Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blin2 Structured version   Unicode version

Theorem blin2 20667
 Description: Given any two balls and a point in their intersection, there is a ball contained in the intersection with the given center point. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blin2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem blin2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . 3
2 simprl 755 . . 3
3 simplr 754 . . . . 5
4 elin 3687 . . . . 5
53, 4sylib 196 . . . 4
65simpld 459 . . 3
7 blss 20663 . . 3
81, 2, 6, 7syl3anc 1228 . 2
9 simprr 756 . . 3
105simprd 463 . . 3
11 blss 20663 . . 3
121, 9, 10, 11syl3anc 1228 . 2
13 reeanv 3029 . . 3
14 ss2in 3725 . . . . 5
15 inss1 3718 . . . . . . . . . . 11
16 blf 20645 . . . . . . . . . . . . . 14
17 frn 5735 . . . . . . . . . . . . . 14
181, 16, 173syl 20 . . . . . . . . . . . . 13
1918, 2sseldd 3505 . . . . . . . . . . . 12
2019elpwid 4020 . . . . . . . . . . 11
2115, 20syl5ss 3515 . . . . . . . . . 10
2221, 3sseldd 3505 . . . . . . . . 9
231, 22jca 532 . . . . . . . 8
24 rpxr 11223 . . . . . . . . 9
25 rpxr 11223 . . . . . . . . 9
2624, 25anim12i 566 . . . . . . . 8
27 blin 20659 . . . . . . . 8
2823, 26, 27syl2an 477 . . . . . . 7
2928sseq1d 3531 . . . . . 6
30 ifcl 3981 . . . . . . . 8
31 oveq2 6290 . . . . . . . . . . 11
3231sseq1d 3531 . . . . . . . . . 10
3332rspcev 3214 . . . . . . . . 9
3433ex 434 . . . . . . . 8
3530, 34syl 16 . . . . . . 7
3635adantl 466 . . . . . 6
3729, 36sylbid 215 . . . . 5
3814, 37syl5 32 . . . 4
3938rexlimdvva 2962 . . 3
4013, 39syl5bir 218 . 2
418, 12, 40mp2and 679 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wrex 2815   cin 3475   wss 3476  cif 3939  cpw 4010   class class class wbr 4447   cxp 4997   crn 5000  wf 5582  cfv 5586  (class class class)co 6282  cxr 9623   cle 9625  crp 11216  cxmt 18174  cbl 18176 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-bl 18185 This theorem is referenced by:  blbas  20668
 Copyright terms: Public domain W3C validator