Theorem blocnilem 25542

Description: Lemma for blocni 25543 and lnocni 25544. If a linear operator is continuous at any point, it is bounded. (Contributed by NM, 17-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
blocni.8	|- C = ( IndMet ` U )
blocni.d	|- D = ( IndMet ` W )
blocni.j	|- J = ( MetOpen ` C )
blocni.k	|- K = ( MetOpen ` D )
blocni.4	|- L = ( U LnOp W )
blocni.5	|- B = ( U BLnOp W )
blocni.u	|- U e. NrmCVec
blocni.w	|- W e. NrmCVec
blocni.l	|- T e. L
blocnilem.1	|- X = ( BaseSet ` U )

Assertion

Ref	Expression
blocnilem	|- ( ( P e. X /\ T e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> T e. B )

Proof of Theorem blocnilem

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blocni.u	. . . . . 6 |- U e. NrmCVec
2		blocnilem.1	. . . . . . 7 |- X = ( BaseSet ` U )
3		blocni.8	. . . . . . 7 |- C = ( IndMet ` U )
4	2, 3	imsxmet 25421	. . . . . 6 |- ( U e. NrmCVec -> C e. ( *Met ` X ) )
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- C e. ( *Met ` X )
6		blocni.w	. . . . . 6 |- W e. NrmCVec
7		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( BaseSet ` W ) = ( BaseSet ` W )
8		blocni.d	. . . . . . 7 |- D = ( IndMet ` W )
9	7, 8	imsxmet 25421	. . . . . 6 |- ( W e. NrmCVec -> D e. ( *Met ` ( BaseSet ` W ) ) )
10	6, 9	ax-mp 5	. . . . 5 |- D e. ( *Met ` ( BaseSet ` W ) )
11		1rp 11236	. . . . . 6 |- 1 e. RR+
12		blocni.j	. . . . . . 7 |- J = ( MetOpen ` C )
13		blocni.k	. . . . . . 7 |- K = ( MetOpen ` D )
14	12, 13	metcnpi3 20917	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` ( BaseSet ` W ) ) ) /\ ( T e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ 1 e. RR+ ) ) -> E. y e. RR+ A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) )
15	11, 14	mpanr2 684	. . . . 5 |- ( ( ( C e. ( *Met ` X ) /\ D e. ( *Met ` ( BaseSet ` W ) ) ) /\ T e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> E. y e. RR+ A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) )
16	5, 10, 15	mpanl12 682	. . . 4 |- ( T e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> E. y e. RR+ A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) )
17		rpreccl 11255	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> ( 1 / y ) e. RR+ )
18	17	rpred 11268	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR+ -> ( 1 / y ) e. RR )
19	18	ad2antlr 726	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) ) -> ( 1 / y ) e. RR )
20		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -v ` U ) = ( -v ` U )
21		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( normCV ` U ) = ( normCV ` U )
22	2, 20, 21, 3	imsdval 25415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. X /\ P e. X ) -> ( x C P ) = ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) )
23	1, 22	mp3an1 1311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ P e. X ) -> ( x C P ) = ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) )
24	23	breq1d 4463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. X /\ P e. X ) -> ( ( x C P ) <_ y <-> ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y ) )
25		blocni.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- T e. L
26		blocni.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- L = ( U LnOp W )
27	2, 7, 26	lnof 25493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) -> T : X --> ( BaseSet ` W ) )
28	1, 6, 25, 27	mp3an 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- T : X --> ( BaseSet ` W )
29	28	ffvelrni 6031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. X -> ( T ` x ) e. ( BaseSet ` W ) )
30	28	ffvelrni 6031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. X -> ( T ` P ) e. ( BaseSet ` W ) )
31		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -v ` W ) = ( -v ` W )
32		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( normCV ` W ) = ( normCV ` W )
33	7, 31, 32, 8	imsdval 25415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( T ` x ) e. ( BaseSet ` W ) /\ ( T ` P ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( ( T ` x ) ( -v ` W ) ( T ` P ) ) ) )
34	6, 33	mp3an1 1311	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T ` x ) e. ( BaseSet ` W ) /\ ( T ` P ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( ( T ` x ) ( -v ` W ) ( T ` P ) ) ) )
35	29, 30, 34	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ P e. X ) -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( ( T ` x ) ( -v ` W ) ( T ` P ) ) ) )
36	1, 6, 25	3pm3.2i 1174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L )
37	2, 20, 31, 26	lnosub 25497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( x e. X /\ P e. X ) ) -> ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) = ( ( T ` x ) ( -v ` W ) ( T ` P ) ) )
38	36, 37	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. X /\ P e. X ) -> ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) = ( ( T ` x ) ( -v ` W ) ( T ` P ) ) )
39	38	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. X /\ P e. X ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( ( T ` x ) ( -v ` W ) ( T ` P ) ) ) )
40	35, 39	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. X /\ P e. X ) -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) )
41	40	breq1d 4463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. X /\ P e. X ) -> ( ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 <-> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) )
42	24, 41	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. X /\ P e. X ) -> ( ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) <-> ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) )
43	42	ancoms 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. X /\ x e. X ) -> ( ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) <-> ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) )
44	43	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) <-> ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) )
