Theorem blocnilem 26457

Description: Lemma for blocni 26458 and lnocni 26459. If a linear operator is continuous at any point, it is bounded. (Contributed by NM, 17-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
blocni.8	|- C = ( IndMet ` U )
blocni.d	|- D = ( IndMet ` W )
blocni.j	|- J = ( MetOpen ` C )
blocni.k	|- K = ( MetOpen ` D )
blocni.4	|- L = ( U LnOp W )
blocni.5	|- B = ( U BLnOp W )
blocni.u	|- U e. NrmCVec
blocni.w	|- W e. NrmCVec
blocni.l	|- T e. L
blocnilem.1	|- X = ( BaseSet ` U )

Assertion

Ref	Expression
blocnilem	|- ( ( P e. X /\ T e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> T e. B )

Proof of Theorem blocnilem

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blocni.u	. . . . . 6 |- U e. NrmCVec
2		blocnilem.1	. . . . . . 7 |- X = ( BaseSet ` U )
3		blocni.8	. . . . . . 7 |- C = ( IndMet ` U )
4	2, 3	imsxmet 26336	. . . . . 6 |- ( U e. NrmCVec -> C e. ( *Met ` X ) )
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- C e. ( *Met ` X )
6		blocni.w	. . . . . 6 |- W e. NrmCVec
7		eqid 2453	. . . . . . 7 |- ( BaseSet ` W ) = ( BaseSet ` W )
8		blocni.d	. . . . . . 7 |- D = ( IndMet ` W )
9	7, 8	imsxmet 26336	. . . . . 6 |- ( W e. NrmCVec -> D e. ( *Met ` ( BaseSet ` W ) ) )
10	6, 9	ax-mp 5	. . . . 5 |- D e. ( *Met ` ( BaseSet ` W ) )
11		1rp 11313	. . . . . 6 |- 1 e. RR+
12		blocni.j	. . . . . . 7 |- J = ( MetOpen ` C )
13		blocni.k	. . . . . . 7 |- K = ( MetOpen ` D )
14	12, 13	metcnpi3 21573	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` ( BaseSet ` W ) ) ) /\ ( T e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ 1 e. RR+ ) ) -> E. y e. RR+ A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) )
15	11, 14	mpanr2 691	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` ( BaseSet ` W ) ) ) /\ T e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> E. y e. RR+ A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) )
16	5, 10, 15	mpanl12 689	. . . 4 |- ( T e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> E. y e. RR+ A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) )
17		rpreccl 11333	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> ( 1 / y ) e. RR+ )
18	17	rpred 11348	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR+ -> ( 1 / y ) e. RR )
19	18	ad2antlr 734	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) ) -> ( 1 / y ) e. RR )
20		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -v ` U ) = ( -v ` U )
21		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( normCV ` U ) = ( normCV ` U )
22	2, 20, 21, 3	imsdval 26330	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X /\ P e. X ) -> ( x C P ) = ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) )
23	1, 22	mp3an1 1353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ P e. X ) -> ( x C P ) = ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) )
24	23	breq1d 4415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. X /\ P e. X ) -> ( ( x C P ) <_ y <-> ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y ) )
25		blocni.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- T e. L
26		blocni.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- L = ( U LnOp W )
27	2, 7, 26	lnof 26408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) -> T : X --> ( BaseSet ` W ) )
28	1, 6, 25, 27	mp3an 1366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- T : X --> ( BaseSet ` W )
29	28	ffvelrni 6026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. X -> ( T ` x ) e. ( BaseSet ` W ) )
30	28	ffvelrni 6026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. X -> ( T ` P ) e. ( BaseSet ` W ) )
31		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -v ` W ) = ( -v ` W )
32		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( normCV ` W ) = ( normCV ` W )
33	7, 31, 32, 8	imsdval 26330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( T ` x ) e. ( BaseSet ` W ) /\ ( T ` P ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( ( T ` x ) ( -v ` W ) ( T ` P ) ) ) )
34	6, 33	mp3an1 1353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T ` x ) e. ( BaseSet ` W ) /\ ( T ` P ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( ( T ` x ) ( -v ` W ) ( T ` P ) ) ) )
35	29, 30, 34	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ P e. X ) -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( ( T ` x ) ( -v ` W ) ( T ` P ) ) ) )
36	1, 6, 25	3pm3.2i 1187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L )
37	2, 20, 31, 26	lnosub 26412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( x e. X /\ P e. X ) ) -> ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) = ( ( T ` x ) ( -v ` W ) ( T ` P ) ) )
38	36, 37	mpan 677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. X /\ P e. X ) -> ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) = ( ( T ` x ) ( -v ` W ) ( T ` P ) ) )
39	38	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ P e. X ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( ( T ` x ) ( -v ` W ) ( T ` P ) ) ) )
40	35, 39	eqtr4d 2490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ P e. X ) -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) )
41	40	breq1d 4415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. X /\ P e. X ) -> ( ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 <-> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) )
42	24, 41	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ P e. X ) -> ( ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) <-> ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) )
43	42	ancoms 455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. X /\ x e. X ) -> ( ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) <-> ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) )
44	43	adantlr 722	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) <-> ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) )
