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Theorem blocnilem 26457
Description: Lemma for blocni 26458 and lnocni 26459. If a linear operator is continuous at any point, it is bounded. (Contributed by NM, 17-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blocni.8  |-  C  =  ( IndMet `  U )
blocni.d  |-  D  =  ( IndMet `  W )
blocni.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
blocni.k  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
blocni.4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
blocni.5  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
blocni.u  |-  U  e.  NrmCVec
blocni.w  |-  W  e.  NrmCVec
blocni.l  |-  T  e.  L
blocnilem.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
Assertion
Ref Expression
blocnilem  |-  ( ( P  e.  X  /\  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  T  e.  B )

Proof of Theorem blocnilem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blocni.u . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
2 blocnilem.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 blocni.8 . . . . . . 7  |-  C  =  ( IndMet `  U )
42, 3imsxmet 26336 . . . . . 6  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( *Met `  X
) )
51, 4ax-mp 5 . . . . 5  |-  C  e.  ( *Met `  X )
6 blocni.w . . . . . 6  |-  W  e.  NrmCVec
7 eqid 2453 . . . . . . 7  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
8 blocni.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( IndMet `  W )
97, 8imsxmet 26336 . . . . . 6  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( *Met `  ( BaseSet
`  W ) ) )
106, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  D  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  W )
)
11 1rp 11313 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
12 blocni.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
13 blocni.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
1412, 13metcnpi3 21573 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  ( BaseSet
`  W ) ) )  /\  ( T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  1  e.  RR+ ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  X  ( (
x C P )  <_  y  ->  (
( T `  x
) D ( T `
 P ) )  <_  1 ) )
1511, 14mpanr2 691 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( *Met `  X
)  /\  D  e.  ( *Met `  ( BaseSet
`  W ) ) )  /\  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 ) )
165, 10, 15mpanl12 689 . . . 4  |-  ( T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 ) )
17 rpreccl 11333 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  y )  e.  RR+ )
1817rpred 11348 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  y )  e.  RR )
1918ad2antlr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_  y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_  1 ) )  ->  ( 1  /  y )  e.  RR )
20 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
21 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
222, 20, 21, 3imsdval 26330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  (
x C P )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) P ) ) )
231, 22mp3an1 1353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( x C P )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )
2423breq1d 4415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( x C P )  <_  y  <->  ( ( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y
) )
25 blocni.l . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  T  e.  L
26 blocni.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
272, 7, 26lnof 26408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : X --> ( BaseSet `  W
) )
281, 6, 25, 27mp3an 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T : X
--> ( BaseSet `  W )
2928ffvelrni 6026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  X  ->  ( T `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
3028ffvelrni 6026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  X  ->  ( T `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)
31 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -v
`  W )  =  ( -v `  W
)
32 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( normCV `  W )  =  (
normCV
`  W )
337, 31, 32, 8imsdval 26330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  ( BaseSet `  W )  /\  ( T `  P
)  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  =  ( (
normCV
`  W ) `  ( ( T `  x ) ( -v
`  W ) ( T `  P ) ) ) )
346, 33mp3an1 1353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ( BaseSet `  W )  /\  ( T `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  =  ( ( normCV `  W
) `  ( ( T `  x )
( -v `  W
) ( T `  P ) ) ) )
3529, 30, 34syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  =  ( (
normCV
`  W ) `  ( ( T `  x ) ( -v
`  W ) ( T `  P ) ) ) )
361, 6, 253pm3.2i 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )
372, 20, 31, 26lnosub 26412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  (
x  e.  X  /\  P  e.  X )
)  ->  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  =  ( ( T `  x
) ( -v `  W ) ( T `
 P ) ) )
3836, 37mpan 677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( T `  (
x ( -v `  U ) P ) )  =  ( ( T `  x ) ( -v `  W
) ( T `  P ) ) )
3938fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )  =  ( ( normCV `  W
) `  ( ( T `  x )
( -v `  W
) ( T `  P ) ) ) )
4035, 39eqtr4d 2490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  =  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) ) )
4140breq1d 4415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( ( T `
 x ) D ( T `  P
) )  <_  1  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )
4224, 41imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 )  <->  ( (
( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )  <_ 
1 ) ) )
4342ancoms 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 )  <->  ( (
( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )  <_ 
1 ) ) )
4443adantlr 722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( x C P )  <_  y  ->  ( ( T `  x
