Theorem blhalf 15846

Description: A ball of radius R / 2 is contained in a ball of radius R centered at any point inside the smaller ball.

Hypothesis

Ref	Expression
blhalf.1	|- X = dom dom M

Assertion

Ref	Expression
blhalf	|- (((M e. Met /\ Y e. X) /\ (R e. RR+ /\ Z e. (Y( ball ` M)(R / 2)))) -> (Y( ball ` M)(R / 2)) C_ (Z( ball ` M)R))

Proof of Theorem blhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blhalf.1	. . . . . . . 8 |- X = dom dom M
2	1	elbl 9115	. . . . . . 7 |- (((M e. Met /\ Y e. X) /\ ((R / 2) e. RR /\ 0 < (R / 2))) -> (Z e. (Y( ball ` M)(R / 2)) <-> (Z e. X /\ (YMZ) < (R / 2))))
3	1	elbl 9115	. . . . . . 7 |- (((M e. Met /\ Y e. X) /\ ((R / 2) e. RR /\ 0 < (R / 2))) -> (s e. (Y( ball ` M)(R / 2)) <-> (s e. X /\ (YMs) < (R / 2))))
4	2, 3	anbi12d 690	. . . . . 6 |- (((M e. Met /\ Y e. X) /\ ((R / 2) e. RR /\ 0 < (R / 2))) -> ((Z e. (Y( ball ` M)(R / 2)) /\ s e. (Y( ball ` M)(R / 2))) <-> ((Z e. X /\ (YMZ) < (R / 2)) /\ (s e. X /\ (YMs) < (R / 2)))))
5		2re 7163	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
6		2pos 7173	. . . . . . . . 9 |- 0 < 2
7	5, 6	elrpii 7234	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR+
8		rpdivcl 7249	. . . . . . . 8 |- ((R e. RR+ /\ 2 e. RR+) -> (R / 2) e. RR+)
9	7, 8	mpan2 760	. . . . . . 7 |- (R e. RR+ -> (R / 2) e. RR+)
10		rpregt0 7242	. . . . . . 7 |- ((R / 2) e. RR+ -> ((R / 2) e. RR /\ 0 < (R / 2)))
11	9, 10	syl 12	. . . . . 6 |- (R e. RR+ -> ((R / 2) e. RR /\ 0 < (R / 2)))
12	4, 11	sylan2 500	. . . . 5 |- (((M e. Met /\ Y e. X) /\ R e. RR+) -> ((Z e. (Y( ball ` M)(R / 2)) /\ s e. (Y( ball ` M)(R / 2))) <-> ((Z e. X /\ (YMZ) < (R / 2)) /\ (s e. X /\ (YMs) < (R / 2)))))
13		simprl 450	. . . . . . . . 9 |- (((Z e. X /\ (YMZ) < (R / 2)) /\ (s e. X /\ (YMs) < (R / 2))) -> s e. X)
14	13	a1i 8	. . . . . . . 8 |- (((M e. Met /\ Y e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> (((Z e. X /\ (YMZ) < (R / 2)) /\ (s e. X /\ (YMs) < (R / 2))) -> s e. X))
15	1	mettri4 9091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((M e. Met /\ Z e. X) /\ (s e. X /\ Y e. X)) -> (ZMs) <_ ((YMZ) + (YMs)))
16	1	metcl 9088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((M e. Met /\ Y e. X /\ Z e. X) -> (YMZ) e. RR)
17	16	3expb 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((M e. Met /\ (Y e. X /\ Z e. X)) -> (YMZ) e. RR)
18	17	ancom2s 545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((M e. Met /\ (Z e. X /\ Y e. X)) -> (YMZ) e. RR)
19	18	anassrs 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((M e. Met /\ Z e. X) /\ Y e. X) -> (YMZ) e. RR)
20	19	adantrl 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((M e. Met /\ Z e. X) /\ (s e. X /\ Y e. X)) -> (YMZ) e. RR)
21	20	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((M e. Met /\ Z e. X) /\ (s e. X /\ Y e. X)) /\ R e. RR) -> (YMZ) e. RR)
22	1	metcl 9088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((M e. Met /\ Y e. X /\ s e. X) -> (YMs) e. RR)
23	22	3expb 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((M e. Met /\ (Y e. X /\ s e. X)) -> (YMs) e. RR)
