Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bldisj Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem bldisj 21491
 Description: Two balls are disjoint if the center-to-center distance is more than the sum of the radii. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
bldisj

Proof of Theorem bldisj
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 1038 . . . 4
2 simpr1 1036 . . . . . 6
3 simpr2 1037 . . . . . 6
42, 3xaddcld 11612 . . . . 5
5 xmetcl 21424 . . . . . 6
65adantr 472 . . . . 5
7 xrlenlt 9717 . . . . 5
84, 6, 7syl2anc 673 . . . 4
91, 8mpbid 215 . . 3
10 elin 3608 . . . 4
11 simpl1 1033 . . . . . . . 8
12 simpl2 1034 . . . . . . . 8
13 elbl 21481 . . . . . . . 8
1411, 12, 2, 13syl3anc 1292 . . . . . . 7
15 simpl3 1035 . . . . . . . 8
16 elbl 21481 . . . . . . . 8
1711, 15, 3, 16syl3anc 1292 . . . . . . 7
1814, 17anbi12d 725 . . . . . 6
19 anandi 844 . . . . . 6
2018, 19syl6bbr 271 . . . . 5
2111adantr 472 . . . . . . . . 9
2212adantr 472 . . . . . . . . 9
23 simpr 468 . . . . . . . . 9
24 xmetcl 21424 . . . . . . . . 9
2521, 22, 23, 24syl3anc 1292 . . . . . . . 8
2615adantr 472 . . . . . . . . 9
27 xmetcl 21424 . . . . . . . . 9
2821, 26, 23, 27syl3anc 1292 . . . . . . . 8
292adantr 472 . . . . . . . 8
303adantr 472 . . . . . . . 8
31 xlt2add 11571 . . . . . . . 8
3225, 28, 29, 30, 31syl22anc 1293 . . . . . . 7
33 xmettri3 21446 . . . . . . . . 9
3421, 22, 26, 23, 33syl13anc 1294 . . . . . . . 8
356adantr 472 . . . . . . . . 9
3625, 28xaddcld 11612 . . . . . . . . 9
374adantr 472 . . . . . . . . 9
38 xrlelttr 11476 . . . . . . . . 9
3935, 36, 37, 38syl3anc 1292 . . . . . . . 8
4034, 39mpand 689 . . . . . . 7
4132, 40syld 44 . . . . . 6
4241expimpd 614 . . . . 5
4320, 42sylbid 223 . . . 4
4410, 43syl5bi 225 . . 3
459, 44mtod 182 . 2
4645eq0rdv 3773 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   cin 3389  c0 3722   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cxad 11430  cxmt 19032  cbl 19034 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-bl 19042 This theorem is referenced by:  bl2in  21493  blcld  21598  methaus  21613  metnrmlem3  21956  metnrmlem3OLD  21971  cntotbnd  32192  heiborlem6  32212
 Copyright terms: Public domain W3C validator