MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blfval Structured version   Unicode version

Theorem blfval 20092
Description: The value of the ball function. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.) (Proof shortened by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
blfval  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( ball `  D )  =  ( x  e.  X ,  r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } ) )
Distinct variable groups:    x, r,
y, D    X, r, x, y

Proof of Theorem blfval
StepHypRef Expression
1 xmetpsmet 20056 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
2 blfvalps 20091 . 2  |-  ( D  e.  (PsMet `  X
)  ->  ( ball `  D )  =  ( x  e.  X , 
r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } ) )
31, 2syl 16 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( ball `  D )  =  ( x  e.  X ,  r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2803   class class class wbr 4401   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    |-> cmpt2 6203   RR*cxr 9529    < clt 9530  PsMetcpsmet 17926   *Metcxmt 17927   ballcbl 17929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-map 7327  df-xr 9534  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-bl 17938
This theorem is referenced by:  blval  20094  blf  20115
  Copyright terms: Public domain W3C validator