Theorem blf 9121

Description: Mapping of a ball.

Hypothesis

Ref	Expression
blf.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
blf	|- (D e. Met -> ( ball ` D):(X X. (0(,) +oo))-->~PX)

Proof of Theorem blf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf.1	. . . 4 |- X = dom dom D
2	1	blfval2 9113	. . 3 |- (D e. Met -> ( ball ` D) = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. {w e. RR | 0 < w}) /\ z = {v e. X | (xDv) < y})})
3		ioopos 7562	. . . . . . 7 |- (0(,) +oo) = {w e. RR | 0 < w}
4	3	eleq2i 1961	. . . . . 6 |- (y e. (0(,) +oo) <-> y e. {w e. RR | 0 < w})
5	4	anbi2i 538	. . . . 5 |- ((x e. X /\ y e. (0(,) +oo)) <-> (x e. X /\ y e. {w e. RR | 0 < w}))
6	5	anbi1i 539	. . . 4 |- (((x e. X /\ y e. (0(,) +oo)) /\ z = {v e. X | (xDv) < y}) <-> ((x e. X /\ y e. {w e. RR | 0 < w}) /\ z = {v e. X | (xDv) < y}))
7	6	oprabbii 4923	. . 3 |- {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. (0(,) +oo)) /\ z = {v e. X | (xDv) < y})} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. {w e. RR | 0 < w}) /\ z = {v e. X | (xDv) < y})}
8	2, 7	syl6eqr 1946	. 2 |- (D e. Met -> ( ball ` D) = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. (0(,) +oo)) /\ z = {v e. X | (xDv) < y})})
9		feq1 4551	. . 3 |- (( ball ` D) = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. (0(,) +oo)) /\ z = {v e. X | (xDv) < y})} -> (( ball ` D):(X X. (0(,) +oo))-->~PX <-> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. (0(,) +oo)) /\ z = {v e. X | (xDv) < y})}:(X X. (0(,) +oo))-->~PX))
10		dmexg 4206	. . . . . . . . 9 |- (D e. Met -> dom D e. _V)
11		dmexg 4206	. . . . . . . . 9 |- (dom D e. _V -> dom dom D e. _V)
12	10, 11	syl 12	. . . . . . . 8 |- (D e. Met -> dom dom D e. _V)
13	12, 1	syl5eqel 1975	. . . . . . 7 |- (D e. Met -> X e. _V)
14		ssrab2 2692	. . . . . . . 8 |- {v e. X | (xDv) < y} C_ X
15		elpw2g 3463	. . . . . . . 8 |- (X e. _V -> ({v e. X | (xDv) < y} e. ~PX <-> {v e. X | (xDv) < y} C_ X))
16	14, 15	mpbiri 211	. . . . . . 7 |- (X e. _V -> {v e. X | (xDv) < y} e. ~PX)
17	13, 16	syl 12	. . . . . 6 |- (D e. Met -> {v e. X | (xDv) < y} e. ~PX)
18	17	a1d 15	. . . . 5 |- (D e. Met -> ((x e. X /\ y e. (0(,) +oo)) -> {v e. X | (xDv) < y} e. ~PX))
19	18	r19.21aivv 2183	. . . 4 |- (D e. Met -> A.x e. X A.y e. (0(,) +oo){v e. X | (xDv) < y} e. ~PX)
20		eqid 1884	. . . . 5 |- {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. (0(,) +oo)) /\ z = {v e. X | (xDv) < y})} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. (0(,) +oo)) /\ z = {v e. X | (xDv) < y})}
21	20	foprab2 5061	. . . 4 |- (A.x e. X A.y e. (0(,) +oo){v e. X | (xDv) < y} e. ~PX <-> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. (0(,) +oo)) /\ z = {v e. X | (xDv) < y})}:(X X. (0(,) +oo))-->~PX)
22	19, 21	sylib 215	. . 3 |- (D e. Met -> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. (0(,) +oo)) /\ z = {v e. X | (xDv) < y})}:(X X. (0(,) +oo))-->~PX)
23	9, 22	syl5bir 227	. 2 |- (( ball ` D) = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. X /\ y e. (0(,) +oo)) /\ z = {v e. X | (xDv) < y})} -> (D e. Met -> ( ball ` D):(X X. (0(,) +oo))-->~PX))
24	8, 23	mpcom 60	1 |- (D e. Met -> ( ball ` D):(X X. (0(,) +oo))-->~PX)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  {crab 2108  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  dom cdm 3986  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  {copab2 4885  RRcr 6385  0cc0 6386   +oocpnf 6650   < clt 6653  (,)cioo 7524  Metcme 9066   ball cbl 9068

This theorem is referenced by:  blssioo 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-ioo 7528  df-bl 9072

Copyright terms: Public domain