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Theorem blocni 25921
Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. Theorem 2.7-9(a) of [Kreyszig] p. 97. (Contributed by NM, 18-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blocni.8  |-  C  =  ( IndMet `  U )
blocni.d  |-  D  =  ( IndMet `  W )
blocni.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
blocni.k  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
blocni.4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
blocni.5  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
blocni.u  |-  U  e.  NrmCVec
blocni.w  |-  W  e.  NrmCVec
blocni.l  |-  T  e.  L
Assertion
Ref Expression
blocni  |-  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  T  e.  B )

Proof of Theorem blocni
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blocni.u . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
2 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
3 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
42, 3nvzcl 25730 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  U
)  e.  ( BaseSet `  U ) )
51, 4ax-mp 5 . . 3  |-  ( 0vec `  U )  e.  (
BaseSet `  U )
6 blocni.8 . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( IndMet `  U )
72, 6imsmet 25798 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U ) ) )
81, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  C  e.  ( Met `  ( BaseSet
`  U ) )
9 metxmet 21006 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( Met `  ( BaseSet
`  U ) )  ->  C  e.  ( *Met `  ( BaseSet
`  U ) ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  C  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  U )
)
11 blocni.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
1211mopntopon 21111 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  U )
)  ->  J  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  U
) ) )
1310, 12ax-mp 5 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  U
) )
1413toponunii 19603 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  U )  =  U. J
1514cncnpi 19949 . . . 4  |-  ( ( T  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( 0vec `  U )  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  ( 0vec `  U ) ) )
165, 15mpan2 669 . . 3  |-  ( T  e.  ( J  Cn  K )  ->  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  ( 0vec `  U ) ) )
17 blocni.d . . . 4  |-  D  =  ( IndMet `  W )
18 blocni.k . . . 4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
19 blocni.4 . . . 4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
20 blocni.5 . . . 4  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
21 blocni.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
22 blocni.l . . . 4  |-  T  e.  L
236, 17, 11, 18, 19, 20, 1, 21, 22, 2blocnilem 25920 . . 3  |-  ( ( ( 0vec `  U
)  e.  ( BaseSet `  U )  /\  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  ( 0vec `  U ) ) )  ->  T  e.  B
)
245, 16, 23sylancr 661 . 2  |-  ( T  e.  ( J  Cn  K )  ->  T  e.  B )
25 eleq1 2526 . . 3  |-  ( T  =  ( U  0op  W )  ->  ( T  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( U  0op  W )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
26 simprr 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  RR+ )
27 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
28 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U
normOpOLD W )  =  ( U normOpOLD W
)
292, 27, 28, 20nmblore 25902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  (
( U normOpOLD W
) `  T )  e.  RR )
301, 21, 29mp3an12 1312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  B  ->  (
( U normOpOLD W
) `  T )  e.  RR )
31 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  0op  W )  =  ( U  0op  W
)
3228, 31, 19nmlnogt0 25913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  ( T  =/=  ( U  0op  W )  <->  0  <  (
( U normOpOLD W
) `  T )
) )
331, 21, 22, 32mp3an 1322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  =/=  ( U  0op  W )  <->  0  <  (
( U normOpOLD W
) `  T )
)
3433biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  =/=  ( U  0op  W )  ->  0  <  ( ( U normOpOLD W
) `  T )
)
3530, 34anim12i 564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  ->  (
( ( U normOpOLD W ) `  T
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( U
normOpOLD W ) `  T ) ) )
36 elrp 11223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U normOpOLD W
) `  T )  e.  RR+  <->  ( ( ( U normOpOLD W ) `  T )  e.  RR  /\  0  <  ( ( U normOpOLD W ) `  T ) ) )
3735, 36sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  ->  (
( U normOpOLD W
) `  T )  e.  RR+ )
3837adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  ( ( U normOpOLD W ) `  T )  e.  RR+ )
3926, 38rpdivcld 11276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  ( y  /  ( ( U
normOpOLD W ) `  T ) )  e.  RR+ )
40 simprl 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  x  e.  ( BaseSet `  U )
)
41 metcl 21004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U )
)  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x C w )  e.  RR )
428, 41mp3an1 1309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( x C w )  e.  RR )
