Theorem blhalf 21202

Description: A ball of radius R / 2 is contained in a ball of radius R centered at any point inside the smaller ball. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
blhalf	|- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) C_ ( Z ( ball ` M ) R ) )

Proof of Theorem blhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 754	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
2		simplr 756	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> Y e. X )
3		simprr 760	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) )
4		simprl 758	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> R e. RR )
5	4	rehalfcld 10828	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( R / 2 ) e. RR )
6	5	rexrd 9675	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( R / 2 ) e. RR* )
7		elbl 21185	. . . . 5 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ ( R / 2 ) e. RR* ) -> ( Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) <-> ( Z e. X /\ ( Y M Z ) < ( R / 2 ) ) ) )
8	1, 2, 6, 7	syl3anc 1232	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) <-> ( Z e. X /\ ( Y M Z ) < ( R / 2 ) ) ) )
9	3, 8	mpbid 212	. . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Z e. X /\ ( Y M Z ) < ( R / 2 ) ) )
10	9	simpld 459	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> Z e. X )
11	9	simprd 463	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y M Z ) < ( R / 2 ) )
12		xmetcl 21128	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ Z e. X ) -> ( Y M Z ) e. RR* )
13	1, 2, 10, 12	syl3anc 1232	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y M Z ) e. RR* )
14		xrltle 11410	. . . . 5 |- ( ( ( Y M Z ) e. RR* /\ ( R / 2 ) e. RR* ) -> ( ( Y M Z ) < ( R / 2 ) -> ( Y M Z ) <_ ( R / 2 ) ) )
15	13, 6, 14	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( ( Y M Z ) < ( R / 2 ) -> ( Y M Z ) <_ ( R / 2 ) ) )
16	11, 15	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y M Z ) <_ ( R / 2 ) )
17	5	recnd 9654	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( R / 2 ) e. CC )
18	17, 17	pncand 9970	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( R / 2 ) + ( R / 2 ) ) - ( R / 2 ) ) = ( R / 2 ) )
19	4	recnd 9654	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> R e. CC )
20	19	2halvesd 10827	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( ( R / 2 ) + ( R / 2 ) ) = R )
21	20	oveq1d 6295	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( R / 2 ) + ( R / 2 ) ) - ( R / 2 ) ) = ( R - ( R / 2 ) ) )
22	18, 21	eqtr3d 2447	. . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( R / 2 ) = ( R - ( R / 2 ) ) )
23	16, 22	breqtrd 4421	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y M Z ) <_ ( R - ( R / 2 ) ) )
24		blss2 21201	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ Z e. X ) /\ ( ( R / 2 ) e. RR /\ R e. RR /\ ( Y M Z ) <_ ( R - ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) C_ ( Z ( ball ` M ) R ) )
25	1, 2, 10, 5, 4, 23, 24	syl33anc 1247	1 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) C_ ( Z ( ball ` M ) R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 186   /\ wa 369   e. wcel 1844   C_ wss 3416   class class class wbr 4397   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   RRcr 9523   + caddc 9527   RR*cxr 9659   < clt 9660   <_ cle 9661   - cmin 9843   / cdiv 10249   2c2 10628   *Metcxmt 18725   ballcbl 18727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-2 10637  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-bl 18736

This theorem is referenced by:  met2ndci  21319  iscfil3  22006  cfilfcls  22007  iscmet3lem2  22025  lmcau  22045  lgamucov  23695  sstotbnd2  31565  isbnd2  31574  heiborlem8  31609