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Theorem bldisj 20664
Description: Two balls are disjoint if the center-to-center distance is more than the sum of the radii. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
bldisj  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i  ( Q ( ball `  D ) S ) )  =  (/) )

Proof of Theorem bldisj
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr3 1004 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( R +e S )  <_ 
( P D Q ) )
2 simpr1 1002 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  R  e.  RR* )
3 simpr2 1003 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  S  e.  RR* )
42, 3xaddcld 11493 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( R +e S )  e. 
RR* )
5 xmetcl 20597 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  ->  ( P D Q )  e.  RR* )
65adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( P D Q )  e.  RR* )
7 xrlenlt 9652 . . . . 5  |-  ( ( ( R +e
S )  e.  RR*  /\  ( P D Q )  e.  RR* )  ->  ( ( R +e S )  <_ 
( P D Q )  <->  -.  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
84, 6, 7syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( R +e S )  <_  ( P D Q )  <->  -.  ( P D Q )  < 
( R +e
S ) ) )
91, 8mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  -.  ( P D Q )  <  ( R +e S ) )
10 elin 3687 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i  ( Q ( ball `  D ) S ) )  <->  ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D
) S ) ) )
11 simpl1 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
12 simpl2 1000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  P  e.  X
)
13 elbl 20654 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R ) ) )
1411, 12, 2, 13syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( x  e.  ( P ( ball `  D ) R )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( P D x )  <  R ) ) )
15 simpl3 1001 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  Q  e.  X
)
16 elbl 20654 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Q  e.  X  /\  S  e.  RR* )  ->  ( x  e.  ( Q ( ball `  D
) S )  <->  ( x  e.  X  /\  ( Q D x )  < 
S ) ) )
1711, 15, 3, 16syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( x  e.  ( Q ( ball `  D ) S )  <-> 
( x  e.  X  /\  ( Q D x )  <  S ) ) )
1814, 17anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( P (
ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D ) S ) )  <->  ( ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R )  /\  (
x  e.  X  /\  ( Q D x )  <  S ) ) ) )
19 anandi 826 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( ( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S ) )  <->  ( ( x  e.  X  /\  ( P D x )  < 
R )  /\  (
x  e.  X  /\  ( Q D x )  <  S ) ) )
2018, 19syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( P (
ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D ) S ) )  <->  ( x  e.  X  /\  ( ( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  < 
S ) ) ) )
2111adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
2212adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  P  e.  X )
23 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
24 xmetcl 20597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  ( P D x )  e. 
RR* )
2521, 22, 23, 24syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( P D x )  e. 
RR* )
2615adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  Q  e.  X )
27 xmetcl 20597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Q  e.  X  /\  x  e.  X
)  ->  ( Q D x )  e. 
RR* )
2821, 26, 23, 27syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( Q D x )  e. 
RR* )
292adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  R  e.  RR* )
303adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  S  e.  RR* )
31 xlt2add 11452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P D x )  e.  RR*  /\  ( Q D x )  e.  RR* )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )
)  ->  ( (
( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S )  -> 
( ( P D x ) +e
( Q D x ) )  <  ( R +e S ) ) )
3225, 28, 29, 30, 31syl22anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S )  -> 
( ( P D x ) +e
( Q D x ) )  <  ( R +e S ) ) )
33 xmettri3 20619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( P  e.  X  /\  Q  e.  X  /\  x  e.  X ) )  -> 
( P D Q )  <_  ( ( P D x ) +e ( Q D x ) ) )
3421, 22, 26, 23, 33syl13anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( P D Q )  <_  (
( P D x ) +e ( Q D x ) ) )
356adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( P D Q )  e.  RR* )
3625, 28xaddcld 11493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( P D x ) +e ( Q D x ) )  e. 
RR* )
374adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( R +e S )  e.  RR* )
38 xrlelttr 11359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P D Q )  e.  RR*  /\  (
( P D x ) +e ( Q D x ) )  e.  RR*  /\  ( R +e S )  e.  RR* )  ->  (
( ( P D Q )  <_  (
( P D x ) +e ( Q D x ) )  /\  ( ( P D x ) +e ( Q D x ) )  <  ( R +e S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
3935, 36, 37, 38syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( P D Q )  <_  ( ( P D x ) +e ( Q D x ) )  /\  ( ( P D x ) +e
( Q D x ) )  <  ( R +e S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
4034, 39mpand 675 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( P D x ) +e ( Q D x ) )  <  ( R +e S )  ->  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
4132, 40syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e.  RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S )  -> 
( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
4241expimpd 603 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( x  e.  X  /\  (
( P D x )  <  R  /\  ( Q D x )  <  S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
4320, 42sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( P (
ball `  D ) R )  /\  x  e.  ( Q ( ball `  D ) S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
4410, 43syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( x  e.  ( ( P (
ball `  D ) R )  i^i  ( Q ( ball `  D
) S ) )  ->  ( P D Q )  <  ( R +e S ) ) )
459, 44mtod 177 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  -.  x  e.  ( ( P (
ball `  D ) R )  i^i  ( Q ( ball `  D
) S ) ) )
4645eq0rdv 3820 1  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  S  e. 
RR*  /\  ( R +e S )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i  ( Q ( ball `  D ) S ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    i^i cin 3475   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629   +ecxad 11316   *Metcxmt 18202   ballcbl 18204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-bl 18213
This theorem is referenced by:  bl2in  20666  blcld  20771  methaus  20786  metnrmlem3  21128  cntotbnd  29923  heiborlem6  29943
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