4340, 42sylan 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( x C w )  e.  RR )
44 simplrr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
y  e.  RR+ )
4544rpred 11259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
y  e.  RR )
4635ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( ( U
normOpOLD W ) `  T )  e.  RR  /\  0  <  ( ( U normOpOLD W ) `  T ) ) )
47 ltmuldiv2 10412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x C w )  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  (
( ( U normOpOLD W ) `  T
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( U
normOpOLD W ) `  T ) ) )  ->  ( ( ( ( U normOpOLD W
) `  T )  x.  ( x C w ) )  <  y  <->  ( x C w )  <  ( y  / 
( ( U normOpOLD W ) `  T
) ) ) )
4843, 45, 46, 47syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( ( ( U normOpOLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  <  y  <->  ( x C w )  < 
( y  /  (
( U normOpOLD W
) `  T )
) ) )
49 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  B  /\  x  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( T  e.  B  /\  x  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )
5049ad2ant2r 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  ( T  e.  B  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )
) )
512, 27, 6, 17, 28, 20, 1, 21blometi 25919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  B  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <_ 
( ( ( U
normOpOLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) ) )
52513expa 1194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  x  e.  ( BaseSet
`  U ) )  /\  w  e.  (
BaseSet `  U ) )  ->  ( ( T `
 x ) D ( T `  w
) )  <_  (
( ( U normOpOLD W ) `  T
)  x.  ( x C w ) ) )
5350, 52sylan 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <_  ( (
( U normOpOLD W
) `  T )  x.  ( x C w ) ) )
542, 27, 19lnof 25871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
) )
551, 21, 22, 54mp3an 1322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T :
( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )
5655ffvelrni 6006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( BaseSet `  U
)  ->  ( T `  x )  e.  (
BaseSet `  W ) )
5755ffvelrni 6006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( BaseSet `  U
)  ->  ( T `  w )  e.  (
BaseSet `  W ) )
5827, 17imsmet 25798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( Met `  ( BaseSet `  W ) ) )
5921, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  e.  ( Met `  ( BaseSet
`  W ) )
60 metcl 21004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  ( BaseSet `  W )
)  /\  ( T `  x )  e.  (
BaseSet `  W )  /\  ( T `  w )  e.  ( BaseSet `  W
) )  ->  (
( T `  x
) D ( T `
 w ) )  e.  RR )
6159, 60mp3an1 1309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ( BaseSet `  W )  /\  ( T `  w )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  e.  RR )
6256, 57, 61syl2an 475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  e.  RR )
6340, 62sylan 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  e.  RR )
64 remulcl 9566 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( U normOpOLD W ) `  T
)  e.  RR  /\  ( x C w )  e.  RR )  ->  ( ( ( U normOpOLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  e.  RR )
6530, 42, 64syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  B  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  ->  ( ( ( U normOpOLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  e.  RR )
6665anassrs 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  x  e.  ( BaseSet
`  U ) )  /\  w  e.  (
BaseSet `  U ) )  ->  ( ( ( U normOpOLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  e.  RR )
6766adantllr 716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )
)  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
( U normOpOLD W
) `  T )  x.  ( x C w ) )  e.  RR )
6867adantlrr 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( ( U
normOpOLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  e.  RR )
69 lelttr 9664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  e.  RR  /\  ( ( ( U
normOpOLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <_ 
( ( ( U
normOpOLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  /\  ( ( ( U normOpOLD W
) `  T )  x.  ( x C w ) )  <  y
)  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  < 
y ) )
7063, 68, 45, 69syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <_ 
( ( ( U
normOpOLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  /\  ( ( ( U normOpOLD W
) `  T )  x.  ( x C w ) )  <  y
)  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  < 
y ) )
7153, 70mpand 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( ( ( U normOpOLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  <  y  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) )
7248, 71sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( x C w )  <  (
y  /  ( ( U normOpOLD W ) `  T ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) )
7372ralrimiva 2868 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C w )  <  (
y  /  ( ( U normOpOLD W ) `  T ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) )
74 breq2 4443 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( y  / 
