Theorem blhalf 20643

Description: A ball of radius R / 2 is contained in a ball of radius R centered at any point inside the smaller ball. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
blhalf	|- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) C_ ( Z ( ball ` M ) R ) )

Proof of Theorem blhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 753	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> M e. ( *Met ` X ) )
2		simplr 754	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> Y e. X )
3		simprr 756	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) )
4		simprl 755	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> R e. RR )
5	4	rehalfcld 10781	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( R / 2 ) e. RR )
6	5	rexrd 9639	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( R / 2 ) e. RR* )
7		elbl 20626	. . . . 5 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ ( R / 2 ) e. RR* ) -> ( Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) <-> ( Z e. X /\ ( Y M Z ) < ( R / 2 ) ) ) )
8	1, 2, 6, 7	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) <-> ( Z e. X /\ ( Y M Z ) < ( R / 2 ) ) ) )
9	3, 8	mpbid 210	. . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Z e. X /\ ( Y M Z ) < ( R / 2 ) ) )
10	9	simpld 459	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> Z e. X )
11	9	simprd 463	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y M Z ) < ( R / 2 ) )
12		xmetcl 20569	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ Z e. X ) -> ( Y M Z ) e. RR* )
13	1, 2, 10, 12	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y M Z ) e. RR* )
14		xrltle 11351	. . . . 5 |- ( ( ( Y M Z ) e. RR* /\ ( R / 2 ) e. RR* ) -> ( ( Y M Z ) < ( R / 2 ) -> ( Y M Z ) <_ ( R / 2 ) ) )
15	13, 6, 14	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( ( Y M Z ) < ( R / 2 ) -> ( Y M Z ) <_ ( R / 2 ) ) )
16	11, 15	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y M Z ) <_ ( R / 2 ) )
17	5	recnd 9618	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( R / 2 ) e. CC )
18	17, 17	pncand 9927	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( R / 2 ) + ( R / 2 ) ) - ( R / 2 ) ) = ( R / 2 ) )
19	4	recnd 9618	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> R e. CC )
20	19	2halvesd 10780	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( ( R / 2 ) + ( R / 2 ) ) = R )
21	20	oveq1d 6297	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( R / 2 ) + ( R / 2 ) ) - ( R / 2 ) ) = ( R - ( R / 2 ) ) )
22	18, 21	eqtr3d 2510	. . 3 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( R / 2 ) = ( R - ( R / 2 ) ) )
23	16, 22	breqtrd 4471	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y M Z ) <_ ( R - ( R / 2 ) ) )
24		blss2 20642	. 2 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X /\ Z e. X ) /\ ( ( R / 2 ) e. RR /\ R e. RR /\ ( Y M Z ) <_ ( R - ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) C_ ( Z ( ball ` M ) R ) )
25	1, 2, 10, 5, 4, 23, 24	syl33anc 1243	1 |- ( ( ( M e. ( *Met ` X ) /\ Y e. X ) /\ ( R e. RR /\ Z e. ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) ) ) -> ( Y ( ball ` M ) ( R / 2 ) ) C_ ( Z ( ball ` M ) R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   e. wcel 1767   C_ wss 3476   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   + caddc 9491   RR*cxr 9623   < clt 9624   <_ cle 9625   - cmin 9801   / cdiv 10202   2c2 10581   *Metcxmt 18174   ballcbl 18176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-2 10590  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-bl 18185

This theorem is referenced by:  met2ndci  20760  iscfil3  21447  cfilfcls  21448  iscmet3lem2  21466  lmcau  21486  lgamucov  28220  sstotbnd2  29873  isbnd2  29882  heiborlem8  29917