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Theorem blocnilem 24216
Description: Lemma for blocni 24217 and lnocni 24218. If a linear operator is continuous at any point, it is bounded. (Contributed by NM, 17-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blocni.8  |-  C  =  ( IndMet `  U )
blocni.d  |-  D  =  ( IndMet `  W )
blocni.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
blocni.k  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
blocni.4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
blocni.5  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
blocni.u  |-  U  e.  NrmCVec
blocni.w  |-  W  e.  NrmCVec
blocni.l  |-  T  e.  L
blocnilem.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
Assertion
Ref Expression
blocnilem  |-  ( ( P  e.  X  /\  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  T  e.  B )

Proof of Theorem blocnilem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blocni.u . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
2 blocnilem.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 blocni.8 . . . . . . 7  |-  C  =  ( IndMet `  U )
42, 3imsxmet 24095 . . . . . 6  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( *Met `  X
) )
51, 4ax-mp 5 . . . . 5  |-  C  e.  ( *Met `  X )
6 blocni.w . . . . . 6  |-  W  e.  NrmCVec
7 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
8 blocni.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( IndMet `  W )
97, 8imsxmet 24095 . . . . . 6  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( *Met `  ( BaseSet
`  W ) ) )
106, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  D  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  W )
)
11 1rp 11007 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
12 blocni.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
13 blocni.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
1412, 13metcnpi3 20133 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  ( BaseSet
`  W ) ) )  /\  ( T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  1  e.  RR+ ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  X  ( (
x C P )  <_  y  ->  (
( T `  x
) D ( T `
 P ) )  <_  1 ) )
1511, 14mpanr2 684 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  ( BaseSet
`  W ) ) )  /\  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 ) )
165, 10, 15mpanl12 682 . . . 4  |-  ( T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 ) )
17 rpreccl 11026 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  y )  e.  RR+ )
1817rpred 11039 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  y )  e.  RR )
1918ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_  y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_  1 ) )  ->  ( 1  /  y )  e.  RR )
20 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
21 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
222, 20, 21, 3imsdval 24089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  (
x C P )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) P ) ) )
231, 22mp3an1 1301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( x C P )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )
2423breq1d 4314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( x C P )  <_  y  <->  ( ( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y
) )
25 blocni.l . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  T  e.  L
26 blocni.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
272, 7, 26lnof 24167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : X --> ( BaseSet `  W
) )
281, 6, 25, 27mp3an 1314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T : X
--> ( BaseSet `  W )
2928ffvelrni 5854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  X  ->  ( T `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
3028ffvelrni 5854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  X  ->  ( T `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)
31 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -v
`  W )  =  ( -v `  W
)
32 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( normCV `  W )  =  (
normCV
`  W )
337, 31, 32, 8imsdval 24089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  ( BaseSet `  W )  /\  ( T `  P
)  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  =  ( (
normCV
`  W ) `  ( ( T `  x ) ( -v
`  W ) ( T `  P ) ) ) )
346, 33mp3an1 1301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ( BaseSet `  W )  /\  ( T `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  =  ( ( normCV `  W
) `  ( ( T `  x )
( -v `  W
) ( T `  P ) ) ) )
3529, 30, 34syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  =  ( (
normCV
`  W ) `  ( ( T `  x ) ( -v
`  W ) ( T `  P ) ) ) )
361, 6, 253pm3.2i 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )
372, 20, 31, 26lnosub 24171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  (
x  e.  X  /\  P  e.  X )
)  ->  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  =  ( ( T `  x
) ( -v `  W ) ( T `
 P ) ) )
3836, 37mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( T `  (
x ( -v `  U ) P ) )  =  ( ( T `  x ) ( -v `  W
) ( T `  P ) ) )
3938fveq2d 5707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )  =  ( ( normCV `  W
) `  ( ( T `  x )
( -v `  W
) ( T `  P ) ) ) )
4035, 39eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  =  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) ) )
4140breq1d 4314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( ( T `
 x ) D ( T `  P
) )  <_  1  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )
4224, 41imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 )  <->  ( (
( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )  <_ 
1 ) ) )
4342ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 )  <->  ( (
( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )  <_ 
1 ) ) )
4443adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( x C P )  <_  y  ->  ( ( T `  x
) D ( T `
 P ) )  <_  1 )  <->  ( (
( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )  <_ 
1 ) ) )
4544ralbidva 2743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 )  <->  A. x  e.  X  ( (
( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )  <_ 
1 ) ) )
46 fveq2 5703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( T `  z )  =  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )
4746fveq2d 5707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  =  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) ) )
48 fveq2 5703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( ( normCV `  U ) `  z
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( 0vec `  U )
) )
4948oveq2d 6119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  =  ( ( 1  /  y
)  x.  ( (
normCV
`  U ) `  ( 0vec `  U )
) ) )
5047, 49breq12d 4317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( (
( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  <_  ( ( 1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U
) `  ( 0vec `  U ) ) ) ) )
511a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  U  e.  NrmCVec )
52 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  P  e.  X )
53 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  -> 
y  e.  RR+ )
542, 21nvcl 24059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR )
551, 54mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  X  ->  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR )
57 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
582, 57, 21nvgt0 24075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X )  ->  (
z  =/=  ( 0vec `  U )  <->  0  <  ( ( normCV `  U ) `  z ) ) )
591, 58mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  X  ->  (
z  =/=  ( 0vec `  U )  <->  0  <  ( ( normCV `  U ) `  z ) ) )
6059biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  0  <  ( ( normCV `  U
) `  z )
)
6156, 60elrpd 11037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR+ )
62 rpdivcl 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR+ )  ->  ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
)  e.  RR+ )
6353, 61, 62syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  e.  RR+ )
6463rpcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  e.  CC )
65 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  z  e.  X )
66 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
672, 66nvscl 24018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  e.  CC  /\  z  e.  X )  ->  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z )  e.  X )
6851, 64, 65, 67syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z )  e.  X )
69 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
702, 69, 20nvpncan2 24048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X  /\  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z )  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( ( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P )  =  ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )
7151, 52, 68, 70syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P )  =  ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )
7271fveq2d 5707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( ( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) )
7363rprege0d 11046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ) )
742, 66, 21nvsge0 24063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) )  =  ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  x.  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )
7551, 73, 65, 74syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) )  =  ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  x.  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )
76 rpcn 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  CC )
7776ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  y  e.  CC )
7855ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  z
)  e.  RR )
7978recnd 9424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  z
)  e.  CC )
802, 57, 21nvz 24069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  z )  =  0  <->  z  =  ( 0vec `  U )
) )
811, 80mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  X  ->  (
( ( normCV `  U
) `  z )  =  0  <->  z  =  ( 0vec `  U )
) )
8281necon3bid 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  X  ->  (
( ( normCV `  U
) `  z )  =/=  0  <->  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )
8382biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( normCV `  U ) `  z )  =/=  0
)
8483adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  z
)  =/=  0 )
8577, 79, 84divcan1d 10120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
)  =  y )
8672, 75, 853eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( ( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) )  =  y )
87 rpre 11009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
8887leidd 9918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  <_ 
y )
8988ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  y  <_  y )
9086, 89eqbrtrd 4324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( ( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) )  <_  y )
912, 69nvgcl 24010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X  /\  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z )  e.  X )  ->  ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) )  e.  X )
9251, 52, 68, 91syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( P
( +v `  U
) ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ( .sOLD `  U ) z ) )  e.  X )
93 oveq1 6110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )  ->  ( x
( -v `  U
) P )  =  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) )
9493fveq2d 5707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) P ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) ) )
9594breq1d 4314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )  ->  ( (
( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y  <->  ( ( normCV `  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) )  <_  y )
)
9693fveq2d 5707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )  ->  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  =  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )
9796fveq2d 5707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( x
( -v `  U
) P ) ) )  =  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) ) )
9897breq1d 4314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )  ->  ( (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )
9995, 98imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )  ->  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  <-> 
( ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( ( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) ) )
10099rspcv 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) )  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) ) )
10192, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) ) )
10290, 101mpid 41 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )
10328ffvelrni 5854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  X  ->  ( T `  z )  e.  ( BaseSet `  W )
)
1047, 32nvcl 24059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( T `  z )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  e.  RR )
1056, 103, 104sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  X  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  e.  RR )
106105ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  e.  RR )
107 1red 9413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  1  e.  RR )
108106, 107, 63lemuldiv2d 11085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) )  x.  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  z ) ) )  <_  1  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( 1  /  ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ) ) )
10971fveq2d 5707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( T `
 ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ( .sOLD `  U ) z ) ) )
110 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( .sOLD `  W )  =  ( .sOLD `  W )
1112, 66, 110, 26lnomul 24172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) )  e.  CC  /\  z  e.  X ) )  -> 
( T `  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) )  =  ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ( .sOLD `  W ) ( T `  z
) ) )
11236, 111mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) )  e.  CC  /\  z  e.  X )  ->  ( T `  ( (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) )  =  ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ( .sOLD `  W ) ( T `  z
) ) )
11364, 65, 112syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( T `  ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )  =  ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  W
) ( T `  z ) ) )
114109, 113eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  W
) ( T `  z ) ) )
115114fveq2d 5707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  =  ( (
normCV
`  W ) `  ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  W ) ( T `
 z ) ) ) )
1166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  W  e.  NrmCVec )
117103ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( T `  z )  e.  (
BaseSet `  W ) )
1187, 110, 32nvsge0 24063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )  /\  ( T `  z )  e.  (
BaseSet `  W ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  W
) ( T `  z ) ) )  =  ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  x.  (
( normCV `  W ) `  ( T `  z ) ) ) )
119116, 73, 117, 118syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  W
) ( T `  z ) ) )  =  ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  x.  (
( normCV `  W ) `  ( T `  z ) ) ) )
120115, 119eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  =  ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  x.  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  z ) ) ) )
121120breq1d 4314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1  <->  ( (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  x.  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  z ) ) )  <_  1 ) )
122 rpcnne0 11020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
123 rpcnne0 11020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( normCV `  U ) `  z )  e.  RR+  ->  ( ( ( normCV `  U ) `  z
)  e.  CC  /\  ( ( normCV `  U
) `  z )  =/=  0 ) )
124 recdiv 10049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  ( ( (
normCV
`  U ) `  z )  e.  CC  /\  ( ( normCV `  U
) `  z )  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) )  =  ( ( (
normCV
`  U ) `  z )  /  y
) )
125122, 123, 124syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR+ )  ->  ( 1  / 
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )  =  ( ( (
normCV
`  U ) `  z )  /  y
) )
12653, 61, 125syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( 1  /  ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) )  =  ( ( ( normCV `  U
) `  z )  /  y ) )
127 rpne0 11018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  =/=  0 )
128127ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  y  =/=  0 )
12979, 77, 128divrec2d 10123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
( normCV `  U ) `  z )  /  y
)  =  ( ( 1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) )
130126, 129eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  =  ( 1  /  ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
131130breq2d 4316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( 1  /  ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ) ) )
132108, 121, 1313bitr4d 285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
133102, 132sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
134133anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  X )  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
