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Theorem blocnilem 26526
Description: Lemma for blocni 26527 and lnocni 26528. If a linear operator is continuous at any point, it is bounded. (Contributed by NM, 17-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blocni.8  |-  C  =  ( IndMet `  U )
blocni.d  |-  D  =  ( IndMet `  W )
blocni.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
blocni.k  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
blocni.4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
blocni.5  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
blocni.u  |-  U  e.  NrmCVec
blocni.w  |-  W  e.  NrmCVec
blocni.l  |-  T  e.  L
blocnilem.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
Assertion
Ref Expression
blocnilem  |-  ( ( P  e.  X  /\  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  T  e.  B )

Proof of Theorem blocnilem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blocni.u . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
2 blocnilem.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 blocni.8 . . . . . . 7  |-  C  =  ( IndMet `  U )
42, 3imsxmet 26405 . . . . . 6  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( *Met `  X
) )
51, 4ax-mp 5 . . . . 5  |-  C  e.  ( *Met `  X )
6 blocni.w . . . . . 6  |-  W  e.  NrmCVec
7 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
8 blocni.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( IndMet `  W )
97, 8imsxmet 26405 . . . . . 6  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( *Met `  ( BaseSet
`  W ) ) )
106, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  D  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  W )
)
11 1rp 11329 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
12 blocni.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
13 blocni.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
1412, 13metcnpi3 21639 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  ( BaseSet
`  W ) ) )  /\  ( T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  1  e.  RR+ ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  X  ( (
x C P )  <_  y  ->  (
( T `  x
) D ( T `
 P ) )  <_  1 ) )
1511, 14mpanr2 698 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  ( BaseSet
`  W ) ) )  /\  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 ) )
165, 10, 15mpanl12 696 . . . 4  |-  ( T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 ) )
17 rpreccl 11349 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  y )  e.  RR+ )
1817rpred 11364 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  y )  e.  RR )
1918ad2antlr 741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_  y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_  1 ) )  ->  ( 1  /  y )  e.  RR )
20 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
21 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
222, 20, 21, 3imsdval 26399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  (
x C P )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) P ) ) )
231, 22mp3an1 1377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( x C P )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )
2423breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( x C P )  <_  y  <->  ( ( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y
) )
25 blocni.l . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  T  e.  L
26 blocni.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
272, 7, 26lnof 26477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : X --> ( BaseSet `  W
) )
281, 6, 25, 27mp3an 1390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T : X
--> ( BaseSet `  W )
2928ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  X  ->  ( T `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
3028ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  X  ->  ( T `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)
31 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -v
`  W )  =  ( -v `  W
)
32 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( normCV `  W )  =  (
normCV
`  W )
337, 31, 32, 8imsdval 26399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  ( BaseSet `  W )  /\  ( T `  P
)  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  =  ( (
normCV
`  W ) `  ( ( T `  x ) ( -v
`  W ) ( T `  P ) ) ) )
346, 33mp3an1 1377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ( BaseSet `  W )  /\  ( T `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  =  ( ( normCV `  W
) `  ( ( T `  x )
( -v `  W
) ( T `  P ) ) ) )
3529, 30, 34syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  =  ( (
normCV
`  W ) `  ( ( T `  x ) ( -v
`  W ) ( T `  P ) ) ) )
361, 6, 253pm3.2i 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )
372, 20, 31, 26lnosub 26481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  (
x  e.  X  /\  P  e.  X )
)  ->  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  =  ( ( T `  x
) ( -v `  W ) ( T `
 P ) ) )
3836, 37mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( T `  (
x ( -v `  U ) P ) )  =  ( ( T `  x ) ( -v `  W
) ( T `  P ) ) )
3938fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )  =  ( ( normCV `  W
) `  ( ( T `  x )
( -v `  W
) ( T `  P ) ) ) )
4035, 39eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  =  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) ) )
4140breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( ( T `
 x ) D ( T `  P
) )  <_  1  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )
4224, 41imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 )  <->  ( (
( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )  <_ 
1 ) ) )
4342ancoms 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 )  <->  ( (
( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )  <_ 
1 ) ) )
4443adantlr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( x C P )  <_  y  ->  ( ( T `  x
) D ( T `
 P ) )  <_  1 )  <->  ( (
( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )  <_ 
1 ) ) )
4544ralbidva 2828 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 )  <->  A. x  e.  X  ( (
( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )  <_ 
1 ) ) )
46 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( T `  z )  =  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )
4746fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  =  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) ) )
48 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( ( normCV `  U ) `  z
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( 0vec `  U )
) )
4948oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  =  ( ( 1  /  y
)  x.  ( (
normCV
`  U ) `  ( 0vec `  U )
) ) )
5047, 49breq12d 4408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( (
( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  <_  ( ( 1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U
) `  ( 0vec `  U ) ) ) ) )
511a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  U  e.  NrmCVec )
52 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  P  e.  X )
53 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  -> 
y  e.  RR+ )
542, 21nvcl 26369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR )
551, 54mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  X  ->  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR )
5655adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR )
57 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
582, 57, 21nvgt0 26385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X )  ->  (
z  =/=  ( 0vec `  U )  <->  0  <  ( ( normCV `  U ) `  z ) ) )
591, 58mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  X  ->  (
z  =/=  ( 0vec `  U )  <->  0  <  ( ( normCV `  U ) `  z ) ) )
6059biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  0  <  ( ( normCV `  U