) D ( T `
 P ) )  <_  1 )  <->  ( (
( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )  <_ 
1 ) ) )
4544ralbidva 2826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 )  <->  A. x  e.  X  ( (
( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )  <_ 
1 ) ) )
46 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( T `  z )  =  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )
4746fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  =  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) ) )
48 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( ( normCV `  U ) `  z
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( 0vec `  U )
) )
4948oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  =  ( ( 1  /  y
)  x.  ( (
normCV
`  U ) `  ( 0vec `  U )
) ) )
5047, 49breq12d 4418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( (
( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  <_  ( ( 1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U
) `  ( 0vec `  U ) ) ) ) )
511a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  U  e.  NrmCVec )
52 simpll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  P  e.  X )
53 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  -> 
y  e.  RR+ )
542, 21nvcl 26300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR )
551, 54mpan 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  X  ->  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR )
5655adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR )
57 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
582, 57, 21nvgt0 26316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X )  ->  (
z  =/=  ( 0vec `  U )  <->  0  <  ( ( normCV `  U ) `  z ) ) )
591, 58mpan 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  X  ->  (
z  =/=  ( 0vec `  U )  <->  0  <  ( ( normCV `  U ) `  z ) ) )
6059biimpa 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  0  <  ( ( normCV `  U
) `  z )
)
6156, 60elrpd 11345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR+ )
62 rpdivcl 11332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR+ )  ->  ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
)  e.  RR+ )
6353, 61, 62syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  e.  RR+ )
6463rpcnd 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  e.  CC )
65 simprl 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  z  e.  X )
66 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
672, 66nvscl 26259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  e.  CC  /\  z  e.  X )  ->  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z )  e.  X )
6851, 64, 65, 67syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z )  e.  X )
69 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
702, 69, 20nvpncan2 26289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X  /\  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z )  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( ( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P )  =  ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )
7151, 52, 68, 70syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P )  =  ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )
7271fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( ( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) )
7363rprege0d 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ) )
742, 66, 21nvsge0 26304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) )  =  ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  x.  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )
7551, 73, 65, 74syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) )  =  ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  x.  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )
76 rpcn 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  CC )
7776ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  y  e.  CC )
7855ad2antrl 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  z
)  e.  RR )
7978recnd 9674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  z
)  e.  CC )
802, 57, 21nvz 26310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  z )  =  0  <->  z  =  ( 0vec `  U )
) )
811, 80mpan 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  X  ->  (
( ( normCV `  U
) `  z )  =  0  <->  z  =  ( 0vec `  U )
) )
8281necon3bid 2670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  X  ->  (
( ( normCV `  U
) `  z )  =/=  0  <->  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )
8382biimpar 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( normCV `  U ) `  z )  =/=  0
)
8483adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  z
)  =/=  0 )
8577, 79, 84divcan1d 10391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
)  =  y )
8672, 75, 853eqtrd 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( ( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) )  =  y )
87 rpre 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
8887leidd 10187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  <_ 
y )
8988ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  y  <_  y )
9086, 89eqbrtrd 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( ( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) )  <_  y )
912, 69nvgcl 26251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X  /\  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z )  e.  X )  ->  ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) )  e.  X )
9251, 52, 68, 91syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( P
( +v `  U
) ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ( .sOLD `  U ) z ) )  e.  X )
93 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )  ->  ( x
( -v `  U
) P )  =  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) )
9493fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) P ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) ) )
9594breq1d 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )  ->  ( (
( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y  <->  ( ( normCV `  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) )  <_  y )
)
9693fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )  ->  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  =  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )
9796fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( x
( -v `  U
) P ) ) )  =  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) ) )
9897breq1d 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )  ->  ( (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )
9995, 98imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )  ->  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  <-> 
( ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( ( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) ) )
10099rspcv 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) )  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) ) )
10192, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) ) )
10290, 101mpid 42 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )
10328ffvelrni 6026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  X  ->  ( T `  z )  e.  ( BaseSet `  W )
)
1047, 32nvcl 26300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( T `  z )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  e.  RR )
1056, 103, 104sylancr 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  X  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  e.  RR )
106105ad2antrl 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  e.  RR )
107 1red 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  1  e.  RR )
108106, 107, 63lemuldiv2d 11395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) )  x.  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  z ) ) )  <_  1  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( 1  /  ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ) ) )
10971fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( T `
 ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ( .sOLD `  U ) z ) ) )
110 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( .sOLD `  W )  =  ( .sOLD `  W )
1112, 66, 110, 26lnomul 26413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) )  e.  CC  /\  z  e.  X ) )  -> 
( T `  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) )  =  ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ( .sOLD `  W ) ( T `  z
) ) )
11236, 111mpan 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) )  e.  CC  /\  z  e.  X )  ->  ( T `  ( (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) )  =  ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ( .sOLD `  W ) ( T `  z
) ) )
11364, 65, 112syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( T `  ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) )  =  ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  W
) ( T `  z ) ) )
114109, 113eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  W
) ( T `  z ) ) )
115114fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  =  ( (
normCV
`  W ) `  ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .sOLD `  W ) ( T `
 z ) ) ) )
1166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  W  e.  NrmCVec )
117103ad2antrl 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( T `  z )  e.  (
BaseSet `  W ) )
1187, 110, 32nvsge0 26304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )  /\  ( T `  z )  e.  (
BaseSet `  W ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  W
) ( T `  z ) ) )  =  ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  x.  (
( normCV `  W ) `  ( T `  z ) ) ) )
119116, 73, 117, 118syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  W
) ( T `  z ) ) )  =  ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  x.  (
( normCV `  W ) `  ( T `  z ) ) ) )
120115, 119eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  =  ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  x.  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  z ) ) ) )
121120breq1d 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1  <->  ( (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  x.  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  z ) ) )  <_  1 ) )
122 rpcnne0 11326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
123 rpcnne0 11326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( normCV `  U ) `  z )  e.  RR+  ->  ( ( ( normCV `  U ) `  z
)  e.  CC  /\  ( ( normCV `  U
) `  z )  =/=  0 ) )
124 recdiv 10320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  ( ( (
normCV
`  U ) `  z )  e.  CC  /\  ( ( normCV `  U
) `  z )  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) )  =  ( ( (
normCV
`  U ) `  z )  /  y
) )
125122, 123, 124syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR+ )  ->  ( 1  / 
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )  =  ( ( (
normCV
`  U ) `  z )  /  y
) )
12653, 61, 125syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( 1  /  ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) )  =  ( ( ( normCV `  U
) `  z )  /  y ) )
127 rpne0 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  =/=  0 )
128127ad2antlr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  y  =/=  0 )
12979, 77, 128divrec2d 10394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
( normCV `  U ) `  z )  /  y
)  =  ( ( 1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) )
130126, 129eqtr2d 2488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  =  ( 1  /  ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
131130breq2d 4417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( 1  /  ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ) ) )
132108, 121, 1313bitr4d 289 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .sOLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
133102, 132sylibd 218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
134133anassrs 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  X )  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
