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Theorem blcvx 20380
Description: An open ball in the complex numbers is a convex set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
blcvx.s  |-  S  =  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )
Assertion
Ref Expression
blcvx  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( T  x.  A
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) )  e.  S )

Proof of Theorem blcvx
StepHypRef Expression
1 simpr3 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  T  e.  ( 0 [,] 1
) )
2 0re 9391 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
3 1re 9390 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
42, 3elicc2i 11366 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( T  e.  RR  /\  0  <_  T  /\  T  <_  1
) )
51, 4sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( T  e.  RR  /\  0  <_  T  /\  T  <_ 
1 ) )
65simp1d 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  T  e.  RR )
76recnd 9417 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  T  e.  CC )
8 simpr1 994 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  A  e.  S )
9 blcvx.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )
108, 9syl6eleq 2533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  A  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )
11 cnxmet 20357 . . . . . . . . 9  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
1211a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
13 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  P  e.  CC )
14 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  R  e.  RR* )
15 elbl 19968 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( P
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R )  <->  ( A  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) A )  <  R
) ) )
1612, 13, 14, 15syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( A  e.  ( P
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R )  <->  ( A  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) A )  <  R
) ) )
1710, 16mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( A  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) A )  <  R ) )
1817simpld 459 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
197, 18mulcld 9411 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( T  x.  A )  e.  CC )
20 resubcl 9678 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  ( 1  -  T
)  e.  RR )
213, 6, 20sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
1  -  T )  e.  RR )
2221recnd 9417 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
1  -  T )  e.  CC )
23 simpr2 995 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  B  e.  S )
2423, 9syl6eleq 2533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  B  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R ) )
25 elbl 19968 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  ->  ( B  e.  ( P
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R )  <->  ( B  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) B )  <  R
) ) )
2612, 13, 14, 25syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( B  e.  ( P
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R )  <->  ( B  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) B )  <  R
) ) )
2724, 26mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( B  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) B )  <  R ) )
2827simpld 459 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  B  e.  CC )
2922, 28mulcld 9411 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  B )  e.  CC )
3019, 29addcld 9410 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( T  x.  A
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) )  e.  CC )
31 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3231cnmetdval 20355 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  CC  /\  ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  B ) )  e.  CC )  ->  ( P ( abs  o.  -  )
( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  B ) ) )  =  ( abs `  ( P  -  ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T )  x.  B
) ) ) ) )
3313, 30, 32syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( P ( abs  o.  -  ) ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) ) )  =  ( abs `  ( P  -  ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) ) ) ) )
347, 13, 18subdid 9805 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( T  x.  ( P  -  A ) )  =  ( ( T  x.  P )  -  ( T  x.  A )
) )
3522, 13, 28subdid 9805 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  P )  -  ( ( 1  -  T )  x.  B
) ) )
3634, 35oveq12d 6114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( T  x.  ( P  -  A )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B ) ) )  =  ( ( ( T  x.  P )  -  ( T  x.  A ) )  +  ( ( ( 1  -  T )  x.  P )  -  (
( 1  -  T
)  x.  B ) ) ) )
377, 13mulcld 9411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( T  x.  P )  e.  CC )
3822, 13mulcld 9411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  P )  e.  CC )
3937, 38, 19, 29addsub4d 9771 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( ( T  x.  P )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  P ) )  -  ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) ) )  =  ( ( ( T  x.  P )  -  ( T  x.  A ) )  +  ( ( ( 1  -  T )  x.  P )  -  (
( 1  -  T
)  x.  B ) ) ) )
40 ax-1cn 9345 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
41 pncan3 9623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( T  +  ( 1  -  T ) )  =  1 )
427, 40, 41sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( T  +  ( 1  -  T ) )  =  1 )
4342oveq1d 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( T  +  ( 1  -  T ) )  x.  P )  =  ( 1  x.  P ) )
447, 22, 13adddird 9416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( T  +  ( 1  -  T ) )  x.  P )  =  ( ( T  x.  P )  +  ( ( 1  -  T )  x.  P
) ) )
45 mulid2 9389 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  CC  ->  (
1  x.  P )  =  P )
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
1  x.  P )  =  P )