) `  z )
)
6156, 60elrpd 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR+ )
62 rpdivcl 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR+ )  ->  ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
)  e.  RR+ )
6353, 61, 62syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  e.  RR+ )
6463rpcnd 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  e.  CC )
65 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  z  e.  X )
66 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
672, 66nvscl 26328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  e.  CC  /\  z  e.  X )  ->  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z )  e.  X )
6851, 64, 65, 67syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z )  e.  X )
69 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
702, 69, 20nvpncan2 26358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X  /\  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z )  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( ( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P )  =  ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )
7151, 52, 68, 70syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P )  =  ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )
7271fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( ( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) )
7363rprege0d 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ) )
742, 66, 21nvsge0 26373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) )  =  ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  x.  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )
7551, 73, 65, 74syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) )  =  ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  x.  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )
76 rpcn 11333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  CC )
7776ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  y  e.  CC )
7855ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  z
)  e.  RR )
7978recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  z
)  e.  CC )
802, 57, 21nvz 26379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  z )  =  0  <->  z  =  ( 0vec `  U )
) )
811, 80mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  X  ->  (
( ( normCV `  U
) `  z )  =  0  <->  z  =  ( 0vec `  U )
) )
8281necon3bid 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  X  ->  (
( ( normCV `  U
) `  z )  =/=  0  <->  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )
8382biimpar 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( normCV `  U ) `  z )  =/=  0
)
8483adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  z
)  =/=  0 )
8577, 79, 84divcan1d 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
)  =  y )
8672, 75, 853eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( ( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) )  =  y )
87 rpre 11331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
8887leidd 10201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  <_ 
y )
8988ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  y  <_  y )
9086, 89eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( ( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) )  <_  y )
912, 69nvgcl 26320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X  /\  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z )  e.  X )  ->  ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) )  e.  X )
9251, 52, 68, 91syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( P
( +v `  U
) ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ( .sOLD `  U ) z ) )  e.  X )
93 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )  ->  ( x
( -v `  U
) P )  =  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) )
9493fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) P ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) ) )
9594breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )  ->  ( (
( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y  <->  ( ( normCV `  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) )  <_  y )
)
9693fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )  ->  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  =  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )
9796fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( x
( -v `  U
) P ) ) )  =  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) ) )
9897breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )  ->  ( (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )
9995, 98imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )  ->  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  <-> 
( ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( ( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) ) )
10099rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) )  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) ) )
10192, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) ) )
10290, 101mpid 41 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )
10328ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  X  ->  ( T `  z )  e.  ( BaseSet `  W )
)
1047, 32nvcl 26369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( T `  z )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  e.  RR )
1056, 103, 104sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  X  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  e.  RR )
106105ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  e.  RR )
107 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  1  e.  RR )
108106, 107, 63lemuldiv2d 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) )  x.  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  z ) ) )  <_  1  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( 1  /  ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ) ) )
10971fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( T `
 ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ( .sOLD `  U ) z ) ) )
110 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( .sOLD `  W )  =  ( .sOLD `  W )
1112, 66, 110, 26lnomul 26482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) )  e.  CC  /\  z  e.  X ) )  -> 
( T `  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) )  =  ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ( .sOLD `  W ) ( T `  z
) ) )
11236, 111mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) )  e.  CC  /\  z  e.  X )  ->  ( T `  ( (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) )  =  ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ( .sOLD `  W ) ( T `  z
) ) )
11364, 65, 112syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( T `  ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )  =  ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  W
) ( T `  z ) ) )
114109, 113eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  W
) ( T `  z ) ) )
115114fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  =  ( (
normCV
`  W ) `  ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  W ) ( T `
 z ) ) ) )
1166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  W  e.  NrmCVec )
117103ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( T `  z )  e.  (
BaseSet `  W ) )
1187, 110, 32nvsge0 26373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )  /\  ( T `  z )  e.  (
BaseSet `  W ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  W
) ( T `  z ) ) )  =  ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  x.  (
( normCV `  W ) `  ( T `  z ) ) ) )
119116, 73, 117, 118syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  W
) ( T `  z ) ) )  =  ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  x.  (
( normCV `  W ) `  ( T `  z ) ) ) )
