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Theorem blocni 24340
Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. Theorem 2.7-9(a) of [Kreyszig] p. 97. (Contributed by NM, 18-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blocni.8  |-  C  =  ( IndMet `  U )
blocni.d  |-  D  =  ( IndMet `  W )
blocni.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
blocni.k  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
blocni.4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
blocni.5  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
blocni.u  |-  U  e.  NrmCVec
blocni.w  |-  W  e.  NrmCVec
blocni.l  |-  T  e.  L
Assertion
Ref Expression
blocni  |-  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  T  e.  B )

Proof of Theorem blocni
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blocni.u . . . 4  |-  U  e.  NrmCVec
2 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  U )  =  (
BaseSet `  U )
3 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
42, 3nvzcl 24149 . . . 4  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  U
)  e.  ( BaseSet `  U ) )
51, 4ax-mp 5 . . 3  |-  ( 0vec `  U )  e.  (
BaseSet `  U )
6 blocni.8 . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( IndMet `  U )
72, 6imsmet 24217 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U ) ) )
81, 7ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  C  e.  ( Met `  ( BaseSet
`  U ) )
9 metxmet 20025 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( Met `  ( BaseSet
`  U ) )  ->  C  e.  ( *Met `  ( BaseSet
`  U ) ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  C  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  U )
)
11 blocni.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
1211mopntopon 20130 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  U )
)  ->  J  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  U
) ) )
1310, 12ax-mp 5 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  U
) )
1413toponunii 18653 . . . . 5  |-  ( BaseSet `  U )  =  U. J
1514cncnpi 18998 . . . 4  |-  ( ( T  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( 0vec `  U )  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  ( 0vec `  U ) ) )
165, 15mpan2 671 . . 3  |-  ( T  e.  ( J  Cn  K )  ->  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  ( 0vec `  U ) ) )
17 blocni.d . . . 4  |-  D  =  ( IndMet `  W )
18 blocni.k . . . 4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
19 blocni.4 . . . 4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
20 blocni.5 . . . 4  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
21 blocni.w . . . 4  |-  W  e.  NrmCVec
22 blocni.l . . . 4  |-  T  e.  L
236, 17, 11, 18, 19, 20, 1, 21, 22, 2blocnilem 24339 . . 3  |-  ( ( ( 0vec `  U
)  e.  ( BaseSet `  U )  /\  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  ( 0vec `  U ) ) )  ->  T  e.  B
)
245, 16, 23sylancr 663 . 2  |-  ( T  e.  ( J  Cn  K )  ->  T  e.  B )
25 eleq1 2523 . . 3  |-  ( T  =  ( U  0op  W )  ->  ( T  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( U  0op  W )  e.  ( J  Cn  K ) ) )
26 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  RR+ )
27 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
28 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U
normOpOLD W )  =  ( U normOpOLD W
)
292, 27, 28, 20nmblore 24321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  B )  ->  (
( U normOpOLD W
) `  T )  e.  RR )
301, 21, 29mp3an12 1305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  B  ->  (
( U normOpOLD W
) `  T )  e.  RR )
31 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U  0op  W )  =  ( U  0op  W
)
3228, 31, 19nmlnogt0 24332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  ( T  =/=  ( U  0op  W )  <->  0  <  (
( U normOpOLD W
) `  T )
) )
331, 21, 22, 32mp3an 1315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  =/=  ( U  0op  W )  <->  0  <  (
( U normOpOLD W
) `  T )
)
3433biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  =/=  ( U  0op  W )  ->  0  <  ( ( U normOpOLD W
) `  T )
)
3530, 34anim12i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  ->  (
( ( U normOpOLD W ) `  T
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( U
normOpOLD W ) `  T ) ) )
36 elrp 11094 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U normOpOLD W
) `  T )  e.  RR+  <->  ( ( ( U normOpOLD W ) `  T )  e.  RR  /\  0  <  ( ( U normOpOLD W ) `  T ) ) )
3735, 36sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  ->  (
( U normOpOLD W
) `  T )  e.  RR+ )
3837adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  ( ( U normOpOLD W ) `  T )  e.  RR+ )
3926, 38rpdivcld 11145 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  ( y  /  ( ( U
normOpOLD W ) `  T ) )  e.  RR+ )
40 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  x  e.  ( BaseSet `  U )
)
41 metcl 20023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( Met `  ( BaseSet `  U )
)  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet
`  U ) )  ->  ( x C w )  e.  RR )
428, 41mp3an1 1302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( x C w )  e.  RR )
4340, 42sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( x C w )  e.  RR )
44 simplrr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
y  e.  RR+ )