4743, 44, 463eqtr3d 2483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( T  x.  P
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  P ) )  =  P )
4847oveq1d 6111 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( ( T  x.  P )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  P ) )  -  ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) ) )  =  ( P  -  ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  B ) ) ) )
4936, 39, 483eqtr2d 2481 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( T  x.  ( P  -  A )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B ) ) )  =  ( P  -  ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  B ) ) ) )
5049fveq2d 5700 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( T  x.  ( P  -  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B )
) ) )  =  ( abs `  ( P  -  ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) ) ) ) )
5133, 50eqtr4d 2478 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( P ( abs  o.  -  ) ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) ) )  =  ( abs `  (
( T  x.  ( P  -  A )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B ) ) ) ) )
5213, 18subcld 9724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( P  -  A )  e.  CC )
537, 52mulcld 9411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( T  x.  ( P  -  A ) )  e.  CC )
5413, 28subcld 9724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( P  -  B )  e.  CC )
5522, 54mulcld 9411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) )  e.  CC )
5653, 55addcld 9410 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( T  x.  ( P  -  A )
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B ) ) )  e.  CC )
5756abscld 12927 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( T  x.  ( P  -  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B )
) ) )  e.  RR )
5857adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  ( ( T  x.  ( P  -  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B )
) ) )  e.  RR )
5953abscld 12927 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A
) ) )  e.  RR )
6055abscld 12927 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) )  e.  RR )
6159, 60readdcld 9418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) )  e.  RR )
6261adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) )  e.  RR )
63 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  R  e.  RR )
6453, 55abstrid 12947 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( T  x.  ( P  -  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B )
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) ) )
6564adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  ( ( T  x.  ( P  -  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B )
) ) )  <_ 
( ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) ) )
66 oveq1 6103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  =  0  ->  ( T  x.  ( P  -  A ) )  =  ( 0  x.  ( P  -  A )
) )
6752mul02d 9572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
0  x.  ( P  -  A ) )  =  0 )
6866, 67sylan9eqr 2497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  =  0 )  ->  ( T  x.  ( P  -  A ) )  =  0 )
6968abs00bd 12785 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  =  0 )  ->  ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A
) ) )  =  0 )
70 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  =  0  ->  (
1  -  T )  =  ( 1  -  0 ) )
71 1m0e1 10437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  -  0 )  =  1
7270, 71syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  =  0  ->  (
1  -  T )  =  1 )
7372oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  =  0  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) )  =  ( 1  x.  ( P  -  B
) ) )
7454mulid2d 9409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
1  x.  ( P  -  B ) )  =  ( P  -  B ) )
7573, 74sylan9eqr 2497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  =  0 )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) )  =  ( P  -  B ) )
7675fveq2d 5700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  =  0 )  ->  ( abs `  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) )  =  ( abs `  ( P  -  B )
) )
7769, 76oveq12d 6114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  =  0 )  ->  (
( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) )  =  ( 0  +  ( abs `  ( P  -  B
) ) ) )
7854abscld 12927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( P  -  B ) )  e.  RR )
7978recnd 9417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( P  -  B ) )  e.  CC )
8079addid2d 9575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
0  +  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  =  ( abs `  ( P  -  B )
) )
8131cnmetdval 20355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( P ( abs 
o.  -  ) B
)  =  ( abs `  ( P  -  B
) ) )
8213, 28, 81syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( P ( abs  o.  -  ) B )  =  ( abs `  ( P  -  B )
) )
8380, 82eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
0  +  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  =  ( P ( abs 
o.  -  ) B
) )
8427simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( P ( abs  o.  -  ) B )  <  R )
8583, 84eqbrtrd 4317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
0  +  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  < 
R )
8685adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  =  0 )  ->  (
0  +  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  < 
R )
8777, 86eqbrtrd 4317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  =  0 )  ->  (
( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) )  <  R
)
8887adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =  0 )  -> 
( ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) )  <  R
)
897, 52absmuld 12945 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A
) ) )  =  ( ( abs `  T
)  x.  ( abs `  ( P  -  A
) ) ) )
905simp2d 1001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  0  <_  T )
916, 90absidd 12914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  T )  =  T )
