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Theorem blcvx 21809
Description: An open ball in the complex numbers is a convex set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
blcvx.s  |-  S  =  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )
Assertion
Ref Expression
blcvx  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( T  x.  A
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) )  e.  S )

Proof of Theorem blcvx
StepHypRef Expression
1 simpr3 1015 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  T  e.  ( 0 [,] 1
) )
2 0re 9640 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
3 1re 9639 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
42, 3elicc2i 11697 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( T  e.  RR  /\  0  <_  T  /\  T  <_  1
) )
51, 4sylib 200 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( T  e.  RR  /\  0  <_  T  /\  T  <_ 
1 ) )
65simp1d 1019 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  T  e.  RR )
76recnd 9666 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  T  e.  CC )
8 simpr1 1013 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  A  e.  S )
9 blcvx.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )
108, 9syl6eleq 2538 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  A  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )
11 cnxmet 21786 . . . . . . . . 9  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
1211a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
13 simpll 759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  P  e.  CC )
14 simplr 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  R  e.  RR* )
15 elbl 21396 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( P
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R )  <->  ( A  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) A )  <  R
) ) )
1612, 13, 14, 15syl3anc 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( A  e.  ( P
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R )  <->  ( A  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) A )  <  R
) ) )
1710, 16mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( A  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) A )  <  R ) )
1817simpld 461 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
197, 18mulcld 9660 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( T  x.  A )  e.  CC )
20 resubcl 9935 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  ( 1  -  T
)  e.  RR )
213, 6, 20sylancr 668 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
1  -  T )  e.  RR )
2221recnd 9666 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
1  -  T )  e.  CC )
23 simpr2 1014 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  B  e.  S )
2423, 9syl6eleq 2538 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  B  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )
25 elbl 21396 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( P
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R )  <->  ( B  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) B )  <  R
) ) )
2612, 13, 14, 25syl3anc 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( B  e.  ( P
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R )  <->  ( B  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) B )  <  R
) ) )
2724, 26mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( B  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) B )  <  R ) )
2827simpld 461 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  B  e.  CC )
2922, 28mulcld 9660 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  B )  e.  CC )
3019, 29addcld 9659 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( T  x.  A
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) )  e.  CC )
31 eqid 2450 . . . . . . 7  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3231cnmetdval 21784 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  CC  /\  ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  B ) )  e.  CC )  ->  ( P ( abs  o.  -  )
( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  B ) ) )  =  ( abs `  ( P  -  ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T )  x.  B
) ) ) ) )
3313, 30, 32syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( P ( abs  o.  -  ) ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) ) )  =  ( abs `  ( P  -  ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) ) ) ) )
347, 13, 18subdid 10071 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( T  x.  ( P  -  A ) )  =  ( ( T  x.  P )  -  ( T  x.  A )
) )
3522, 13, 28subdid 10071 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  P )  -  ( ( 1  -  T )  x.  B
) ) )
3634, 35oveq12d 6306 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( T  x.  ( P  -  A )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B ) ) )  =  ( ( ( T  x.  P )  -  ( T  x.  A ) )  +  ( ( ( 1  -  T )  x.  P )  -  (
( 1  -  T
)  x.  B ) ) ) )
377, 13mulcld 9660 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( T  x.  P )  e.  CC )
3822, 13mulcld 9660 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  P )  e.  CC )
3937, 38, 19, 29addsub4d 10030 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( ( T  x.  P )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  P ) )  -  ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) ) )  =  ( ( ( T  x.  P )  -  ( T  x.  A ) )  +  ( ( ( 1  -  T )  x.  P )  -  (
( 1  -  T
)  x.  B ) ) ) )
40 ax-1cn 9594 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
41 pncan3 9880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( T  +  ( 1  -  T ) )  =  1 )
427, 40, 41sylancl 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( T  +  ( 1  -  T ) )  =  1 )
4342oveq1d 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( T  +  ( 1  -  T ) )  x.  P )  =  ( 1  x.  P ) )
447, 22, 13adddird 9665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( T  +  ( 1  -  T ) )  x.  P )  =  ( ( T  x.  P )  +  ( ( 1  -  T )  x.  P
) ) )
45 mulid2 9638 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  CC  ->  (
1  x.  P )  =  P )
4645ad2antrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
