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Theorem blres 20697
Description: A ball in a restricted metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
blres.2  |-  C  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
blres  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P (
ball `  C ) R )  =  ( ( P ( ball `  D ) R )  i^i  Y ) )

Proof of Theorem blres
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3719 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
21sseli 3500 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( X  i^i  Y )  ->  P  e.  Y )
3 blres.2 . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )
43oveqi 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( P C x )  =  ( P ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) x )
5 ovres 6426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Y  /\  x  e.  Y )  ->  ( P ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) x )  =  ( P D x ) )
64, 5syl5eq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Y  /\  x  e.  Y )  ->  ( P C x )  =  ( P D x ) )
72, 6sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  ( P C x )  =  ( P D x ) )
87breq1d 4457 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( P C x )  <  R  <->  ( P D x )  <  R ) )
98anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( x  e.  X  /\  ( P C x )  < 
R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
109pm5.32da 641 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
x  e.  Y  /\  ( x  e.  X  /\  ( P C x )  <  R ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) ) )
11103ad2ant2 1018 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( x  e.  Y  /\  (
x  e.  X  /\  ( P C x )  <  R ) )  <-> 
( x  e.  Y  /\  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  <  R ) ) ) )
12 elin 3687 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  Y ) )
13 ancom 450 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  Y )  <->  ( x  e.  Y  /\  x  e.  X )
)
1412, 13bitri 249 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( x  e.  Y  /\  x  e.  X ) )
1514anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( P C x )  <  R )  <->  ( (
x  e.  Y  /\  x  e.  X )  /\  ( P C x )  <  R ) )
16 anass 649 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  Y  /\  x  e.  X
)  /\  ( P C x )  < 
R )  <->  ( x  e.  Y  /\  (
x  e.  X  /\  ( P C x )  <  R ) ) )
1715, 16bitri 249 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( P C x )  <  R )  <->  ( x  e.  Y  /\  (
x  e.  X  /\  ( P C x )  <  R ) ) )
18 ancom 450 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  ( P D x )  <  R )  /\  x  e.  Y
)  <->  ( x  e.  Y  /\  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
1911, 17, 183bitr4g 288 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( x  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( P C x )  < 
R )  <->  ( (
x  e.  X  /\  ( P D x )  <  R )  /\  x  e.  Y )
) )
20 xmetres 20630 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
213, 20syl5eqel 2559 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  C  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
22 elbl 20654 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  C ) R )  <-> 
( x  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( P C x )  <  R
) ) )
2321, 22syl3an1 1261 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  C ) R )  <-> 
( x  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( P C x )  <  R
) ) )
24 elin 3687 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i 
Y )  <->  ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  /\  x  e.  Y
) )
25 inss1 3718 . . . . . . 7  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
2625sseli 3500 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( X  i^i  Y )  ->  P  e.  X )
27 elbl 20654 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
2826, 27syl3an2 1262 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( P D x )  <  R ) ) )
2928anbi1d 704 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( x  e.  ( P (
ball `  D ) R )  /\  x  e.  Y )  <->  ( (
x  e.  X  /\  ( P D x )  <  R )  /\  x  e.  Y )
) )
3024, 29syl5bb 257 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( ( P (
ball `  D ) R )  i^i  Y
)  <->  ( ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R )  /\  x  e.  Y ) ) )
3119, 23, 303bitr4d 285 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  C ) R )  <-> 
x  e.  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i 
Y ) ) )
3231eqrdv 2464 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P (
ball `  C ) R )  =  ( ( P ( ball `  D ) R )  i^i  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    i^i cin 3475   class class class wbr 4447    X. cxp 4997    |` cres 5001   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RR*cxr 9627    < clt 9628   *Metcxmt 18202   ballcbl 18204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-map 7422  df-xr 9632  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-bl 18213
This theorem is referenced by:  metrest  20790  xrsmopn  21080  lebnumii  21229  blssp  29880  sstotbnd2  29901  blbnd  29914  ssbnd  29915  iooabslt  31124
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