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Theorem bldisj 19971
Description: Two balls are disjoint if the center-to-center distance is more than the sum of the radii. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
bldisj  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i  ( Q ( ball `  D ) S ) )  =  (/) )

Proof of Theorem bldisj
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 996 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( R +e S )  <_ 
( P D Q ) )
2 simpr1 994 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  R  e.  RR* )
3 simpr2 995 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  S  e.  RR* )
42, 3xaddcld 11262 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( R +e S )  e. 
RR* )
5 xmetcl 19904 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  ->  ( P D Q )  e.  RR* )
65adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( P D Q )  e.  RR* )
7 xrlenlt 9440 . . . . 5  |-  ( ( ( R +e
S )  e.  RR*  /\  ( P D Q )  e.  RR* )  ->  ( ( R +e S )  <_ 
( P D Q )  <->  -.  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
84, 6, 7syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( R +e S )  <_  ( P D Q )  <->  -.  ( P D Q )  < 
( R +e
S ) ) )
91, 8mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  -.  ( P D Q )  <  ( R +e S ) )
10 elin 3537 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i  ( Q ( ball `  D ) S ) )  <->  ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D
) S ) ) )
11 simpl1 991 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
12 simpl2 992 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  P  e.  X
)
13 elbl 19961 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
1411, 12, 2, 13syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( P D x )  <  R ) ) )
15 simpl3 993 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  Q  e.  X
)
16 elbl 19961 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Q  e.  X  /\  S  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( Q ( ball `  D
) S )  <->  ( x  e.  X  /\  ( Q D x )  < 
S ) ) )
1711, 15, 3, 16syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( x  e.  ( Q ( ball `  D ) S )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( Q D x )  <  S ) ) )
1814, 17anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( P (
ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D ) S ) )  <->  ( ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R )  /\  (
x  e.  X  /\  ( Q D x )  <  S ) ) ) )
19 anandi 824 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( ( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S ) )  <->  ( ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R )  /\  (
x  e.  X  /\  ( Q D x )  <  S ) ) )
2018, 19syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( P (
ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D ) S ) )  <->  ( x  e.  X  /\  ( ( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  < 
S ) ) ) )
2111adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
2212adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  P  e.  X )
23 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
24 xmetcl 19904 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  ( P D x )  e. 
RR* )
2521, 22, 23, 24syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( P D x )  e. 
RR* )
2615adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  Q  e.  X )
27 xmetcl 19904 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Q  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  ( Q D x )  e. 
RR* )
2821, 26, 23, 27syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( Q D x )  e. 
RR* )
292adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  R  e.  RR* )
303adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  S  e.  RR* )
31 xlt2add 11221 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P D x )  e.  RR*  /\  ( Q D x )  e.  RR* )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )
)  ->  ( (
( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S )  -> 
( ( P D x ) +e
( Q D x ) )  <  ( R +e S ) ) )
3225, 28, 29, 30, 31syl22anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S )  -> 
( ( P D x ) +e
( Q D x ) )  <  ( R +e S ) ) )
33 xmettri3 19926 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( P  e.  X  /\  Q  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( P D Q )  <_  ( ( P D x ) +e ( Q D x ) ) )
3421, 22, 26, 23, 33syl13anc 1220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( P D Q )  <_  (
( P D x ) +e ( Q D x ) ) )
356adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( P D Q )  e.  RR* )
3625, 28xaddcld 11262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( P D x ) +e ( Q D x ) )  e. 
RR* )
374adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( R +e S )  e.  RR* )
38 xrlelttr 11128 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P D Q )  e.  RR*  /\  (
( P D x ) +e ( Q D x ) )  e.  RR*  /\  ( R +e S )  e.  RR* )  ->  (
( ( P D Q )  <_  (
( P D x ) +e ( Q D x ) )  /\  ( ( P D x ) +e ( Q D x ) )  <  ( R +e S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
3935, 36, 37, 38syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( P D Q )  <_  ( ( P D x ) +e ( Q D x ) )  /\  ( ( P D x ) +e
( Q D x ) )  <  ( R +e S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
4034, 39mpand 675 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( P D x ) +e ( Q D x ) )  <  ( R +e S )  ->  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
4132, 40syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S )  -> 
( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
4241expimpd 603 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( x  e.  X  /\  (
( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
4320, 42sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( P (
ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D ) S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
4410, 43syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( x  e.  ( ( P (
ball `  D ) R )  i^i  ( Q ( ball `  D
) S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
459, 44mtod 177 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  -.  x  e.  ( ( P (
ball `  D ) R )  i^i  ( Q ( ball `  D
) S ) ) )
4645eq0rdv 3670 1  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i  ( Q ( ball `  D ) S ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    i^i cin 3325   (/)c0 3635   class class class wbr 4290   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   RR*cxr 9415    < clt 9416    <_ cle 9417   +ecxad 11085   *Metcxmt 17799   ballcbl 17801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-xneg 11087  df-xadd 11088  df-psmet 17807  df-xmet 17808  df-bl 17810
This theorem is referenced by:  bl2in  19973  blcld  20078  methaus  20093  metnrmlem3  20435  cntotbnd  28692  heiborlem6  28712
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