MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blof Structured version   Unicode version

Theorem blof 26114
Description: A bounded operator is an operator. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blof.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
blof.2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
blof.5  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
Assertion
Ref Expression
blof  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  T : X --> Y )

Proof of Theorem blof
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3  |-  ( U 
LnOp  W )  =  ( U  LnOp  W )
2 blof.5 . . 3  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
31, 2bloln 26113 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  T  e.  ( U  LnOp  W
) )
4 blof.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
5 blof.2 . . 3  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
64, 5, 1lnof 26084 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  ( U  LnOp  W ) )  ->  T : X
--> Y )
73, 6syld3an3 1275 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  T : X --> Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   NrmCVeccnv 25891   BaseSetcba 25893    LnOp clno 26069    BLnOp cblo 26071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-map 7459  df-lno 26073  df-blo 26075
This theorem is referenced by:  nmblore  26115  nmblolbii  26128  blometi  26132  ubthlem3  26202  htthlem  26248
  Copyright terms: Public domain W3C validator