MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blf Structured version   Unicode version

Theorem blf 20888
Description: Mapping of a ball. (Contributed by NM, 7-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
blf  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( ball `  D ) : ( X  X.  RR* )
--> ~P X )

Proof of Theorem blf
Dummy variables  x  r  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3570 . . . . . 6  |-  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r }  C_  X
2 elfvdm 5882 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
3 elpw2g 4600 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  dom  *Met  ->  ( { y  e.  X  |  ( x D y )  < 
r }  e.  ~P X 
<->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r }  C_  X ) )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r }  e.  ~P X  <->  { y  e.  X  | 
( x D y )  <  r } 
C_  X ) )
51, 4mpbiri 233 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r }  e.  ~P X )
65a1d 25 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( x  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r }  e.  ~P X
) )
76ralrimivv 2863 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  A. x  e.  X  A. r  e.  RR*  { y  e.  X  |  ( x D y )  < 
r }  e.  ~P X )
8 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  X ,  r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } )  =  ( x  e.  X ,  r  e. 
RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  < 
r } )
98fmpt2 6852 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  A. r  e.  RR*  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r }  e.  ~P X  <->  ( x  e.  X ,  r  e. 
RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  < 
r } ) : ( X  X.  RR* )
--> ~P X )
107, 9sylib 196 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
x  e.  X , 
r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } ) : ( X  X.  RR* ) --> ~P X )
11 blfval 20865 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( ball `  D )  =  ( x  e.  X ,  r  e.  RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  <  r } ) )
1211feq1d 5707 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( ball `  D ) : ( X  X.  RR* ) --> ~P X  <->  ( x  e.  X ,  r  e. 
RR*  |->  { y  e.  X  |  ( x D y )  < 
r } ) : ( X  X.  RR* )
--> ~P X ) )
1310, 12mpbird 232 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( ball `  D ) : ( X  X.  RR* )
--> ~P X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1804   A.wral 2793   {crab 2797    C_ wss 3461   ~Pcpw 3997   class class class wbr 4437    X. cxp 4987   dom cdm 4989   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    |-> cmpt2 6283   RR*cxr 9630    < clt 9631   *Metcxmt 18382   ballcbl 18384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-map 7424  df-xr 9635  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-bl 18393
This theorem is referenced by:  blrn  20890  blelrn  20898  blssm  20899  unirnbl  20901  blin2  20910  imasf1oxms  20970  iscau2  21694  ismtyhmeolem  30276
  Copyright terms: Public domain W3C validator