Theorem blocnilem 25846

Description: Lemma for blocni 25847 and lnocni 25848. If a linear operator is continuous at any point, it is bounded. (Contributed by NM, 17-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
blocni.8	|- C = ( IndMet ` U )
blocni.d	|- D = ( IndMet ` W )
blocni.j	|- J = ( MetOpen ` C )
blocni.k	|- K = ( MetOpen ` D )
blocni.4	|- L = ( U LnOp W )
blocni.5	|- B = ( U BLnOp W )
blocni.u	|- U e. NrmCVec
blocni.w	|- W e. NrmCVec
blocni.l	|- T e. L
blocnilem.1	|- X = ( BaseSet ` U )

Assertion

Ref	Expression
blocnilem	|- ( ( P e. X /\ T e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> T e. B )

Proof of Theorem blocnilem

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blocni.u	. . . . . 6 |- U e. NrmCVec
2		blocnilem.1	. . . . . . 7 |- X = ( BaseSet ` U )
3		blocni.8	. . . . . . 7 |- C = ( IndMet ` U )
4	2, 3	imsxmet 25725	. . . . . 6 |- ( U e. NrmCVec -> C e. ( *Met ` X ) )
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- C e. ( *Met ` X )
6		blocni.w	. . . . . 6 |- W e. NrmCVec
7		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( BaseSet ` W ) = ( BaseSet ` W )
8		blocni.d	. . . . . . 7 |- D = ( IndMet ` W )
9	7, 8	imsxmet 25725	. . . . . 6 |- ( W e. NrmCVec -> D e. ( *Met ` ( BaseSet ` W ) ) )
10	6, 9	ax-mp 5	. . . . 5 |- D e. ( *Met ` ( BaseSet ` W ) )
11		1rp 11249	. . . . . 6 |- 1 e. RR+
12		blocni.j	. . . . . . 7 |- J = ( MetOpen ` C )
13		blocni.k	. . . . . . 7 |- K = ( MetOpen ` D )
14	12, 13	metcnpi3 21175	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` ( BaseSet ` W ) ) ) /\ ( T e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ 1 e. RR+ ) ) -> E. y e. RR+ A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) )
15	11, 14	mpanr2 684	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` ( BaseSet ` W ) ) ) /\ T e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> E. y e. RR+ A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) )
16	5, 10, 15	mpanl12 682	. . . 4 |- ( T e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> E. y e. RR+ A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) )
17		rpreccl 11268	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> ( 1 / y ) e. RR+ )
18	17	rpred 11281	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR+ -> ( 1 / y ) e. RR )
19	18	ad2antlr 726	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) ) -> ( 1 / y ) e. RR )
20		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -v ` U ) = ( -v ` U )
21		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( normCV ` U ) = ( normCV ` U )
22	2, 20, 21, 3	imsdval 25719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X /\ P e. X ) -> ( x C P ) = ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) )
23	1, 22	mp3an1 1311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ P e. X ) -> ( x C P ) = ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) )
24	23	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. X /\ P e. X ) -> ( ( x C P ) <_ y <-> ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y ) )
25		blocni.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- T e. L
26		blocni.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- L = ( U LnOp W )
27	2, 7, 26	lnof 25797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) -> T : X --> ( BaseSet ` W ) )
28	1, 6, 25, 27	mp3an 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- T : X --> ( BaseSet ` W )
29	28	ffvelrni 6031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. X -> ( T ` x ) e. ( BaseSet ` W ) )
30	28	ffvelrni 6031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. X -> ( T ` P ) e. ( BaseSet ` W ) )
31		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -v ` W ) = ( -v ` W )
32		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( normCV ` W ) = ( normCV ` W )
33	7, 31, 32, 8	imsdval 25719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( T ` x ) e. ( BaseSet ` W ) /\ ( T ` P ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( ( T ` x ) ( -v ` W ) ( T ` P ) ) ) )
34	6, 33	mp3an1 1311	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T ` x ) e. ( BaseSet ` W ) /\ ( T ` P ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( ( T ` x ) ( -v ` W ) ( T ` P ) ) ) )
35	29, 30, 34	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ P e. X ) -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( ( T ` x ) ( -v ` W ) ( T ` P ) ) ) )
36	1, 6, 25	3pm3.2i 1174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L )
37	2, 20, 31, 26	lnosub 25801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( x e. X /\ P e. X ) ) -> ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) = ( ( T ` x ) ( -v ` W ) ( T ` P ) ) )
38	36, 37	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. X /\ P e. X ) -> ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) = ( ( T ` x ) ( -v ` W ) ( T ` P ) ) )
39	38	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ P e. X ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( ( T ` x ) ( -v ` W ) ( T ` P ) ) ) )
40	35, 39	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ P e. X ) -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) )
41	40	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. X /\ P e. X ) -> ( ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 <-> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) )
42	24, 41	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ P e. X ) -> ( ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) <-> ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) )
43	42	ancoms 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. X /\ x e. X ) -> ( ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) <-> ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) )
44	43	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) <-> ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) )
45	44	ralbidva 2893	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) -> ( A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) <-> A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) )
46		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( 0vec ` U ) -> ( T ` z ) = ( T ` ( 0vec ` U ) ) )
47	46	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( 0vec ` U ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) )
48		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( 0vec ` U ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) = ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) )
49	48	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( 0vec ` U ) -> ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) = ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) ) )
50	47, 49	breq12d 4469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( 0vec ` U ) -> ( ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) <-> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) ) ) )
51	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> U e. NrmCVec )
52		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> P e. X )
53		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
54	2, 21	nvcl 25689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. X ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR )
55	1, 54	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z e. X -> ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR )
56	55	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR )
57		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( 0vec ` U ) = ( 0vec ` U )
58	2, 57, 21	nvgt0 25705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. X ) -> ( z =/= ( 0vec ` U ) <-> 0 < ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