4544rpred 11128 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
y  e.  RR )
4635ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( ( U
normOpOLD W ) `  T )  e.  RR  /\  0  <  ( ( U normOpOLD W ) `  T ) ) )
47 ltmuldiv2 10304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x C w )  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  (
( ( U normOpOLD W ) `  T
)  e.  RR  /\  0  <  ( ( U
normOpOLD W ) `  T ) ) )  ->  ( ( ( ( U normOpOLD W
) `  T )  x.  ( x C w ) )  <  y  <->  ( x C w )  <  ( y  / 
( ( U normOpOLD W ) `  T
) ) ) )
4843, 45, 46, 47syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( ( ( U normOpOLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  <  y  <->  ( x C w )  < 
( y  /  (
( U normOpOLD W
) `  T )
) ) )
49 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  B  /\  x  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( T  e.  B  /\  x  e.  ( BaseSet
`  U ) ) )
5049ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  ( T  e.  B  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )
) )
512, 27, 6, 17, 28, 20, 1, 21blometi 24338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  B  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <_ 
( ( ( U
normOpOLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) ) )
52513expa 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  x  e.  ( BaseSet
`  U ) )  /\  w  e.  (
BaseSet `  U ) )  ->  ( ( T `
 x ) D ( T `  w
) )  <_  (
( ( U normOpOLD W ) `  T
)  x.  ( x C w ) ) )
5350, 52sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <_  ( (
( U normOpOLD W
) `  T )  x.  ( x C w ) ) )
542, 27, 19lnof 24290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
) )
551, 21, 22, 54mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T :
( BaseSet `  U ) --> ( BaseSet `  W )
5655ffvelrni 5941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( BaseSet `  U
)  ->  ( T `  x )  e.  (
BaseSet `  W ) )
5755ffvelrni 5941 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( BaseSet `  U
)  ->  ( T `  w )  e.  (
BaseSet `  W ) )
5827, 17imsmet 24217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( Met `  ( BaseSet `  W ) ) )
5921, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  e.  ( Met `  ( BaseSet
`  W ) )
60 metcl 20023 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( Met `  ( BaseSet `  W )
)  /\  ( T `  x )  e.  (
BaseSet `  W )  /\  ( T `  w )  e.  ( BaseSet `  W
) )  ->  (
( T `  x
) D ( T `
 w ) )  e.  RR )
6159, 60mp3an1 1302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ( BaseSet `  W )  /\  ( T `  w )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  e.  RR )
6256, 57, 61syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  e.  RR )
6340, 62sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  e.  RR )
64 remulcl 9468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( U normOpOLD W ) `  T
)  e.  RR  /\  ( x C w )  e.  RR )  ->  ( ( ( U normOpOLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  e.  RR )
6530, 42, 64syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  B  /\  ( x  e.  ( BaseSet
`  U )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) ) )  ->  ( ( ( U normOpOLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  e.  RR )
6665anassrs 648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  x  e.  ( BaseSet
`  U ) )  /\  w  e.  (
BaseSet `  U ) )  ->  ( ( ( U normOpOLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  e.  RR )
6766adantllr 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  x  e.  ( BaseSet `  U )
)  /\  w  e.  ( BaseSet `  U )
)  ->  ( (
( U normOpOLD W
) `  T )  x.  ( x C w ) )  e.  RR )
6867adantlrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( ( U
normOpOLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  e.  RR )
69 lelttr 9566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  e.  RR  /\  ( ( ( U
normOpOLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <_ 
( ( ( U
normOpOLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  /\  ( ( ( U normOpOLD W
) `  T )  x.  ( x C w ) )  <  y
)  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  < 
y ) )
7063, 68, 45, 69syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <_ 
( ( ( U
normOpOLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  /\  ( ( ( U normOpOLD W
) `  T )  x.  ( x C w ) )  <  y
)  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  < 
y ) )
7153, 70mpand 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( ( ( U normOpOLD W ) `  T )  x.  (
x C w ) )  <  y  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) )
7248, 71sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W
) )  /\  (
x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  w  e.  ( BaseSet `  U ) )  -> 
( ( x C w )  <  (
y  /  ( ( U normOpOLD W ) `  T ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) )
7372ralrimiva 2822 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C w )  <  (
y  /  ( ( U normOpOLD W ) `  T ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) )
74 breq2 4394 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( y  / 
( ( U normOpOLD W ) `  T
) )  ->  (
( x C w )  <  z  <->  ( x C w )  < 
( y  /  (
( U normOpOLD W
) `  T )
) ) )
7574imbi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( y  / 
