MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blopn Structured version   Unicode version

Theorem blopn 20078
Description: A ball of a metric space is an open set. (Contributed by NM, 9-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
blopn  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  e.  J )

Proof of Theorem blopn
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21blssopn 20073 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ran  ( ball `  D )  C_  J )
323ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ran  ( ball `  D
)  C_  J )
4 blelrn 19995 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  e.  ran  ( ball `  D ) )
53, 4sseldd 3360 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  e.  J )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3331   ran crn 4844   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   RR*cxr 9420   *Metcxmt 17804   ballcbl 17806   MetOpencmopn 17809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-er 7104  df-map 7219  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-sup 7694  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-topgen 14385  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-bases 18508
This theorem is referenced by:  neibl  20079  blnei  20080  methaus  20098  met1stc  20099  met2ndci  20100  metrest  20102  prdsxmslem2  20107  metcnp3  20118  zdis  20396  metdseq0  20433  metnrmlem2  20439  cnheibor  20530  cnllycmp  20531  nmhmcn  20678  lmmbr  20772  cfilfcls  20788  iscmet3lem2  20806  flimcfil  20827  bcthlem5  20842  ellimc3  21357  dvlipcn  21469  dvlip2  21470  psercn  21894  pserdvlem2  21896  dvlog2  22101  efopnlem2  22105  logtayl  22108  xrlimcnp  22365  efrlim  22366  lgamucov  27027  cnllyscon  27137  heicant  28429  ismtyhmeolem  28706  heibor1lem  28711  heibor1  28712
  Copyright terms: Public domain W3C validator