24	23	ancom2s 545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((M e. Met /\ (s e. X /\ Y e. X)) -> (YMs) e. RR)
25	24	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((M e. Met /\ Z e. X) /\ (s e. X /\ Y e. X)) -> (YMs) e. RR)
26	25	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((M e. Met /\ Z e. X) /\ (s e. X /\ Y e. X)) /\ R e. RR) -> (YMs) e. RR)
27		rehalfcl 7220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (R e. RR -> (R / 2) e. RR)
28	27	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((M e. Met /\ Z e. X) /\ (s e. X /\ Y e. X)) /\ R e. RR) -> (R / 2) e. RR)
29		lt2add 6827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((YMZ) e. RR /\ (YMs) e. RR) /\ ((R / 2) e. RR /\ (R / 2) e. RR)) -> (((YMZ) < (R / 2) /\ (YMs) < (R / 2)) -> ((YMZ) + (YMs)) < ((R / 2) + (R / 2))))
30	21, 26, 28, 28, 29	syl22anc 1101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((M e. Met /\ Z e. X) /\ (s e. X /\ Y e. X)) /\ R e. RR) -> (((YMZ) < (R / 2) /\ (YMs) < (R / 2)) -> ((YMZ) + (YMs)) < ((R / 2) + (R / 2))))
31	1	metcl 9088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((M e. Met /\ Z e. X /\ s e. X) -> (ZMs) e. RR)
32	31	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((M e. Met /\ Z e. X) /\ s e. X) -> (ZMs) e. RR)
33	32	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((M e. Met /\ Z e. X) /\ (s e. X /\ Y e. X)) -> (ZMs) e. RR)
34	33	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((M e. Met /\ Z e. X) /\ (s e. X /\ Y e. X)) /\ R e. RR) -> (ZMs) e. RR)
35		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((YMZ) e. RR /\ (YMs) e. RR) -> ((YMZ) + (YMs)) e. RR)
36	21, 26, 35	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((M e. Met /\ Z e. X) /\ (s e. X /\ Y e. X)) /\ R e. RR) -> ((YMZ) + (YMs)) e. RR)
37		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((R / 2) e. RR /\ (R / 2) e. RR) -> ((R / 2) + (R / 2)) e. RR)
38	27, 27, 37	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (R e. RR -> ((R / 2) + (R / 2)) e. RR)
39	38	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((M e. Met /\ Z e. X) /\ (s e. X /\ Y e. X)) /\ R e. RR) -> ((R / 2) + (R / 2)) e. RR)
40		lelttr 6693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((ZMs) e. RR /\ ((YMZ) + (YMs)) e. RR /\ ((R / 2) + (R / 2)) e. RR) -> (((ZMs) <_ ((YMZ) + (YMs)) /\ ((YMZ) + (YMs)) < ((R / 2) + (R / 2))) -> (ZMs) < ((R / 2) + (R / 2))))
41	34, 36, 39, 40	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((M e. Met /\ Z e. X) /\ (s e. X /\ Y e. X)) /\ R e. RR) -> (((ZMs) <_ ((YMZ) + (YMs)) /\ ((YMZ) + (YMs)) < ((R / 2) + (R / 2))) -> (ZMs) < ((R / 2) + (R / 2))))
42		recn 6466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (R e. RR -> R e. CC)
43		2halves 7225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (R e. CC -> ((R / 2) + (R / 2)) = R)
44	42, 43	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (R e. RR -> ((R / 2) + (R / 2)) = R)