59	1, 58	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z e. X -> ( z =/= ( 0vec ` U ) <-> 0 < ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
60	59	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) -> 0 < ( ( normCV ` U ) ` z ) )
61	56, 60	elrpd 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR+ )
62		rpdivcl 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( y e. RR+ /\ ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR+ ) -> ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. RR+ )
63	53, 61, 62	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. RR+ )
64	63	rpcnd 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. CC )
65		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> z e. X )
66		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( .sOLD ` U ) = ( .sOLD ` U )
67	2, 66	nvscl 25648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. CC /\ z e. X ) -> ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) e. X )
68	51, 64, 65, 67	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) e. X )
69		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( +v ` U ) = ( +v ` U )
70	2, 69, 20	nvpncan2 25678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( U e. NrmCVec /\ P e. X /\ ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) e. X ) -> ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) )
71	51, 52, 68, 70	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) )
72	71	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) = ( ( normCV ` U ) ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) )
73	63	rprege0d 11288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. RR /\ 0 <_ ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
74	2, 66, 21	nvsge0 25693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. RR /\ 0 <_ ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) /\ z e. X ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
75	51, 73, 65, 74	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
76		rpcn 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. RR+ -> y e. CC )
77	76	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> y e. CC )
78	55	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR )
79	78	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) e. CC )
80	2, 57, 21	nvz 25699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. X ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` z ) = 0 <-> z = ( 0vec ` U ) ) )
81	1, 80	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. X -> ( ( ( normCV ` U ) ` z ) = 0 <-> z = ( 0vec ` U ) ) )
82	81	necon3bid 2715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z e. X -> ( ( ( normCV ` U ) ` z ) =/= 0 <-> z =/= ( 0vec ` U ) ) )
83	82	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) =/= 0 )
84	83	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) =/= 0 )
85	77, 79, 84	divcan1d 10342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) = y )
86	72, 75, 85	3eqtrd 2502	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) = y )
87		rpre 11251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
88	87	leidd 10140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. RR+ -> y <_ y )
89	88	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> y <_ y )
90	86, 89	eqbrtrd 4476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) <_ y )
91	2, 69	nvgcl 25640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. NrmCVec /\ P e. X /\ ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) e. X ) -> ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) e. X )
92	51, 52, 68, 91	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) e. X )
93		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) -> ( x ( -v ` U ) P ) = ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) )
94	93	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) = ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) )
95	94	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y <-> ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) <_ y ) )
96	93	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) -> ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) = ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) )
97	96	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) )
98	97	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) -> ( ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 <-> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) )
99	95, 98	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) -> ( ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) <-> ( ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) )
100	99	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) e. X -> ( A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) )
101	92, 100	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) )
102	90, 101	mpid 41	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) )
103	28	ffvelrni 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. X -> ( T ` z ) e. ( BaseSet ` W ) )
104	7, 32	nvcl 25689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( T ` z ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) e. RR )
105	6, 103, 104	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. X -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) e. RR )
106	105	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) e. RR )
107		1red 9628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> 1 e. RR )
108	106, 107, 63	lemuldiv2d 11327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) x. ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) <_ 1 <-> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( 1 / ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) ) )
109	71	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) = ( T ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) )
110		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( .sOLD ` W ) = ( .sOLD ` W )
111	2, 66, 110, 26	lnomul 25802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. CC /\ z e. X ) ) -> ( T ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` z ) ) )
112	36, 111	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. CC /\ z e. X ) -> ( T ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` z ) ) )
113	64, 65, 112	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( T ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` z ) ) )
114	109, 113	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` z ) ) )
115	114	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` z ) ) ) )
116	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> W e. NrmCVec )
117	103	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( T ` z ) e. ( BaseSet ` W ) )
118	7, 110, 32	nvsge0 25693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. RR /\ 0 <_ ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) /\ ( T ` z ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` z ) ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) x. ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) )
119	116, 73, 117, 118	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` z ) ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) x. ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) )
120	115, 119	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) x. ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) )
121	120	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 <-> ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) x. ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) <_ 1 ) )
122		rpcnne0 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. RR+ -> ( y e. CC /\ y =/= 0 ) )