135134imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  X )  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  /\  A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) )
136135an32s 802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  X )  /\  A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) )
137 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
1382, 7, 57, 137, 26lno0 24168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  ( T `  ( 0vec `  U ) )  =  ( 0vec `  W
) )
1391, 6, 25, 138mp3an 1314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T `
 ( 0vec `  U
) )  =  (
0vec `  W )
140139fveq2i 5706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  =  ( ( normCV `  W ) `  ( 0vec `  W ) )
141137, 32nvz0 24068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( 0vec `  W ) )  =  0 )
1426, 141ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
normCV
`  W ) `  ( 0vec `  W )
)  =  0
143140, 142eqtri 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  =  0
144 0le0 10423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  0
145143, 144eqbrtri 4323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  <_  0
14617rpcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  y )  e.  CC )
14757, 21nvz0 24068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( ( normCV `  U ) `  ( 0vec `  U ) )  =  0 )
1481, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
normCV
`  U ) `  ( 0vec `  U )
)  =  0
149148oveq2i 6114 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  ( 0vec `  U ) ) )  =  ( ( 1  /  y )  x.  0 )
150 mul01 9560 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  y )  e.  CC  ->  (
( 1  /  y
)  x.  0 )  =  0 )
151149, 150syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  y )  e.  CC  ->  (
( 1  /  y
)  x.  ( (
normCV
`  U ) `  ( 0vec `  U )
) )  =  0 )
152146, 151syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( ( 1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  ( 0vec `  U ) ) )  =  0 )
153145, 152syl5breqr 4340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  <_  ( ( 1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U
) `  ( 0vec `  U ) ) ) )
154153ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  X )  /\  A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  <_  ( ( 1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U
) `  ( 0vec `  U ) ) ) )
15550, 136, 154pm2.61ne 2698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  X )  /\  A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) )
156155ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  X
)  ->  ( A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
157156ralrimdva 2818 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )  <_ 
1 )  ->  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
15845, 157sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 )  ->  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
159158imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_  y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_  1 ) )  ->  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) )
160 oveq1 6110 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
x  x.  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  =  ( ( 1  / 
y )  x.  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )
161160breq2d 4316 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
( ( normCV `  W
) `  ( T `  z ) )  <_ 
( x  x.  (
( normCV `  U ) `  z ) )  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
162161ralbidv 2747 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  z ) )  <_ 
( x  x.  (
( normCV `  U ) `  z ) )  <->  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
163162rspcev 3085 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  y
)  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) )
16419, 159, 163syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_  y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_  1 ) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) )
165164ex 434 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) ) )
166165rexlimdva 2853 . . . 4  |-  ( P  e.  X  ->  ( E. y  e.  RR+  A. x  e.  X  ( (
x C P )  <_  y  ->  (
( T `  x
) D ( T `
 P ) )  <_  1 )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) ) )
16716, 166syl5 32 . . 3  |-  ( P  e.  X  ->  ( T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) ) )
168167imp 429 . 2  |-  ( ( P  e.  X  /\  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) )
169 blocni.5 . . . 4  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
1702, 21, 32, 26, 169, 1, 6isblo3i 24213 . . 3  |-  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) ) )
17125, 170mpbiran 909 . 2  |-  ( T  e.  B  <->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) )
172168, 171sylibr 212 1  |-  ( ( P  e.  X  /\  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  T  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   A.wral 2727   E.wrex 2728   class class class wbr 4304   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295    x. cmul 9299    < clt 9430    <_ cle 9431    / cdiv 10005   RR+crp 11003   *Metcxmt 17813   MetOpencmopn 17818    CnP ccnp 18841   NrmCVeccnv 23974   +vcpv 23975   BaseSetcba 23976   .sOLDcns 23977   0veccn0v 23978   -vcnsb 23979   normCVcnmcv 23980   IndMetcims 23981    LnOp clno 24152    BLnOp cblo 24154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373  ax-mulf 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-seq 11819  df-exp 11878  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-topgen 14394  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-cnp 18844  df-grpo 23690  df-gid 23691  df-ginv 23692  df-gdiv 23693  df-ablo 23781  df-vc 23936  df-nv 23982  df-va 23985  df-ba 23986  df-sm 23987  df-0v 23988  df-vs 23989  df-nmcv 23990  df-ims 23991  df-lno 24156  df-nmoo 24157  df-blo 24158  df-0o 24159
This theorem is referenced by:  blocni  24217  lnocni  24218
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