( ( U normOpOLD W ) `  T
) )  ->  (
( ( x C w )  <  z  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y )  <-> 
( ( x C w )  <  (
y  /  ( ( U normOpOLD W ) `  T ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) ) )
7675ralbidv 2839 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( y  / 
( ( U normOpOLD W ) `  T
) )  ->  ( A. w  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( x C w )  <  z  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y )  <->  A. w  e.  ( BaseSet
`  U ) ( ( x C w )  <  ( y  /  ( ( U
normOpOLD W ) `  T ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) ) )
7776rspcev 3169 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  /  (
( U normOpOLD W
) `  T )
)  e.  RR+  /\  A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( x C w )  <  ( y  / 
( ( U normOpOLD W ) `  T
) )  ->  (
( T `  x
) D ( T `
 w ) )  <  y ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ( BaseSet `  U ) ( ( x C w )  <  z  ->  (
( T `  x
) D ( T `
 w ) )  <  y ) )
7839, 73, 77syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  /\  ( x  e.  ( BaseSet `  U )  /\  y  e.  RR+ )
)  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C w )  <  z  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) )
7978ralrimivva 2904 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  ->  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C w )  <  z  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) )
8079, 55jctil 537 . . . 4  |-  ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  ->  ( T : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C w )  <  z  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) ) )
81 metxmet 20025 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( Met `  ( BaseSet
`  W ) )  ->  D  e.  ( *Met `  ( BaseSet
`  W ) ) )
8259, 81ax-mp 5 . . . . 5  |-  D  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  W )
)
8311, 18metcn 20234 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  U ) )  /\  D  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  W
) ) )  -> 
( T  e.  ( J  Cn  K )  <-> 
( T : (
BaseSet `  U ) --> (
BaseSet `  W )  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  (
BaseSet `  U ) ( ( x C w )  <  z  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) ) ) )
8410, 82, 83mp2an 672 . . . 4  |-  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( T : ( BaseSet `  U
) --> ( BaseSet `  W
)  /\  A. x  e.  ( BaseSet `  U ) A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  ( BaseSet `  U )
( ( x C w )  <  z  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  w ) )  <  y ) ) )
8580, 84sylibr 212 . . 3  |-  ( ( T  e.  B  /\  T  =/=  ( U  0op  W ) )  ->  T  e.  ( J  Cn  K
) )
86 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
872, 86, 310ofval 24322 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec )  ->  ( U  0op  W )  =  ( ( BaseSet `  U
)  X.  { (
0vec `  W ) } ) )
881, 21, 87mp2an 672 . . . . 5  |-  ( U  0op  W )  =  ( ( BaseSet `  U
)  X.  { (
0vec `  W ) } )
8918mopntopon 20130 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  ( BaseSet `  W )
)  ->  K  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W
) ) )
9082, 89ax-mp 5 . . . . . 6  |-  K  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W
) )
9127, 86nvzcl 24149 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  W
)  e.  ( BaseSet `  W ) )
9221, 91ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( 0vec `  W )  e.  (
BaseSet `  W )
93 cnconst2 19003 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  U )
)  /\  K  e.  (TopOn `  ( BaseSet `  W
) )  /\  ( 0vec `  W )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( BaseSet
`  U )  X. 
{ ( 0vec `  W
) } )  e.  ( J  Cn  K
) )
9413, 90, 92, 93mp3an 1315 . . . . 5  |-  ( (
BaseSet `  U )  X. 
{ ( 0vec `  W
) } )  e.  ( J  Cn  K
)
9588, 94eqeltri 2535 . . . 4  |-  ( U  0op  W )  e.  ( J  Cn  K
)
9695a1i 11 . . 3  |-  ( T  e.  B  ->  ( U  0op  W )  e.  ( J  Cn  K
) )
9725, 85, 96pm2.61ne 2763 . 2  |-  ( T  e.  B  ->  T  e.  ( J  Cn  K
) )
9824, 97impbii 188 1  |-  ( T  e.  ( J  Cn  K )  <->  T  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   {csn 3975   class class class wbr 4390    X. cxp 4936   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   RRcr 9382   0cc0 9383    x. cmul 9388    < clt 9519    <_ cle 9520    / cdiv 10094   RR+crp 11092   *Metcxmt 17910   Metcme 17911   MetOpencmopn 17915  TopOnctopon 18615    Cn ccn 18944    CnP ccnp 18945   NrmCVeccnv 24097   BaseSetcba 24099   0veccn0v 24101   IndMetcims 24104    LnOp clno 24275   normOpOLDcnmoo 24276    BLnOp cblo 24277    0op c0o 24278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-sup 7792  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-seq 11908  df-exp 11967  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-topgen 14484  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-cn 18947  df-cnp 18948  df-grpo 23813  df-gid 23814  df-ginv 23815  df-gdiv 23816  df-ablo 23904  df-vc 24059  df-nv 24105  df-va 24108  df-ba 24109  df-sm 24110  df-0v 24111  df-vs 24112  df-nmcv 24113  df-ims 24114  df-lno 24279  df-nmoo 24280  df-blo 24281  df-0o 24282
This theorem is referenced by:  lnocni  24341  blocn  24342
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