1  x.  P )  =  P )
4743, 44, 463eqtr3d 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( T  x.  P
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  P ) )  =  P )
4847oveq1d 6303 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( ( T  x.  P )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  P ) )  -  ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) ) )  =  ( P  -  ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  B ) ) ) )
4936, 39, 483eqtr2d 2490 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( T  x.  ( P  -  A )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B ) ) )  =  ( P  -  ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  B ) ) ) )
5049fveq2d 5867 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( T  x.  ( P  -  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B )
) ) )  =  ( abs `  ( P  -  ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) ) ) ) )
5133, 50eqtr4d 2487 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( P ( abs  o.  -  ) ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) ) )  =  ( abs `  (
( T  x.  ( P  -  A )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B ) ) ) ) )
5213, 18subcld 9983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( P  -  A )  e.  CC )
537, 52mulcld 9660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( T  x.  ( P  -  A ) )  e.  CC )
5413, 28subcld 9983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( P  -  B )  e.  CC )
5522, 54mulcld 9660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) )  e.  CC )
5653, 55addcld 9659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( T  x.  ( P  -  A )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B ) ) )  e.  CC )
5756abscld 13491 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( T  x.  ( P  -  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B )
) ) )  e.  RR )
5857adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  ( ( T  x.  ( P  -  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B )
) ) )  e.  RR )
5953abscld 13491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A
) ) )  e.  RR )
6055abscld 13491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) )  e.  RR )
6159, 60readdcld 9667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) )  e.  RR )
6261adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) )  e.  RR )
63 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  R  e.  RR )
6453, 55abstrid 13511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( T  x.  ( P  -  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B )
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) ) )
6564adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  ( ( T  x.  ( P  -  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B )
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) ) )
66 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  =  0  ->  ( T  x.  ( P  -  A ) )  =  ( 0  x.  ( P  -  A )
) )
6752mul02d 9828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
0  x.  ( P  -  A ) )  =  0 )
6866, 67sylan9eqr 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  =  0 )  ->  ( T  x.  ( P  -  A ) )  =  0 )
6968abs00bd 13347 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  =  0 )  ->  ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A
) ) )  =  0 )
70 oveq2 6296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  =  0  ->  (
1  -  T )  =  ( 1  -  0 ) )
71 1m0e1 10717 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  -  0 )  =  1
7270, 71syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  =  0  ->  (
1  -  T )  =  1 )
7372oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  =  0  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) )  =  ( 1  x.  ( P  -  B
) ) )
7454mulid2d 9658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
1  x.  ( P  -  B ) )  =  ( P  -  B ) )
7573, 74sylan9eqr 2506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  =  0 )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) )  =  ( P  -  B ) )
7675fveq2d 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  =  0 )  ->  ( abs `  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) )  =  ( abs `  ( P  -  B )
) )
7769, 76oveq12d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  =  0 )  ->  (
( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) )  =  ( 0  +  ( abs `  ( P  -  B
) ) ) )
7854abscld 13491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( P  -  B ) )  e.  RR )
7978recnd 9666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( P  -  B ) )  e.  CC )
8079addid2d 9831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
0  +  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  =  ( abs `  ( P  -  B )
) )
8131cnmetdval 21784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( P ( abs 
o.  -  ) B
)  =  ( abs `  ( P  -  B
) ) )
8213, 28, 81syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( P ( abs  o.  -  ) B )  =  ( abs `  ( P  -  B )
) )
8380, 82eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
0  +  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  =  ( P ( abs 
o.  -  ) B
) )
8427simprd 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( P ( abs  o.  -  ) B )  <  R )
8583, 84eqbrtrd 4422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
0  +  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  < 
R )
8685adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  =  0 )  ->  (
0  +  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  < 
R )
8777, 86eqbrtrd 4422 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  =  0 )  ->  (
( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) )  <  R
)
8887adantlr 720 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =  0 )  -> 
( ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) )  <  R
)
897, 52absmuld 13509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A
) ) )  =  ( ( abs `  T
)  x.  ( abs `  ( P  -  A
) ) ) )
905simp2d 1020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  0  <_  T )
916, 90absidd 13477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  T )  =  T )
9291oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( abs `  T