( ( U normOpOLD W ) `  T
) )  ->  (
( x C w )  <  z  <->  ( x C w )  < 
( y  /  (
( U normOpOLD W
) `  T )
) ) )
7574imbi1d 315 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( y  / 
( ( U normOpOLD W ) `  T
) )  ->  (
( ( x C w )  <  z  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y )  <-> 
( ( x C w )  <  (
y  /  ( ( U normOpOLD W ) `  T ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) ) )
7675ralbidv 2893 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( y  / 
( ( U normOpOLD W ) `  T
) )  ->  ( A. w  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( x C w )  <  z  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y )  <->  A. w  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( x C w )  <  ( y  /  ( ( U
normOpOLD W ) `  T ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) ) )
7776rspcev 3207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  /  (
( U normOpOLD W
) `  T )
)  e.  RR+  /\  A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( x C w )  <  ( y  / 
( ( U normOpOLD W ) `  T
) )  ->  (
( T `  x
) D ( T `
 w ) )  <  y ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( x C w )  <  z  ->  (
( T `  x
) D ( T `
 w ) )  <  y ) )
7839, 73, 77syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C w )  <  z  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) )
7978ralrimivva 2875 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  ->  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C w )  <  z  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) )
8079, 55jctil 535 . . . 4  |-  ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  ->  ( T : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C w )  <  z  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) ) )
81 metxmet 21006 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( Met `  ( BaseSet
`  W ) )  ->  D  e.  ( *Met `  ( BaseSet
`  W ) ) )
8259, 81ax-mp 5 . . . . 5  |-  D  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  W )
)
8311, 18metcn 21215 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  U ) )  /\  D  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  W
) ) )  -> 
( T  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( T : (
BaseSet `  U ) --> (
BaseSet `  W )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  (
BaseSet `  U ) ( ( x C w )  <  z  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) ) ) )
8410, 82, 83mp2an 670 . . . 4  |-  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( T : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C w )  <  z  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) ) )
8580, 84sylibr 212 . . 3  |-  ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  ->  T  e.  ( J  Cn  K
) )
86 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
872, 86, 310ofval 25903 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( U  0op  W )  =  ( ( BaseSet `  U
)  X.  { (
0vec `  W ) } ) )
881, 21, 87mp2an 670 . . . . 5  |-  ( U  0op  W )  =  ( ( BaseSet `  U
)  X.  { (
0vec `  W ) } )
8918mopntopon 21111 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  W )
)  ->  K  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W
) ) )
9082, 89ax-mp 5 . . . . . 6  |-  K  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W
) )
9127, 86nvzcl 25730 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  W
)  e.  ( BaseSet `  W ) )
9221, 91ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 0vec `  W )  e.  (
BaseSet `  W )
93 cnconst2 19954 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  U )
)  /\  K  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W
) )  /\  ( 0vec `  W )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( BaseSet
`  U )  X. 
{ ( 0vec `  W
) } )  e.  ( J  Cn  K
) )
9413, 90, 92, 93mp3an 1322 . . . . 5  |-  ( (
BaseSet `  U )  X. 
{ ( 0vec `  W
) } )  e.  ( J  Cn  K
)
9588, 94eqeltri 2538 . . . 4  |-  ( U  0op  W )  e.  ( J  Cn  K
)
9695a1i 11 . . 3  |-  ( T  e.  B  ->  ( U  0op  W )  e.  ( J  Cn  K
) )
9725, 85, 96pm2.61ne 2769 . 2  |-  ( T  e.  B  ->  T  e.  ( J  Cn  K
) )
9824, 97impbii 188 1  |-  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  T  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {csn 4016   class class class wbr 4439    X. cxp 4986   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    / cdiv 10202   RR+crp 11221   *Metcxmt 18601   Metcme 18602   MetOpencmopn 18606  TopOnctopon 19565    Cn ccn 19895    CnP ccnp 19896   NrmCVeccnv 25678   BaseSetcba 25680   0veccn0v 25682   IndMetcims 25685    LnOp clno 25856   normOpOLDcnmoo 25857    BLnOp cblo 25858    0op c0o 25859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-seq 12093  df-exp 12152  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-topgen 14936  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-grpo 25394  df-gid 25395  df-ginv 25396  df-gdiv 25397  df-ablo 25485  df-vc 25640  df-nv 25686  df-va 25689  df-ba 25690  df-sm 25691  df-0v 25692  df-vs 25693  df-nmcv 25694  df-ims 25695  df-lno 25860  df-nmoo 25861  df-blo 25862  df-0o 25863
This theorem is referenced by:  lnocni  25922  blocn  25923
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