135134imp 431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  X )  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  /\  A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) )
136135an32s 814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  X )  /\  A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) )
137 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
1382, 7, 57, 137, 26lno0 26409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  ( T `  ( 0vec `  U ) )  =  ( 0vec `  W
) )
1391, 6, 25, 138mp3an 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T `
 ( 0vec `  U
) )  =  (
0vec `  W )
140139fveq2i 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  =  ( ( normCV `  W ) `  ( 0vec `  W ) )
141137, 32nvz0 26309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( 0vec `  W ) )  =  0 )
1426, 141ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
normCV
`  W ) `  ( 0vec `  W )
)  =  0
143140, 142eqtri 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  =  0
144 0le0 10706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  0
145143, 144eqbrtri 4425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  <_  0
14617rpcnd 11350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  y )  e.  CC )
14757, 21nvz0 26309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( ( normCV `  U ) `  ( 0vec `  U ) )  =  0 )
1481, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
normCV
`  U ) `  ( 0vec `  U )
)  =  0
149148oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  ( 0vec `  U ) ) )  =  ( ( 1  /  y )  x.  0 )
150 mul01 9817 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  y )  e.  CC  ->  (
( 1  /  y
)  x.  0 )  =  0 )
151149, 150syl5eq 2499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  y )  e.  CC  ->  (
( 1  /  y
)  x.  ( (
normCV
`  U ) `  ( 0vec `  U )
) )  =  0 )
152146, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( ( 1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  ( 0vec `  U ) ) )  =  0 )
153145, 152syl5breqr 4442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  <_  ( ( 1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U
) `  ( 0vec `  U ) ) ) )
154153ad3antlr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  X )  /\  A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  <_  ( ( 1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U
) `  ( 0vec `  U ) ) ) )
15550, 136, 154pm2.61ne 2711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  X )  /\  A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) )
156155ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  X
)  ->  ( A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
157156ralrimdva 2808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )  <_ 
1 )  ->  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
15845, 157sylbid 219 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 )  ->  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
159158imp 431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_  y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_  1 ) )  ->  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) )
160 oveq1 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
x  x.  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  =  ( ( 1  / 
y )  x.  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )
161160breq2d 4417 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
( ( normCV `  W
) `  ( T `  z ) )  <_ 
( x  x.  (
( normCV `  U ) `  z ) )  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
162161ralbidv 2829 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  z ) )  <_ 
( x  x.  (
( normCV `  U ) `  z ) )  <->  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
163162rspcev 3152 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  y
)  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) )
16419, 159, 163syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_  y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_  1 ) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) )
165164ex 436 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) ) )
166165rexlimdva 2881 . . . 4  |-  ( P  e.  X  ->  ( E. y  e.  RR+  A. x  e.  X  ( (
x C P )  <_  y  ->  (
( T `  x
) D ( T `
 P ) )  <_  1 )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) ) )
16716, 166syl5 33 . . 3  |-  ( P  e.  X  ->  ( T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) ) )
168167imp 431 . 2  |-  ( ( P  e.  X  /\  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) )
169 blocni.5 . . . 4  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
1702, 21, 32, 26, 169, 1, 6isblo3i 26454 . . 3  |-  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) ) )
17125, 170mpbiran 930 . 2  |-  ( T  e.  B  <->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) )
172168, 171sylibr 216 1  |-  ( ( P  e.  X  /\  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  T  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   class class class wbr 4405   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545    x. cmul 9549    < clt 9680    <_ cle 9681    / cdiv 10276   RR+crp 11309   *Metcxmt 18967   MetOpencmopn 18972    CnP ccnp 20253   NrmCVeccnv 26215   +vcpv 26216   BaseSetcba 26217   .sOLDcns 26218   0veccn0v 26219   -vcnsb 26220   normCVcnmcv 26221   IndMetcims 26222    LnOp clno 26393    BLnOp cblo 26395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-seq 12221  df-exp 12280  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-topgen 15354  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-cnp 20256  df-grpo 25931  df-gid 25932  df-ginv 25933  df-gdiv 25934  df-ablo 26022  df-vc 26177  df-nv 26223  df-va 26226  df-ba 26227  df-sm 26228  df-0v 26229  df-vs 26230  df-nmcv 26231  df-ims 26232  df-lno 26397  df-nmoo 26398  df-blo 26399  df-0o 26400
This theorem is referenced by:  blocni  26458  lnocni  26459
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