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Theorem blhalf 20105
Description: A ball of radius  R  / 
2 is contained in a ball of radius  R centered at any point inside the smaller ball. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
blhalf  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Y ( ball `  M
) ( R  / 
2 ) )  C_  ( Z ( ball `  M
) R ) )

Proof of Theorem blhalf
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
2 simplr 754 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  Y  e.  X )
3 simprr 756 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) )
4 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  R  e.  RR )
54rehalfcld 10675 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( R  /  2 )  e.  RR )
65rexrd 9537 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( R  /  2 )  e. 
RR* )
7 elbl 20088 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  ( R  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( Z  e.  ( Y ( ball `  M
) ( R  / 
2 ) )  <->  ( Z  e.  X  /\  ( Y M Z )  < 
( R  /  2
) ) ) )
81, 2, 6, 7syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Z  e.  ( Y
( ball `  M )
( R  /  2
) )  <->  ( Z  e.  X  /\  ( Y M Z )  < 
( R  /  2
) ) ) )
93, 8mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Z  e.  X  /\  ( Y M Z )  <  ( R  / 
2 ) ) )
109simpld 459 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  Z  e.  X )
119simprd 463 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Y M Z )  < 
( R  /  2
) )
12 xmetcl 20031 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  Z  e.  X
)  ->  ( Y M Z )  e.  RR* )
131, 2, 10, 12syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Y M Z )  e. 
RR* )
14 xrltle 11230 . . . . 5  |-  ( ( ( Y M Z )  e.  RR*  /\  ( R  /  2 )  e. 
RR* )  ->  (
( Y M Z )  <  ( R  /  2 )  -> 
( Y M Z )  <_  ( R  /  2 ) ) )
1513, 6, 14syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  (
( Y M Z )  <  ( R  /  2 )  -> 
( Y M Z )  <_  ( R  /  2 ) ) )
1611, 15mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Y M Z )  <_ 
( R  /  2
) )
175recnd 9516 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( R  /  2 )  e.  CC )
1817, 17pncand 9824 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  (
( ( R  / 
2 )  +  ( R  /  2 ) )  -  ( R  /  2 ) )  =  ( R  / 
2 ) )
194recnd 9516 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  R  e.  CC )
20192halvesd 10674 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  (
( R  /  2
)  +  ( R  /  2 ) )  =  R )
2120oveq1d 6208 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  (
( ( R  / 
2 )  +  ( R  /  2 ) )  -  ( R  /  2 ) )  =  ( R  -  ( R  /  2
) ) )
2218, 21eqtr3d 2494 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( R  /  2 )  =  ( R  -  ( R  /  2 ) ) )
2316, 22breqtrd 4417 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Y M Z )  <_ 
( R  -  ( R  /  2 ) ) )
24 blss2 20104 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  Z  e.  X
)  /\  ( ( R  /  2 )  e.  RR  /\  R  e.  RR  /\  ( Y M Z )  <_ 
( R  -  ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Y ( ball `  M
) ( R  / 
2 ) )  C_  ( Z ( ball `  M
) R ) )
251, 2, 10, 5, 4, 23, 24syl33anc 1234 1  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X )  /\  ( R  e.  RR  /\  Z  e.  ( Y ( ball `  M ) ( R  /  2 ) ) ) )  ->  ( Y ( ball `  M
) ( R  / 
2 ) )  C_  ( Z ( ball `  M
) R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758    C_ wss 3429   class class class wbr 4393   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   RRcr 9385    + caddc 9389   RR*cxr 9521    < clt 9522    <_ cle 9523    - cmin 9699    / cdiv 10097   2c2 10475   *Metcxmt 17919   ballcbl 17921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-er 7204  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-2 10484  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-bl 17930
This theorem is referenced by:  met2ndci  20222  iscfil3  20909  cfilfcls  20910  iscmet3lem2  20928  lmcau  20948  lgamucov  27161  sstotbnd2  28814  isbnd2  28823  heiborlem8  28858
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