)  x.  ( abs `  ( P  -  A
) ) )  =  ( T  x.  ( abs `  ( P  -  A ) ) ) )
9389, 92eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A
) ) )  =  ( T  x.  ( abs `  ( P  -  A ) ) ) )
9493ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A
) ) )  =  ( T  x.  ( abs `  ( P  -  A ) ) ) )
9531cnmetdval 21784 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( P ( abs 
o.  -  ) A
)  =  ( abs `  ( P  -  A
) ) )
9613, 18, 95syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( P ( abs  o.  -  ) A )  =  ( abs `  ( P  -  A )
) )
9717simprd 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( P ( abs  o.  -  ) A )  <  R )
9896, 97eqbrtrrd 4424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( P  -  A ) )  < 
R )
9998ad2antrr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( P  -  A ) )  < 
R )
10052abscld 13491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( P  -  A ) )  e.  RR )
101100ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( P  -  A ) )  e.  RR )
102 simplr 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  R  e.  RR )
1036ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  T  e.  RR )
1042a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  0  e.  RR )
105104, 6, 90leltned 9785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
0  <  T  <->  T  =/=  0 ) )
106105biimpar 488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  =/=  0 )  ->  0  <  T )
107106adantlr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  0  <  T )
108 ltmul2 10453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( P  -  A )
)  e.  RR  /\  R  e.  RR  /\  ( T  e.  RR  /\  0  <  T ) )  -> 
( ( abs `  ( P  -  A )
)  <  R  <->  ( T  x.  ( abs `  ( P  -  A )
) )  <  ( T  x.  R )
) )
109101, 102, 103, 107, 108syl112anc 1271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  (
( abs `  ( P  -  A )
)  <  R  <->  ( T  x.  ( abs `  ( P  -  A )
) )  <  ( T  x.  R )
) )
11099, 109mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  ( T  x.  ( abs `  ( P  -  A
) ) )  < 
( T  x.  R
) )
11194, 110eqbrtrd 4422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A
) ) )  < 
( T  x.  R
) )
11222, 54absmuld 13509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) )  =  ( ( abs `  (
1  -  T ) )  x.  ( abs `  ( P  -  B
) ) ) )
1133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
1145simp3d 1021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  T  <_  1 )
1156, 113, 114abssubge0d 13486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( 1  -  T ) )  =  ( 1  -  T
) )
116115oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( abs `  (
1  -  T ) )  x.  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  ( abs `  ( P  -  B ) ) ) )
117112, 116eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  ( abs `  ( P  -  B ) ) ) )
118117adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  ( abs `  ( P  -  B ) ) ) )
11978adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  ( P  -  B ) )  e.  RR )
120 subge0 10124 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
1  -  T )  <-> 
T  <_  1 ) )
1213, 6, 120sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
0  <_  ( 1  -  T )  <->  T  <_  1 ) )
122114, 121mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  0  <_  ( 1  -  T
) )
12321, 122jca 535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( 1  -  T
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  -  T ) ) )
124123adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( 1  -  T
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  -  T ) ) )
12582, 84eqbrtrrd 4424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( P  -  B ) )  < 
R )
126125adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  ( P  -  B ) )  < 
R )
127 ltle 9719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  ( P  -  B )
)  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( P  -  B )
)  <  R  ->  ( abs `  ( P  -  B ) )  <_  R ) )
12878, 127sylan 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( P  -  B )
)  <  R  ->  ( abs `  ( P  -  B ) )  <_  R ) )
129126, 128mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  ( P  -  B ) )  <_  R )
130 lemul2a 10457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs `  ( P  -  B )
)  e.  RR  /\  R  e.  RR  /\  (
( 1  -  T
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  -  T ) ) )  /\  ( abs `  ( P  -  B )
)  <_  R )  ->  ( ( 1  -  T )  x.  ( abs `  ( P  -  B ) ) )  <_  ( ( 1  -  T )  x.  R ) )
131119, 63, 124, 129, 130syl31anc 1270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  <_ 
( ( 1  -  T )  x.  R
) )
132118, 131eqbrtrd 4422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) )  <_ 
( ( 1  -  T )  x.  R
) )
133132adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) )  <_ 
( ( 1  -  T )  x.  R
) )
13459adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A
) ) )  e.  RR )
13560adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) )  e.  RR )
136 remulcl 9621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( T  x.  R
)  e.  RR )
1376, 136sylan 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( T  x.  R )  e.  RR )
138 remulcl 9621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  -  T
)  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( 1  -  T )  x.  R
)  e.  RR )
13921, 138sylan 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  R )  e.  RR )
140 ltleadd 10094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) )  e.  RR )  /\  (
( T  x.  R
)  e.  RR  /\  ( ( 1  -  T )  x.  R
)  e.  RR ) )  ->  ( (
( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  <  ( T  x.  R )  /\  ( abs `  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) )  <_ 
( ( 1  -  T )  x.  R
) )  ->  (
( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) )  <  (
( T  x.  R
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  R ) ) ) )
141134, 135, 137, 139, 140syl22anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  <  ( T  x.  R )  /\  ( abs `  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) )  <_ 
( ( 1  -  T )  x.  R
) )  ->  (
( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) )  <  (
( T  x.  R