123		rpcnne0 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR+ -> ( ( ( normCV ` U ) ` z ) e. CC /\ ( ( normCV ` U ) ` z ) =/= 0 ) )
124		recdiv 10271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ ( ( ( normCV ` U ) ` z ) e. CC /\ ( ( normCV ` U ) ` z ) =/= 0 ) ) -> ( 1 / ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) = ( ( ( normCV ` U ) ` z ) / y ) )
125	122, 123, 124	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR+ /\ ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR+ ) -> ( 1 / ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) = ( ( ( normCV ` U ) ` z ) / y ) )
126	53, 61, 125	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( 1 / ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) = ( ( ( normCV ` U ) ` z ) / y ) )
127		rpne0 11260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. RR+ -> y =/= 0 )
128	127	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> y =/= 0 )
129	79, 77, 128	divrec2d 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` z ) / y ) = ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
130	126, 129	eqtr2d 2499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) = ( 1 / ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
131	130	breq2d 4468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) <-> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( 1 / ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) ) )
132	108, 121, 131	3bitr4d 285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 <-> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
133	102, 132	sylibd 214	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
134	133	anassrs 648	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ z e. X ) /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
135	134	imp 429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ z e. X ) /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) /\ A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
136	135	an32s 804	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ z e. X ) /\ A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
137		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0vec ` W ) = ( 0vec ` W )
138	2, 7, 57, 137, 26	lno0 25798	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) -> ( T ` ( 0vec ` U ) ) = ( 0vec ` W ) )
139	1, 6, 25, 138	mp3an 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( T ` ( 0vec ` U ) ) = ( 0vec ` W )
140	139	fveq2i 5875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( 0vec ` W ) )
141	137, 32	nvz0 25698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W e. NrmCVec -> ( ( normCV ` W ) ` ( 0vec ` W ) ) = 0 )
142	6, 141	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( normCV ` W ) ` ( 0vec ` W ) ) = 0
143	140, 142	eqtri 2486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) = 0
144		0le0 10646	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 <_ 0
145	143, 144	eqbrtri 4475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) <_ 0
146	17	rpcnd 11283	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR+ -> ( 1 / y ) e. CC )
147	57, 21	nvz0 25698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. NrmCVec -> ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) = 0 )
148	1, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) = 0
149	148	oveq2i 6307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) ) = ( ( 1 / y ) x. 0 )
150		mul01 9776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 / y ) e. CC -> ( ( 1 / y ) x. 0 ) = 0 )
151	149, 150	syl5eq 2510	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 / y ) e. CC -> ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) ) = 0 )
152	146, 151	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR+ -> ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) ) = 0 )
153	145, 152	syl5breqr 4492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR+ -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) ) )
154	153	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ z e. X ) /\ A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) ) )
155	50, 136, 154	pm2.61ne 2772	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ z e. X ) /\ A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
156	155	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ z e. X ) -> ( A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
157	156	ralrimdva 2875	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) -> ( A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) -> A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
158	45, 157	sylbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) -> ( A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) -> A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
159	158	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) ) -> A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
160		oveq1 6303	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) = ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
161	160	breq2d 4468	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) <-> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
162	161	ralbidv 2896	. . . . . . . 8 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) <-> A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
163	162	rspcev 3210	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 / y ) e. RR /\ A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) -> E. x e. RR A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
164	19, 159, 163	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) ) -> E. x e. RR A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
165	164	ex 434	. . . . 5 |- ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) -> ( A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) -> E. x e. RR A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
166	165	rexlimdva 2949	. . . 4 |- ( P e. X -> ( E. y e. RR+ A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) -> E. x e. RR A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
167	16, 166	syl5 32	. . 3 |- ( P e. X -> ( T e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> E. x e. RR A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
168	167	imp 429	. 2 |- ( ( P e. X /\ T e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> E. x e. RR A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
169		blocni.5	. . . 4 |- B = ( U BLnOp W )
170	2, 21, 32, 26, 169, 1, 6	isblo3i 25843	. . 3 |- ( T e. B <-> ( T e. L /\ E. x e. RR A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
171	25, 170	mpbiran 918	. 2 |- ( T e. B <-> E. x e. RR A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
172	168, 171	sylibr 212	1 |- ( ( P e. X /\ T e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> T e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   class class class wbr 4456   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   x. cmul 9514   < clt 9645   <_ cle 9646   / cdiv 10227   RR+crp 11245   *Metcxmt 18530   MetOpencmopn 18535   CnP ccnp 19853   NrmCVeccnv 25604   +vcpv 25605   BaseSetcba 25606   .sOLDcns 25607   0veccn0v 25608   -vcnsb 25609   norm_CVcnmcv 25610   IndMetcims 25611   LnOp clno 25782   BLnOp cblo 25784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cnp 19856  df-grpo 25320  df-gid 25321  df-ginv 25322  df-gdiv 25323  df-ablo 25411  df-vc 25566  df-nv 25612  df-va 25615  df-ba 25616  df-sm 25617  df-0v 25618  df-vs 25619  df-nmcv 25620  df-ims 25621  df-lno 25786  df-nmoo 25787  df-blo 25788  df-0o 25789

This theorem is referenced by:  blocni  25847  lnocni  25848