45	44	ralbidva 2826	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) -> ( A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) <-> A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) )
46		fveq2 5870	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( 0vec ` U ) -> ( T ` z ) = ( T ` ( 0vec ` U ) ) )
47	46	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( 0vec ` U ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) )
48		fveq2 5870	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( 0vec ` U ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) = ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) )
49	48	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( 0vec ` U ) -> ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) = ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) ) )
50	47, 49	breq12d 4418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( 0vec ` U ) -> ( ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) <-> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) ) ) )
51	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> U e. NrmCVec )
52		simpll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> P e. X )
53		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
54	2, 21	nvcl 26300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. X ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR )
55	1, 54	mpan 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z e. X -> ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR )
56	55	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR )
57		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( 0vec ` U ) = ( 0vec ` U )
58	2, 57, 21	nvgt0 26316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. X ) -> ( z =/= ( 0vec ` U ) <-> 0 < ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
59	1, 58	mpan 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z e. X -> ( z =/= ( 0vec ` U ) <-> 0 < ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
60	59	biimpa 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) -> 0 < ( ( normCV ` U ) ` z ) )
61	56, 60	elrpd 11345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR+ )
62		rpdivcl 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( y e. RR+ /\ ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR+ ) -> ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. RR+ )
63	53, 61, 62	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. RR+ )
64	63	rpcnd 11350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. CC )
65		simprl 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> z e. X )
66		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( .sOLD ` U ) = ( .sOLD ` U )
67	2, 66	nvscl 26259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. CC /\ z e. X ) -> ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) e. X )
68	51, 64, 65, 67	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) e. X )
69		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( +v ` U ) = ( +v ` U )
70	2, 69, 20	nvpncan2 26289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( U e. NrmCVec /\ P e. X /\ ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) e. X ) -> ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) )
71	51, 52, 68, 70	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) )
72	71	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) = ( ( normCV ` U ) ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) )
73	63	rprege0d 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. RR /\ 0 <_ ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
74	2, 66, 21	nvsge0 26304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. RR /\ 0 <_ ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) /\ z e. X ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
75	51, 73, 65, 74	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
76		rpcn 11317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. RR+ -> y e. CC )
77	76	ad2antlr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> y e. CC )
78	55	ad2antrl 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR )
79	78	recnd 9674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) e. CC )
80	2, 57, 21	nvz 26310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. X ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` z ) = 0 <-> z = ( 0vec ` U ) ) )
81	1, 80	mpan 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. X -> ( ( ( normCV ` U ) ` z ) = 0 <-> z = ( 0vec ` U ) ) )
82	81	necon3bid 2670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z e. X -> ( ( ( normCV ` U ) ` z ) =/= 0 <-> z =/= ( 0vec ` U ) ) )
83	82	biimpar 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) =/= 0 )
84	83	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) =/= 0 )
85	77, 79, 84	divcan1d 10391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) = y )
86	72, 75, 85	3eqtrd 2491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) = y )
87		rpre 11315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
88	87	leidd 10187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. RR+ -> y <_ y )
89	88	ad2antlr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> y <_ y )
90	86, 89	eqbrtrd 4426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) <_ y )
91	2, 69	nvgcl 26251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. NrmCVec /\ P e. X /\ ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) e. X ) -> ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) e. X )
92	51, 52, 68, 91	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) e. X )
93		oveq1 6302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) -> ( x ( -v ` U ) P ) = ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) )
94	93	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) = ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) )
