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Theorem blres 20028
Description: A ball in a restricted metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
blres.2  |-  C  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
blres  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P (
ball `  C ) R )  =  ( ( P ( ball `  D ) R )  i^i  Y ) )

Proof of Theorem blres
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3592 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
21sseli 3373 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( X  i^i  Y )  ->  P  e.  Y )
3 blres.2 . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )
43oveqi 6125 . . . . . . . . . 10  |-  ( P C x )  =  ( P ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) x )
5 ovres 6251 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Y  /\  x  e.  Y )  ->  ( P ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) x )  =  ( P D x ) )
64, 5syl5eq 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  Y  /\  x  e.  Y )  ->  ( P C x )  =  ( P D x ) )
72, 6sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  ( P C x )  =  ( P D x ) )
87breq1d 4323 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( P C x )  <  R  <->  ( P D x )  <  R ) )
98anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( x  e.  X  /\  ( P C x )  < 
R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
109pm5.32da 641 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
x  e.  Y  /\  ( x  e.  X  /\  ( P C x )  <  R ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) ) )
11103ad2ant2 1010 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( x  e.  Y  /\  (
x  e.  X  /\  ( P C x )  <  R ) )  <-> 
( x  e.  Y  /\  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  <  R ) ) ) )
12 elin 3560 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  Y ) )
13 ancom 450 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  Y )  <->  ( x  e.  Y  /\  x  e.  X )
)
1412, 13bitri 249 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( x  e.  Y  /\  x  e.  X ) )
1514anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( P C x )  <  R )  <->  ( (
x  e.  Y  /\  x  e.  X )  /\  ( P C x )  <  R ) )
16 anass 649 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  Y  /\  x  e.  X
)  /\  ( P C x )  < 
R )  <->  ( x  e.  Y  /\  (
x  e.  X  /\  ( P C x )  <  R ) ) )
1715, 16bitri 249 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( P C x )  <  R )  <->  ( x  e.  Y  /\  (
x  e.  X  /\  ( P C x )  <  R ) ) )
18 ancom 450 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  ( P D x )  <  R )  /\  x  e.  Y
)  <->  ( x  e.  Y  /\  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
1911, 17, 183bitr4g 288 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( x  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( P C x )  < 
R )  <->  ( (
x  e.  X  /\  ( P D x )  <  R )  /\  x  e.  Y )
) )
20 xmetres 19961 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
213, 20syl5eqel 2527 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  C  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) ) )
22 elbl 19985 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  ( X  i^i  Y ) )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  C ) R )  <-> 
( x  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( P C x )  <  R
) ) )
2321, 22syl3an1 1251 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  C ) R )  <-> 
( x  e.  ( X  i^i  Y )  /\  ( P C x )  <  R
) ) )
24 elin 3560 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i 
Y )  <->  ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  /\  x  e.  Y
) )
25 inss1 3591 . . . . . . 7  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
2625sseli 3373 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( X  i^i  Y )  ->  P  e.  X )
27 elbl 19985 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
2826, 27syl3an2 1252 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( P D x )  <  R ) ) )
2928anbi1d 704 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( x  e.  ( P (
ball `  D ) R )  /\  x  e.  Y )  <->  ( (
x  e.  X  /\  ( P D x )  <  R )  /\  x  e.  Y )
) )
3024, 29syl5bb 257 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( ( P (
ball `  D ) R )  i^i  Y
)  <->  ( ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R )  /\  x  e.  Y ) ) )
3119, 23, 303bitr4d 285 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  C ) R )  <-> 
x  e.  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i 
Y ) ) )
3231eqrdv 2441 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  ( X  i^i  Y )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P (
ball `  C ) R )  =  ( ( P ( ball `  D ) R )  i^i  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    i^i cin 3348   class class class wbr 4313    X. cxp 4859    |` cres 4863   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   RR*cxr 9438    < clt 9439   *Metcxmt 17823   ballcbl 17825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-map 7237  df-xr 9443  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-bl 17834
This theorem is referenced by:  metrest  20121  xrsmopn  20411  lebnumii  20560  blssp  28678  sstotbnd2  28699  blbnd  28712  ssbnd  28713
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