)) -> (P( ball ` D)x) = (P( ball ` D)(w - (zDP))))
65	64	sseq1d 2644	. . . . . . . . 9 |- (x = (w - (zDP)) -> ((P( ball ` D)x) C_ B <-> (P( ball ` D)(w - (zDP))) C_ B))
66	63, 65	anbi12d 690	. . . . . . . 8 |- (x = (w - (zDP)) -> ((0 < x /\ (P( ball ` D)x) C_ B) <-> (0 < (w - (zDP)) /\ (P( ball ` D)(w - (zDP))) C_ B)))
67	66	rcla4ev 2381	. . . . . . 7 |- (((w - (zDP)) e. RR /\ (0 < (w - (zDP)) /\ (P( ball ` D)(w - (zDP))) C_ B)) -> E.x e. RR (0 < x /\ (P( ball ` D)x) C_ B))
68	16, 21, 62, 67	syl12anc 1098	. . . . . 6 |- (((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ (B = {v e. dom dom D | (zDv) < w} /\ P e. B)) -> E.x e. RR (0 < x /\ (P( ball ` D)x) C_ B))
69	68	adantrll 436	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ (z e. dom dom D /\ w e. RR)) /\ ((0 < w /\ B = {v e. dom dom D | (zDv) < w}) /\ P e. B)) -> E.x e. RR (0 < x /\ (P( ball ` D)x) C_ B))
70	69	exp43 415	. . . 4 |- (D e. Met -> ((z e. dom dom D /\ w e. RR) -> ((0 < w /\ B = {v e. dom dom D | (zDv) < w}) -> (P e. B -> E.x e. RR (0 < x /\ (P( ball ` D)x) C_ B)))))
71	70	r19.23advv 2218	. . 3 |- (D e. Met -> (E.z e. dom dom DE.w e. RR (0 < w /\ B = {v e. dom dom D | (zDv) < w}) -> (P e. B -> E.x e. RR (0 < x /\ (P( ball ` D)x) C_ B))))
72	2, 71	sylbid 220	. 2 |- (D e. Met -> (B e. ran ( ball ` D) -> (P e. B -> E.x e. RR (0 < x /\ (P( ball ` D)x) C_ B))))
73	72	3imp 1061	1 |- ((D e. Met /\ B e. ran ( ball ` D) /\ P e. B) -> E.x e. RR (0 < x /\ (P( ball ` D)x) C_ B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106  {crab 2108   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  dom cdm 3986  ran crn 3987  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   - cmin 6445   <_ cle 6448   < clt 6653  Metcme 9066   ball cbl 9068

This theorem is referenced by:  blssex 9131  opnin 9146

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-met 9070  df-bl 9072

Copyright terms: Public domain