45	44	ralbidva 2903	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) -> ( A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) <-> A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) )
46		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( 0vec ` U ) -> ( T ` z ) = ( T ` ( 0vec ` U ) ) )
47	46	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( 0vec ` U ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) )
48		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( 0vec ` U ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) = ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) )
49	48	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( 0vec ` U ) -> ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) = ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) ) )
50	47, 49	breq12d 4466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( 0vec ` U ) -> ( ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) <-> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) ) ) )
51	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> U e. NrmCVec )
52		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> P e. X )
53		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
54	2, 21	nvcl 25385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. X ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR )
55	1, 54	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z e. X -> ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR )
56	55	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR )
57		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( 0vec ` U ) = ( 0vec ` U )
58	2, 57, 21	nvgt0 25401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. X ) -> ( z =/= ( 0vec ` U ) <-> 0 < ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
59	1, 58	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z e. X -> ( z =/= ( 0vec ` U ) <-> 0 < ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
60	59	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) -> 0 < ( ( normCV ` U ) ` z ) )
61	56, 60	elrpd 11266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR+ )
62		rpdivcl 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( y e. RR+ /\ ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR+ ) -> ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. RR+ )
63	53, 61, 62	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. RR+ )
64	63	rpcnd 11270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. CC )
65		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> z e. X )
66		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( .sOLD ` U ) = ( .sOLD ` U )
67	2, 66	nvscl 25344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. CC /\ z e. X ) -> ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) e. X )
68	51, 64, 65, 67	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) e. X )
69		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( +v ` U ) = ( +v ` U )
70	2, 69, 20	nvpncan2 25374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( U e. NrmCVec /\ P e. X /\ ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) e. X ) -> ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) )
71	51, 52, 68, 70	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) )
72	71	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) = ( ( normCV ` U ) ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) )
73	63	rprege0d 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. RR /\ 0 <_ ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
74	2, 66, 21	nvsge0 25389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. RR /\ 0 <_ ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) /\ z e. X ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
75	51, 73, 65, 74	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
76		rpcn 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. RR+ -> y e. CC )
77	76	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> y e. CC )
78	55	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR )
79	78	recnd 9634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) e. CC )
80	2, 57, 21	nvz 25395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. X ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` z ) = 0 <-> z = ( 0vec ` U ) ) )
81	1, 80	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. X -> ( ( ( normCV ` U ) ` z ) = 0 <-> z = ( 0vec ` U ) ) )
82	81	necon3bid 2725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z e. X -> ( ( ( normCV ` U ) ` z ) =/= 0 <-> z =/= ( 0vec ` U ) ) )
83	82	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) =/= 0 )
84	83	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` z ) =/= 0 )
85	77, 79, 84	divcan1d 10333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) = y )
86	72, 75, 85	3eqtrd 2512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) = y )
87		rpre 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
88	87	leidd 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. RR+ -> y <_ y )
89	88	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> y <_ y )
90	86, 89	eqbrtrd 4473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) <_ y )
91	2, 69	nvgcl 25336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. NrmCVec /\ P e. X /\ ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) e. X ) -> ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) e. X )
92	51, 52, 68, 91	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) e. X )
93		oveq1 6302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) -> ( x ( -v ` U ) P ) = ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) )
94	93	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) = ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) )
95	94	breq1d 4463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y <-> ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) <_ y ) )
96	93	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) -> ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) = ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) )