45	44	breq2d 3350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (R e. RR -> ((ZMs) < ((R / 2) + (R / 2)) <-> (ZMs) < R))
46	45	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (R e. RR -> ((ZMs) < ((R / 2) + (R / 2)) -> (ZMs) < R))
47	46	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((M e. Met /\ Z e. X) /\ (s e. X /\ Y e. X)) /\ R e. RR) -> ((ZMs) < ((R / 2) + (R / 2)) -> (ZMs) < R))
48	41, 47	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((M e. Met /\ Z e. X) /\ (s e. X /\ Y e. X)) /\ R e. RR) -> (((ZMs) <_ ((YMZ) + (YMs)) /\ ((YMZ) + (YMs)) < ((R / 2) + (R / 2))) -> (ZMs) < R))
49	48	exp3a 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((M e. Met /\ Z e. X) /\ (s e. X /\ Y e. X)) /\ R e. RR) -> ((ZMs) <_ ((YMZ) + (YMs)) -> (((YMZ) + (YMs)) < ((R / 2) + (R / 2)) -> (ZMs) < R)))
50	49	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((((M e. Met /\ Z e. X) /\ (s e. X /\ Y e. X)) /\ R e. RR) -> (((YMZ) + (YMs)) < ((R / 2) + (R / 2)) -> ((ZMs) <_ ((YMZ) + (YMs)) -> (ZMs) < R)))
51	30, 50	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((((M e. Met /\ Z e. X) /\ (s e. X /\ Y e. X)) /\ R e. RR) -> (((YMZ) < (R / 2) /\ (YMs) < (R / 2)) -> ((ZMs) <_ ((YMZ) + (YMs)) -> (ZMs) < R)))
52	51	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((M e. Met /\ Z e. X) /\ (s e. X /\ Y e. X)) -> (R e. RR -> (((YMZ) < (R / 2) /\ (YMs) < (R / 2)) -> ((ZMs) <_ ((YMZ) + (YMs)) -> (ZMs) < R))))
53	52	com24 41	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((M e. Met /\ Z e. X) /\ (s e. X /\ Y e. X)) -> ((ZMs) <_ ((YMZ) + (YMs)) -> (((YMZ) < (R / 2) /\ (YMs) < (R / 2)) -> (R e. RR -> (ZMs) < R))))
54	15, 53	mpd 29	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((M e. Met /\ Z e. X) /\ (s e. X /\ Y e. X)) -> (((YMZ) < (R / 2) /\ (YMs) < (R / 2)) -> (R e. RR -> (ZMs) < R)))
55	54	ancom2s 545	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((M e. Met /\ Z e. X) /\ (Y e. X /\ s e. X)) -> (((YMZ) < (R / 2) /\ (YMs) < (R / 2)) -> (R e. RR -> (ZMs) < R)))
56	55	an4s 566	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((M e. Met /\ Y e. X) /\ (Z e. X /\ s e. X)) -> (((YMZ) < (R / 2) /\ (YMs) < (R / 2)) -> (R e. RR -> (ZMs) < R)))
57	56	expimpd 404	. . . . . . . . . . . 12 |- ((M e. Met /\ Y e. X) -> (((Z e. X /\ s e. X) /\ ((YMZ) < (R / 2) /\ (YMs) < (R / 2))) -> (R e. RR -> (ZMs) < R)))
58	57	com23 36	. . . . . . . . . . 11 |- ((M e. Met /\ Y e. X) -> (R e. RR -> (((Z e. X /\ s e. X) /\ ((YMZ) < (R / 2) /\ (YMs) < (R / 2))) -> (ZMs) < R)))
59	58	imp 377	. . . . . . . . . 10 |- (((M e. Met /\ Y e. X) /\ R e. RR) -> (((Z e. X /\ s e. X) /\ ((YMZ) < (R / 2) /\ (YMs) < (R / 2))) -> (ZMs) < R))
60		an4 564	. . . . . . . . . 10 |- (((Z e. X /\ (YMZ) < (R / 2)) /\ (s e. X /\ (YMs) < (R / 2))) <-> ((Z e. X /\ s e. X) /\ ((YMZ) < (R / 2) /\ (YMs) < (R / 2))))
61	59, 60	syl5ib 223	. . . . . . . . 9 |- (((M e. Met /\ Y e. X) /\ R e. RR) -> (((Z e. X /\ (YMZ) < (R / 2)) /\ (s e. X /\ (YMs) < (R / 2))) -> (ZMs) < R))
