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Theorem bldisj 21491
Description: Two balls are disjoint if the center-to-center distance is more than the sum of the radii. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
bldisj  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i  ( Q ( ball `  D ) S ) )  =  (/) )

Proof of Theorem bldisj
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 1038 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( R +e S )  <_ 
( P D Q ) )
2 simpr1 1036 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  R  e.  RR* )
3 simpr2 1037 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  S  e.  RR* )
42, 3xaddcld 11612 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( R +e S )  e. 
RR* )
5 xmetcl 21424 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  ->  ( P D Q )  e.  RR* )
65adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( P D Q )  e.  RR* )
7 xrlenlt 9717 . . . . 5  |-  ( ( ( R +e
S )  e.  RR*  /\  ( P D Q )  e.  RR* )  ->  ( ( R +e S )  <_ 
( P D Q )  <->  -.  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
84, 6, 7syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( R +e S )  <_  ( P D Q )  <->  -.  ( P D Q )  < 
( R +e
S ) ) )
91, 8mpbid 215 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  -.  ( P D Q )  <  ( R +e S ) )
10 elin 3608 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i  ( Q ( ball `  D ) S ) )  <->  ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D
) S ) ) )
11 simpl1 1033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
12 simpl2 1034 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  P  e.  X
)
13 elbl 21481 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
1411, 12, 2, 13syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( P D x )  <  R ) ) )
15 simpl3 1035 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  Q  e.  X
)
16 elbl 21481 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Q  e.  X  /\  S  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( Q ( ball `  D
) S )  <->  ( x  e.  X  /\  ( Q D x )  < 
S ) ) )
1711, 15, 3, 16syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( x  e.  ( Q ( ball `  D ) S )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( Q D x )  <  S ) ) )
1814, 17anbi12d 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( P (
ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D ) S ) )  <->  ( ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R )  /\  (
x  e.  X  /\  ( Q D x )  <  S ) ) ) )
19 anandi 844 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( ( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S ) )  <->  ( ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R )  /\  (
x  e.  X  /\  ( Q D x )  <  S ) ) )
2018, 19syl6bbr 271 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( P (
ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D ) S ) )  <->  ( x  e.  X  /\  ( ( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  < 
S ) ) ) )
2111adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
2212adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  P  e.  X )
23 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
24 xmetcl 21424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  ( P D x )  e. 
RR* )
2521, 22, 23, 24syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( P D x )  e. 
RR* )
2615adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  Q  e.  X )
27 xmetcl 21424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Q  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  ( Q D x )  e. 
RR* )
2821, 26, 23, 27syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( Q D x )  e. 
RR* )
292adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  R  e.  RR* )
303adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  S  e.  RR* )
31 xlt2add 11571 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P D x )  e.  RR*  /\  ( Q D x )  e.  RR* )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )
)  ->  ( (
( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S )  -> 
( ( P D x ) +e
( Q D x ) )  <  ( R +e S ) ) )
3225, 28, 29, 30, 31syl22anc 1293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S )  -> 
( ( P D x ) +e
( Q D x ) )  <  ( R +e S ) ) )
33 xmettri3 21446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( P  e.  X  /\  Q  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( P D Q )  <_  ( ( P D x ) +e ( Q D x ) ) )
3421, 22, 26, 23, 33syl13anc 1294 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( P D Q )  <_  (
( P D x ) +e ( Q D x ) ) )
356adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( P D Q )  e.  RR* )
3625, 28xaddcld 11612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( P D x ) +e ( Q D x ) )  e. 
RR* )
374adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( R +e S )  e.  RR* )
38 xrlelttr 11476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P D Q )  e.  RR*  /\  (
( P D x ) +e ( Q D x ) )  e.  RR*  /\  ( R +e S )  e.  RR* )  ->  (
( ( P D Q )  <_  (
( P D x ) +e ( Q D x ) )  /\  ( ( P D x ) +e ( Q D x ) )  <  ( R +e S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
3935, 36, 37, 38syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( P D Q )  <_  ( ( P D x ) +e ( Q D x ) )  /\  ( ( P D x ) +e
( Q D x ) )  <  ( R +e S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
4034, 39mpand 689 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( P D x ) +e ( Q D x ) )  <  ( R +e S )  ->  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
4132, 40syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S )  -> 
( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
4241expimpd 614 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( x  e.  X  /\  (
( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
4320, 42sylbid 223 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( P (
ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D ) S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
4410, 43syl5bi 225 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( x  e.  ( ( P (
ball `  D ) R )  i^i  ( Q ( ball `  D
) S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
459, 44mtod 182 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  -.  x  e.  ( ( P (
ball `  D ) R )  i^i  ( Q ( ball `  D
) S ) ) )
4645eq0rdv 3773 1  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i  ( Q ( ball `  D ) S ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    i^i cin 3389   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   +ecxad 11430   *Metcxmt 19032   ballcbl 19034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-bl 19042
This theorem is referenced by:  bl2in  21493  blcld  21598  methaus  21613  metnrmlem3  21956  metnrmlem3OLD  21971  cntotbnd  32192  heiborlem6  32212
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