95	94	breq1d 4415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y <-> ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) <_ y ) )
96	93	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) -> ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) = ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) )
97	96	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) )
98	97	breq1d 4415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) -> ( ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 <-> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) )
99	95, 98	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) -> ( ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) <-> ( ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) )
100	99	rspcv 3148	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) e. X -> ( A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) )
101	92, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) )
102	90, 101	mpid 42	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) )
103	28	ffvelrni 6026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. X -> ( T ` z ) e. ( BaseSet ` W ) )
104	7, 32	nvcl 26300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( T ` z ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) e. RR )
105	6, 103, 104	sylancr 670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. X -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) e. RR )
106	105	ad2antrl 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) e. RR )
107		1red 9663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> 1 e. RR )
108	106, 107, 63	lemuldiv2d 11395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) x. ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) <_ 1 <-> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( 1 / ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) ) )
109	71	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) = ( T ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) )
110		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( .sOLD ` W ) = ( .sOLD ` W )
111	2, 66, 110, 26	lnomul 26413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. CC /\ z e. X ) ) -> ( T ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` z ) ) )
112	36, 111	mpan 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. CC /\ z e. X ) -> ( T ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` z ) ) )
113	64, 65, 112	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( T ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` z ) ) )
114	109, 113	eqtrd 2487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` z ) ) )
115	114	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` z ) ) ) )
116	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> W e. NrmCVec )
117	103	ad2antrl 735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( T ` z ) e. ( BaseSet ` W ) )
118	7, 110, 32	nvsge0 26304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. RR /\ 0 <_ ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) /\ ( T ` z ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` z ) ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) x. ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) )
119	116, 73, 117, 118	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` z ) ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) x. ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) )
120	115, 119	eqtrd 2487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) x. ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) )
121	120	breq1d 4415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 <-> ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) x. ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) <_ 1 ) )
122		rpcnne0 11326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. RR+ -> ( y e. CC /\ y =/= 0 ) )
123		rpcnne0 11326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR+ -> ( ( ( normCV ` U ) ` z ) e. CC /\ ( ( normCV ` U ) ` z ) =/= 0 ) )
124		recdiv 10320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ ( ( ( normCV ` U ) ` z ) e. CC /\ ( ( normCV ` U ) ` z ) =/= 0 ) ) -> ( 1 / ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) = ( ( ( normCV ` U ) ` z ) / y ) )
125	122, 123, 124	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR+ /\ ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR+ ) -> ( 1 / ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) = ( ( ( normCV ` U ) ` z ) / y ) )
126	53, 61, 125	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( 1 / ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) = ( ( ( normCV ` U ) ` z ) / y ) )
127		rpne0 11324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. RR+ -> y =/= 0 )
128	127	ad2antlr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> y =/= 0 )
129	79, 77, 128	divrec2d 10394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` z ) / y ) = ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
130	126, 129	eqtr2d 2488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) = ( 1 / ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
131	130	breq2d 4417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) <-> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( 1 / ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) ) )
132	108, 121, 131	3bitr4d 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 <-> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
133	102, 132	sylibd 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
134	133	anassrs 654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ z e. X ) /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
135	134	imp 431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ z e. X ) /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) /\ A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