97	96	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) )
98	97	breq1d 4463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) -> ( ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 <-> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) )
99	95, 98	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) -> ( ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) <-> ( ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) )
100	99	rspcv 3215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) e. X -> ( A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) )
101	92, 100	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) )
102	90, 101	mpid 41	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) )
103	28	ffvelrni 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. X -> ( T ` z ) e. ( BaseSet ` W ) )
104	7, 32	nvcl 25385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( T ` z ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) e. RR )
105	6, 103, 104	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. X -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) e. RR )
106	105	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) e. RR )
107		1red 9623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> 1 e. RR )
108	106, 107, 63	lemuldiv2d 11314	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) x. ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) <_ 1 <-> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( 1 / ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) ) )
109	71	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) = ( T ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) )
110		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( .sOLD ` W ) = ( .sOLD ` W )
111	2, 66, 110, 26	lnomul 25498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) /\ ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. CC /\ z e. X ) ) -> ( T ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` z ) ) )
112	36, 111	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. CC /\ z e. X ) -> ( T ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` z ) ) )
113	64, 65, 112	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( T ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` z ) ) )
114	109, 113	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` z ) ) )
115	114	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` z ) ) ) )
116	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> W e. NrmCVec )
117	103	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( T ` z ) e. ( BaseSet ` W ) )
118	7, 110, 32	nvsge0 25389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) e. RR /\ 0 <_ ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) /\ ( T ` z ) e. ( BaseSet ` W ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` z ) ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) x. ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) )
119	116, 73, 117, 118	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` W ) ( T ` z ) ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) x. ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) )
120	115, 119	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) = ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) x. ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) )
121	120	breq1d 4463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 <-> ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) x. ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) ) <_ 1 ) )
122		rpcnne0 11249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. RR+ -> ( y e. CC /\ y =/= 0 ) )
123		rpcnne0 11249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR+ -> ( ( ( normCV ` U ) ` z ) e. CC /\ ( ( normCV ` U ) ` z ) =/= 0 ) )
124		recdiv 10262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= 0 ) /\ ( ( ( normCV ` U ) ` z ) e. CC /\ ( ( normCV ` U ) ` z ) =/= 0 ) ) -> ( 1 / ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) = ( ( ( normCV ` U ) ` z ) / y ) )
125	122, 123, 124	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. RR+ /\ ( ( normCV ` U ) ` z ) e. RR+ ) -> ( 1 / ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) = ( ( ( normCV ` U ) ` z ) / y ) )
126	53, 61, 125	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( 1 / ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) = ( ( ( normCV ` U ) ` z ) / y ) )
127		rpne0 11247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. RR+ -> y =/= 0 )
128	127	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> y =/= 0 )
129	79, 77, 128	divrec2d 10336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( ( normCV ` U ) ` z ) / y ) = ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
130	126, 129	eqtr2d 2509	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) = ( 1 / ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
131	130	breq2d 4465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) <-> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( 1 / ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) ) )
132	108, 121, 131	3bitr4d 285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( ( P ( +v ` U ) ( ( y / ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ( .sOLD ` U ) z ) ) ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 <-> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
133	102, 132	sylibd 214	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ ( z e. X /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) ) -> ( A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
134	133	anassrs 648	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ z e. X ) /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
135	134	imp 429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ z e. X ) /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) /\ A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