62	61	adantrr 431	. . . . . . . 8 |- (((M e. Met /\ Y e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> (((Z e. X /\ (YMZ) < (R / 2)) /\ (s e. X /\ (YMs) < (R / 2))) -> (ZMs) < R))
63	14, 62	jcad 661	. . . . . . 7 |- (((M e. Met /\ Y e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> (((Z e. X /\ (YMZ) < (R / 2)) /\ (s e. X /\ (YMs) < (R / 2))) -> (s e. X /\ (ZMs) < R)))
64	1	elbl 9115	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((M e. Met /\ Z e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> (s e. (Z( ball ` M)R) <-> (s e. X /\ (ZMs) < R)))
65	64	biimprd 171	. . . . . . . . . . . 12 |- (((M e. Met /\ Z e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> ((s e. X /\ (ZMs) < R) -> s e. (Z( ball ` M)R)))
66	65	an1rs 547	. . . . . . . . . . 11 |- (((M e. Met /\ (R e. RR /\ 0 < R)) /\ Z e. X) -> ((s e. X /\ (ZMs) < R) -> s e. (Z( ball ` M)R)))
67	66	adantrr 431	. . . . . . . . . 10 |- (((M e. Met /\ (R e. RR /\ 0 < R)) /\ (Z e. X /\ (YMZ) < (R / 2))) -> ((s e. X /\ (ZMs) < R) -> s e. (Z( ball ` M)R)))
68	67	adantrr 431	. . . . . . . . 9 |- (((M e. Met /\ (R e. RR /\ 0 < R)) /\ ((Z e. X /\ (YMZ) < (R / 2)) /\ (s e. X /\ (YMs) < (R / 2)))) -> ((s e. X /\ (ZMs) < R) -> s e. (Z( ball ` M)R)))
69	68	ex 402	. . . . . . . 8 |- ((M e. Met /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> (((Z e. X /\ (YMZ) < (R / 2)) /\ (s e. X /\ (YMs) < (R / 2))) -> ((s e. X /\ (ZMs) < R) -> s e. (Z( ball ` M)R))))
70	69	adantlr 429	. . . . . . 7 |- (((M e. Met /\ Y e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> (((Z e. X /\ (YMZ) < (R / 2)) /\ (s e. X /\ (YMs) < (R / 2))) -> ((s e. X /\ (ZMs) < R) -> s e. (Z( ball ` M)R))))
71	63, 70	mpdd 57	. . . . . 6 |- (((M e. Met /\ Y e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> (((Z e. X /\ (YMZ) < (R / 2)) /\ (s e. X /\ (YMs) < (R / 2))) -> s e. (Z( ball ` M)R)))
72		rpregt0 7242	. . . . . 6 |- (R e. RR+ -> (R e. RR /\ 0 < R))
73	71, 72	sylan2 500	. . . . 5 |- (((M e. Met /\ Y e. X) /\ R e. RR+) -> (((Z e. X /\ (YMZ) < (R / 2)) /\ (s e. X /\ (YMs) < (R / 2))) -> s e. (Z( ball ` M)R)))
74	12, 73	sylbid 220	. . . 4 |- (((M e. Met /\ Y e. X) /\ R e. RR+) -> ((Z e. (Y( ball ` M)(R / 2)) /\ s e. (Y( ball ` M)(R / 2))) -> s e. (Z( ball ` M)R)))
75	74	expdimp 406	. . 3 |- ((((M e. Met /\ Y e. X) /\ R e. RR+) /\ Z e. (Y( ball ` M)(R / 2))) -> (s e. (Y( ball ` M)(R / 2)) -> s e. (Z( ball ` M)R)))
76	75	anasss 488	. 2 |- (((M e. Met /\ Y e. X) /\ (R e. RR+ /\ Z e. (Y( ball ` M)(R / 2)))) -> (s e. (Y( ball ` M)(R / 2)) -> s e. (Z( ball ` M)R)))
77	76	ssrdv 2622	1 |- (((M e. Met /\ Y e. X) /\ (R e. RR+ /\ Z e. (Y( ball ` M)(R / 2)))) -> (Y( ball ` M)(R / 2)) C_ (Z( ball ` M)R))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  dom cdm 3986  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   / cdiv 6447   <_ cle 6448  RR+crp 6453   < clt 6653  2c2 7145  Metcme 9066   ball cbl 9068

This theorem is referenced by:  sstotbnd 15936  totbndss 15937  isbnd3 15941

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-2 7154  df-rp 7232  df-met 9070  df-bl 9072

Copyright terms: Public domain