120115, 119eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  =  ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  x.  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  z ) ) ) )
121120breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1  <->  ( (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  x.  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  z ) ) )  <_  1 ) )
122 rpcnne0 11342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
123 rpcnne0 11342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( normCV `  U ) `  z )  e.  RR+  ->  ( ( ( normCV `  U ) `  z
)  e.  CC  /\  ( ( normCV `  U
) `  z )  =/=  0 ) )
124 recdiv 10335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  ( ( (
normCV
`  U ) `  z )  e.  CC  /\  ( ( normCV `  U
) `  z )  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) )  =  ( ( (
normCV
`  U ) `  z )  /  y
) )
125122, 123, 124syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR+ )  ->  ( 1  / 
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )  =  ( ( (
normCV
`  U ) `  z )  /  y
) )
12653, 61, 125syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( 1  /  ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) )  =  ( ( ( normCV `  U
) `  z )  /  y ) )
127 rpne0 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  =/=  0 )
128127ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  y  =/=  0 )
12979, 77, 128divrec2d 10409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
( normCV `  U ) `  z )  /  y
)  =  ( ( 1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) )
130126, 129eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  =  ( 1  /  ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
131130breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( 1  /  ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ) ) )
132108, 121, 1313bitr4d 293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
133102, 132sylibd 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
134133anassrs 660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  X )  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
135134imp 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  X )  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  /\  A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) )
136135an32s 821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  X )  /\  A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) )
137 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
1382, 7, 57, 137, 26lno0 26478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  ( T `  ( 0vec `  U ) )  =  ( 0vec `  W
) )
1391, 6, 25, 138mp3an 1390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T `
 ( 0vec `  U
) )  =  (
0vec `  W )
140139fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  =  ( ( normCV `  W ) `  ( 0vec `  W ) )
141137, 32nvz0 26378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( 0vec `  W ) )  =  0 )
1426, 141ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
normCV
`  W ) `  ( 0vec `  W )
)  =  0
143140, 142eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  =  0
144 0le0 10721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  0
145143, 144eqbrtri 4415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  <_  0
14617rpcnd 11366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  y )  e.  CC )
14757, 21nvz0 26378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( ( normCV `  U ) `  ( 0vec `  U ) )  =  0 )
1481, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
normCV
`  U ) `  ( 0vec `  U )
)  =  0
149148oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  ( 0vec `  U ) ) )  =  ( ( 1  /  y )  x.  0 )
150 mul01 9830 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  y )  e.  CC  ->  (
( 1  /  y
)  x.  0 )  =  0 )
151149, 150syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  y )  e.  CC  ->  (
( 1  /  y
)  x.  ( (
normCV
`  U ) `  ( 0vec `  U )
) )  =  0 )
152146, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( ( 1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  ( 0vec `  U ) ) )  =  0 )
153145, 152syl5breqr 4432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  <_  ( ( 1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U
) `  ( 0vec `  U ) ) ) )
154153ad3antlr 745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  X )  /\  A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  <_  ( ( 1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U
) `  ( 0vec `  U ) ) ) )
15550, 136, 154pm2.61ne 2728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  X )  /\  A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) )
156155ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  X
)  ->  ( A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
157156ralrimdva 2812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )  <_ 
1 )  ->  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
15845, 157sylbid 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 )  ->  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
159158imp 436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_  y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_  1 ) )  ->  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) )
160 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
x  x.  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  =  ( ( 1  / 
y )  x.  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )
161160breq2d 4407 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
( ( normCV `  W
) `  ( T `  z ) )  <_ 
( x  x.  (
( normCV `  U ) `  z ) )  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
162161ralbidv 2829 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  z ) )  <_ 
( x  x.  (
( normCV `  U ) `  z ) )  <->  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
163162rspcev 3136 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  y
)  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) )
16419, 159, 163syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_  y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_  1 ) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) )
165164ex 441 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) ) )
166165rexlimdva 2871 . . . 4  |-  ( P  e.  X  ->  ( E. y  e.  RR+  A. x  e.  X  ( (
x C P )  <_  y  ->  (
( T `  x
) D ( T `
 P ) )  <_  1 )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) ) )
16716, 166syl5 32 . . 3  |-  ( P  e.  X  ->  ( T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) ) )
168167imp 436 . 2  |-  ( ( P  e.  X  /\  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) )
169 blocni.5 . . . 4  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
1702, 21, 32, 26, 169, 1, 6isblo3i 26523 . . 3  |-  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) ) )
17125, 170mpbiran 932 . 2  |-  ( T  e.  B  <->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) )
172168, 171sylibr 217 1  |-  ( ( P  e.  X  /\  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  T  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   class class class wbr 4395   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    / cdiv 10291   RR+crp 11325   *Metcxmt 19032   MetOpencmopn 19037    CnP ccnp 20318   NrmCVeccnv 26284   +vcpv 26285   BaseSetcba 26286   .sOLDcns 26287   0veccn0v 26288   -vcnsb 26289   normCVcnmcv 26290   IndMetcims 26291    LnOp clno 26462    BLnOp cblo 26464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cnp 20321  df-grpo 26000  df-gid 26001  df-ginv 26002  df-gdiv 26003  df-ablo 26091  df-vc 26246  df-nv 26292  df-va 26295  df-ba 26296  df-sm 26297  df-0v 26298  df-vs 26299  df-nmcv 26300  df-ims 26301  df-lno 26466  df-nmoo 26467  df-blo 26468  df-0o 26469
This theorem is referenced by:  blocni  26527  lnocni  26528
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