136	135	an32s 814	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ z e. X ) /\ A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
137		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0vec ` W ) = ( 0vec ` W )
138	2, 7, 57, 137, 26	lno0 26409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) -> ( T ` ( 0vec ` U ) ) = ( 0vec ` W ) )
139	1, 6, 25, 138	mp3an 1366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( T ` ( 0vec ` U ) ) = ( 0vec ` W )
140	139	fveq2i 5873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( 0vec ` W ) )
141	137, 32	nvz0 26309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W e. NrmCVec -> ( ( normCV ` W ) ` ( 0vec ` W ) ) = 0 )
142	6, 141	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( normCV ` W ) ` ( 0vec ` W ) ) = 0
143	140, 142	eqtri 2475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) = 0
144		0le0 10706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 <_ 0
145	143, 144	eqbrtri 4425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) <_ 0
146	17	rpcnd 11350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR+ -> ( 1 / y ) e. CC )
147	57, 21	nvz0 26309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. NrmCVec -> ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) = 0 )
148	1, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) = 0
149	148	oveq2i 6306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) ) = ( ( 1 / y ) x. 0 )
150		mul01 9817	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 / y ) e. CC -> ( ( 1 / y ) x. 0 ) = 0 )
151	149, 150	syl5eq 2499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 / y ) e. CC -> ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) ) = 0 )
152	146, 151	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR+ -> ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) ) = 0 )
153	145, 152	syl5breqr 4442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR+ -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) ) )
154	153	ad3antlr 738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ z e. X ) /\ A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) ) )
155	50, 136, 154	pm2.61ne 2711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ z e. X ) /\ A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
156	155	ex 436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ z e. X ) -> ( A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
157	156	ralrimdva 2808	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) -> ( A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) -> A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
158	45, 157	sylbid 219	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) -> ( A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) -> A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
159	158	imp 431	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) ) -> A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
160		oveq1 6302	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) = ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
161	160	breq2d 4417	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) <-> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
162	161	ralbidv 2829	. . . . . . . 8 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) <-> A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
163	162	rspcev 3152	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 / y ) e. RR /\ A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) -> E. x e. RR A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
164	19, 159, 163	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) ) -> E. x e. RR A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
165	164	ex 436	. . . . 5 |- ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) -> ( A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) -> E. x e. RR A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
166	165	rexlimdva 2881	. . . 4 |- ( P e. X -> ( E. y e. RR+ A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) -> E. x e. RR A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
167	16, 166	syl5 33	. . 3 |- ( P e. X -> ( T e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> E. x e. RR A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
168	167	imp 431	. 2 |- ( ( P e. X /\ T e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> E. x e. RR A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
169		blocni.5	. . . 4 |- B = ( U BLnOp W )
170	2, 21, 32, 26, 169, 1, 6	isblo3i 26454	. . 3 |- ( T e. B <-> ( T e. L /\ E. x e. RR A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
171	25, 170	mpbiran 930	. 2 |- ( T e. B <-> E. x e. RR A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
172	168, 171	sylibr 216	1 |- ( ( P e. X /\ T e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> T e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   class class class wbr 4405   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   x. cmul 9549   < clt 9680   <_ cle 9681   / cdiv 10276   RR+crp 11309   *Metcxmt 18967   MetOpencmopn 18972   CnP ccnp 20253   NrmCVeccnv 26215   +vcpv 26216   BaseSetcba 26217   .sOLDcns 26218   0veccn0v 26219   -vcnsb 26220   norm_CVcnmcv 26221   IndMetcims 26222   LnOp clno 26393   BLnOp cblo 26395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-seq 12221  df-exp 12280  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-topgen 15354  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-cnp 20256  df-grpo 25931  df-gid 25932  df-ginv 25933  df-gdiv 25934  df-ablo 26022  df-vc 26177  df-nv 26223  df-va 26226  df-ba 26227  df-sm 26228  df-0v 26229  df-vs 26230  df-nmcv 26231  df-ims 26232  df-lno 26397  df-nmoo 26398  df-blo 26399  df-0o 26400

This theorem is referenced by:  blocni  26458  lnocni  26459