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  R ) ) ) )
142141adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  (
( ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  <  ( T  x.  R )  /\  ( abs `  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) )  <_ 
( ( 1  -  T )  x.  R
) )  ->  (
( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) )  <  (
( T  x.  R
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  R ) ) ) )
143111, 133, 142mp2and 684 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  (
( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) )  <  (
( T  x.  R
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  R ) ) )
14442oveq1d 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( T  +  ( 1  -  T ) )  x.  R )  =  ( 1  x.  R ) )
145144adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( T  +  ( 1  -  T ) )  x.  R )  =  ( 1  x.  R ) )
1467adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  T  e.  CC )
14722adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
1  -  T )  e.  CC )
14863recnd 9666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  R  e.  CC )
149146, 147, 148adddird 9665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( T  +  ( 1  -  T ) )  x.  R )  =  ( ( T  x.  R )  +  ( ( 1  -  T )  x.  R
) ) )
150148mulid2d 9658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
1  x.  R )  =  R )
151145, 149, 1503eqtr3d 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( T  x.  R
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  R ) )  =  R )
152151adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  (
( T  x.  R
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  R ) )  =  R )
153143, 152breqtrd 4426 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  (
( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) )  <  R
)
15488, 153pm2.61dane 2710 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) )  <  R
)
15558, 62, 63, 65, 154lelttrd 9790 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  ( ( T  x.  ( P  -  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B )
) ) )  < 
R )
15657adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( abs `  ( ( T  x.  ( P  -  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B )
) ) )  e.  RR )
157 ltpnf 11419 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  ( ( T  x.  ( P  -  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) ) )  e.  RR  ->  ( abs `  ( ( T  x.  ( P  -  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B )
) ) )  < +oo )
158156, 157syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( abs `  ( ( T  x.  ( P  -  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B )
) ) )  < +oo )
159 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  = +oo )  ->  R  = +oo )
160158, 159breqtrrd 4428 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( abs `  ( ( T  x.  ( P  -  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B )
) ) )  < 
R )
161 0xr 9684 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
162161a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  0  e.  RR* )
163100rexrd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( P  -  A ) )  e. 
RR* )
16452absge0d 13499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( P  -  A )
) )
165162, 163, 14, 164, 98xrlelttrd 11454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  0  <  R )
166 xrltle 11445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  (
0  <  R  ->  0  <_  R ) )
167161, 14, 166sylancr 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
0  <  R  ->  0  <_  R ) )
168165, 167mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  0  <_  R )
169 ge0nemnf 11465 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  0  <_  R )  ->  R  =/= -oo )
17014, 168, 169syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  R  =/= -oo )
17114, 170jca 535 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( R  e.  RR*  /\  R  =/= -oo ) )
172 xrnemnf 11416 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  R  =/= -oo )  <->  ( R  e.  RR  \/  R  = +oo ) )
173171, 172sylib 200 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( R  e.  RR  \/  R  = +oo )
)
174155, 160, 173mpjaodan 794 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( T  x.  ( P  -  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B )
) ) )  < 
R )
17551, 174eqbrtrd 4422 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( P ( abs  o.  -  ) ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) ) )  <  R )
176 elbl 21396 . . . 4  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  ->  (
( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  B ) )  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  <->  ( (
( T  x.  A
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) )  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) ) )  <  R ) ) )
17712, 13, 14, 176syl3anc 1267 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  B ) )  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  <->  ( (
( T  x.  A
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) )  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) ) )  <  R ) ) )
17830, 175, 177mpbir2and 932 . 2  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( T  x.  A
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) )  e.  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) )
179178, 9syl6eleqr 2539 1  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( T  x.  A
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) )  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   class class class wbr 4401    o. ccom 4837   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541   +oocpnf 9669   -oocmnf 9670   RR*cxr 9671    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857   [,]cicc 11635   abscabs 13290   *Metcxmt 18948   ballcbl 18950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-sup 7953  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-xadd 11407  df-icc 11639  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958
This theorem is referenced by:  dvlipcn  22939  blscon  29960
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