136	135	an32s 802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ z e. X ) /\ A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) /\ z =/= ( 0vec ` U ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
137		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0vec ` W ) = ( 0vec ` W )
138	2, 7, 57, 137, 26	lno0 25494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. NrmCVec /\ T e. L ) -> ( T ` ( 0vec ` U ) ) = ( 0vec ` W ) )
139	1, 6, 25, 138	mp3an 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( T ` ( 0vec ` U ) ) = ( 0vec ` W )
140	139	fveq2i 5875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) = ( ( normCV ` W ) ` ( 0vec ` W ) )
141	137, 32	nvz0 25394	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( W e. NrmCVec -> ( ( normCV ` W ) ` ( 0vec ` W ) ) = 0 )
142	6, 141	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( normCV ` W ) ` ( 0vec ` W ) ) = 0
143	140, 142	eqtri 2496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) = 0
144		0le0 10637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 <_ 0
145	143, 144	eqbrtri 4472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) <_ 0
146	17	rpcnd 11270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR+ -> ( 1 / y ) e. CC )
147	57, 21	nvz0 25394	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. NrmCVec -> ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) = 0 )
148	1, 147	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) = 0
149	148	oveq2i 6306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) ) = ( ( 1 / y ) x. 0 )
150		mul01 9770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 / y ) e. CC -> ( ( 1 / y ) x. 0 ) = 0 )
151	149, 150	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 / y ) e. CC -> ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) ) = 0 )
152	146, 151	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR+ -> ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) ) = 0 )
153	145, 152	syl5breqr 4489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR+ -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) ) )
154	153	ad3antlr 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ z e. X ) /\ A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( 0vec ` U ) ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` ( 0vec ` U ) ) ) )
155	50, 136, 154	pm2.61ne 2782	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ z e. X ) /\ A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
156	155	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ z e. X ) -> ( A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
157	156	ralrimdva 2885	. . . . . . . . 9 |- ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) -> ( A. x e. X ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) P ) ) <_ y -> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` ( x ( -v ` U ) P ) ) ) <_ 1 ) -> A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
158	45, 157	sylbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) -> ( A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) -> A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
159	158	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) ) -> A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
160		oveq1 6302	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) = ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
161	160	breq2d 4465	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) <-> ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
162	161	ralbidv 2906	. . . . . . . 8 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) <-> A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
163	162	rspcev 3219	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 / y ) e. RR /\ A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( ( 1 / y ) x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) -> E. x e. RR A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
164	19, 159, 163	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) /\ A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) ) -> E. x e. RR A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
165	164	ex 434	. . . . 5 |- ( ( P e. X /\ y e. RR+ ) -> ( A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) -> E. x e. RR A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
166	165	rexlimdva 2959	. . . 4 |- ( P e. X -> ( E. y e. RR+ A. x e. X ( ( x C P ) <_ y -> ( ( T ` x ) D ( T ` P ) ) <_ 1 ) -> E. x e. RR A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
167	16, 166	syl5 32	. . 3 |- ( P e. X -> ( T e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> E. x e. RR A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
168	167	imp 429	. 2 |- ( ( P e. X /\ T e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> E. x e. RR A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
169		blocni.5	. . . 4 |- B = ( U BLnOp W )
170	2, 21, 32, 26, 169, 1, 6	isblo3i 25539	. . 3 |- ( T e. B <-> ( T e. L /\ E. x e. RR A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) ) )
171	25, 170	mpbiran 916	. 2 |- ( T e. B <-> E. x e. RR A. z e. X ( ( normCV ` W ) ` ( T ` z ) ) <_ ( x x. ( ( normCV ` U ) ` z ) ) )
172	168, 171	sylibr 212	1 |- ( ( P e. X /\ T e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> T e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   class class class wbr 4453   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505   x. cmul 9509   < clt 9640   <_ cle 9641   / cdiv 10218   RR+crp 11232   *Metcxmt 18273   MetOpencmopn 18278   CnP ccnp 19594   NrmCVeccnv 25300   +vcpv 25301   BaseSetcba 25302   .sOLDcns 25303   0veccn0v 25304   -vcnsb 25305   norm_CVcnmcv 25306   IndMetcims 25307   LnOp clno 25478   BLnOp cblo 25480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-cnp 19597  df-grpo 25016  df-gid 25017  df-ginv 25018  df-gdiv 25019  df-ablo 25107  df-vc 25262  df-nv 25308  df-va 25311  df-ba 25312  df-sm 25313  df-0v 25314  df-vs 25315  df-nmcv 25316  df-ims 25317  df-lno 25482  df-nmoo 25483  df-blo 25484  df-0o 25485

This theorem is referenced by:  blocni  25543  lnocni  25544