9291oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( abs `  T
)  x.  ( abs `  ( P  -  A
) ) )  =  ( T  x.  ( abs `  ( P  -  A ) ) ) )
9389, 92eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A
) ) )  =  ( T  x.  ( abs `  ( P  -  A ) ) ) )
9493ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A
) ) )  =  ( T  x.  ( abs `  ( P  -  A ) ) ) )
9531cnmetdval 20355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( P ( abs 
o.  -  ) A
)  =  ( abs `  ( P  -  A
) ) )
9613, 18, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( P ( abs  o.  -  ) A )  =  ( abs `  ( P  -  A )
) )
9717simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( P ( abs  o.  -  ) A )  <  R )
9896, 97eqbrtrrd 4319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( P  -  A ) )  < 
R )
9998ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( P  -  A ) )  < 
R )
10052abscld 12927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( P  -  A ) )  e.  RR )
101100ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( P  -  A ) )  e.  RR )
102 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  R  e.  RR )
1036ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  T  e.  RR )
1042a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  0  e.  RR )
105104, 6, 90leltned 9530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
0  <  T  <->  T  =/=  0 ) )
106105biimpar 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  T  =/=  0 )  ->  0  <  T )
107106adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  0  <  T )
108 ltmul2 10185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  ( P  -  A )
)  e.  RR  /\  R  e.  RR  /\  ( T  e.  RR  /\  0  <  T ) )  -> 
( ( abs `  ( P  -  A )
)  <  R  <->  ( T  x.  ( abs `  ( P  -  A )
) )  <  ( T  x.  R )
) )
109101, 102, 103, 107, 108syl112anc 1222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  (
( abs `  ( P  -  A )
)  <  R  <->  ( T  x.  ( abs `  ( P  -  A )
) )  <  ( T  x.  R )
) )
11099, 109mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  ( T  x.  ( abs `  ( P  -  A
) ) )  < 
( T  x.  R
) )
11194, 110eqbrtrd 4317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A
) ) )  < 
( T  x.  R
) )
11222, 54absmuld 12945 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) )  =  ( ( abs `  (
1  -  T ) )  x.  ( abs `  ( P  -  B
) ) ) )
1133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
1145simp3d 1002 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  T  <_  1 )
1156, 113, 114abssubge0d 12923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( 1  -  T ) )  =  ( 1  -  T
) )
116115oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( abs `  (
1  -  T ) )  x.  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  ( abs `  ( P  -  B ) ) ) )
117112, 116eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  ( abs `  ( P  -  B ) ) ) )
118117adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  ( abs `  ( P  -  B ) ) ) )
11978adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  ( P  -  B ) )  e.  RR )
120 subge0 9857 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
1  -  T )  <-> 
T  <_  1 ) )
1213, 6, 120sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
0  <_  ( 1  -  T )  <->  T  <_  1 ) )
122114, 121mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  0  <_  ( 1  -  T
) )
12321, 122jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( 1  -  T
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  -  T ) ) )
124123adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( 1  -  T
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  -  T ) ) )
12582, 84eqbrtrrd 4319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( P  -  B ) )  < 
R )
126125adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  ( P  -  B ) )  < 
R )
127 ltle 9468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs `  ( P  -  B )
)  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( P  -  B )
)  <  R  ->  ( abs `  ( P  -  B ) )  <_  R ) )
12878, 127sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( P  -  B )
)  <  R  ->  ( abs `  ( P  -  B ) )  <_  R ) )
129126, 128mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  ( P  -  B ) )  <_  R )
130 lemul2a 10189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs `  ( P  -  B )
)  e.  RR  /\  R  e.  RR  /\  (
( 1  -  T
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  -  T ) ) )  /\  ( abs `  ( P  -  B )
)  <_  R )  ->  ( ( 1  -  T )  x.  ( abs `  ( P  -  B ) ) )  <_  ( ( 1  -  T )  x.  R ) )
131119, 63, 124, 129, 130syl31anc 1221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  <_ 
( ( 1  -  T )  x.  R
) )
132118, 131eqbrtrd 4317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) )  <_ 
( ( 1  -  T )  x.  R
) )
133132adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  ( abs `  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) )  <_ 
( ( 1  -  T )  x.  R
) )
13459adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A
) ) )  e.  RR )
13560adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) )  e.  RR )
136 remulcl 9372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( T  x.  R
)  e.  RR )
1376, 136sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( T  x.  R )  e.  RR )
138 remulcl 9372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  -  T
)  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( 1  -  T )  x.  R
)  e.  RR )
13921, 138sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  R )  e.  RR )
140 ltleadd 9827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) )  e.  RR )  /\  (
( T  x.  R
)  e.  RR  /\  ( ( 1  -  T )  x.  R
)  e.  RR ) )  ->  ( (
( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  <  ( T  x.  R )  /\  ( abs `  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) )  <_ 
( ( 1  -  T )  x.  R
) )  ->  (
( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) )  <  (
( T  x.  R
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  R ) ) ) )
141134, 135, 137, 139, 140syl22anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  <  ( T  x.  R )  /\  ( abs `  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) )  <_ 
( ( 1  -  T )  x.  R
) )  ->  (
( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) )  <  (
( T  x.  R
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  R ) ) ) )
142141adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  (
( ( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  <  ( T  x.  R )  /\  ( abs `  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) )  <_ 
( ( 1  -  T )  x.  R
) )  ->  (
( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) )  <  (
( T  x.  R
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  R ) ) ) )
143111, 133, 142mp2and 679 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  (
( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) )  <  (
( T  x.  R
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  R ) ) )
14442oveq1d 6111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( T  +  ( 1  -  T ) )  x.  R )  =  ( 1  x.  R ) )
145144adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( T  +  ( 1  -  T ) )  x.  R )  =  ( 1  x.  R ) )
1467adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  T  e.  CC )
14722adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
1  -  T )  e.  CC )
14863recnd 9417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  R  e.  CC )
149146, 147, 148adddird 9416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( T  +  ( 1  -  T ) )  x.  R )  =  ( ( T  x.  R )  +  ( ( 1  -  T )  x.  R
) ) )
150148mulid2d 9409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
1  x.  R )  =  R )
151145, 149, 1503eqtr3d 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( T  x.  R
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  R ) )  =  R )
152151adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  (
( T  x.  R
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  R ) )  =  R )
153143, 152breqtrd 4321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  /\  T  =/=  0 )  ->  (
( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) )  <  R
)
15488, 153pm2.61dane 2694 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  (
( abs `  ( T  x.  ( P  -  A ) ) )  +  ( abs `  (
( 1  -  T
)  x.  ( P  -  B ) ) ) )  <  R
)
15558, 62, 63, 65, 154lelttrd 9534 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  e.  RR )  ->  ( abs `  ( ( T  x.  ( P  -  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B )
) ) )  < 
R )
15657adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( abs `  ( ( T  x.  ( P  -  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B )
) ) )  e.  RR )
157 ltpnf 11107 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  ( ( T  x.  ( P  -  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B
) ) ) )  e.  RR  ->  ( abs `  ( ( T  x.  ( P  -  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B )
) ) )  < +oo )
158156, 157syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( abs `  ( ( T  x.  ( P  -  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B )
) ) )  < +oo )
159 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  = +oo )  ->  R  = +oo )
160158, 159breqtrrd 4323 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e. 
RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  /\  R  = +oo )  ->  ( abs `  ( ( T  x.  ( P  -  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B )
) ) )  < 
R )
161 0xr 9435 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
162161a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  0  e.  RR* )
163100rexrd 9438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( P  -  A ) )  e. 
RR* )
16452absge0d 12935 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( P  -  A )
) )
165162, 163, 14, 164, 98xrlelttrd 11139 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  0  <  R )
166 xrltle 11131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  (
0  <  R  ->  0  <_  R ) )
167161, 14, 166sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
0  <  R  ->  0  <_  R ) )
168165, 167mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  0  <_  R )
169 ge0nemnf 11150 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  0  <_  R )  ->  R  =/= -oo )
17014, 168, 169syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  R  =/= -oo )
17114, 170jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( R  e.  RR*  /\  R  =/= -oo ) )
172 xrnemnf 11104 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  R  =/= -oo )  <->  ( R  e.  RR  \/  R  = +oo ) )
173171, 172sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( R  e.  RR  \/  R  = +oo )
)
174155, 160, 173mpjaodan 784 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( T  x.  ( P  -  A ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( P  -  B )
) ) )  < 
R )
17551, 174eqbrtrd 4317 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  ( P ( abs  o.  -  ) ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) ) )  <  R )
176 elbl 19968 . . . 4  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  ->  (
( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  B ) )  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  <->  ( (
( T  x.  A
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) )  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) ) )  <  R ) ) )
17712, 13, 14, 176syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  B ) )  e.  ( P ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) R )  <->  ( (
( T  x.  A
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) )  e.  CC  /\  ( P ( abs  o.  -  ) ( ( T  x.  A )  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) ) )  <  R ) ) )
17830, 175, 177mpbir2and 913 . 2  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( T  x.  A
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) )  e.  ( P (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) R ) )
179178, 9syl6eleqr 2534 1  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  S  /\  B  e.  S  /\  T  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( T  x.  A
)  +  ( ( 1  -  T )  x.  B ) )  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   class class class wbr 4297    o. ccom 4849   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292   +oocpnf 9420   -oocmnf 9421   RR*cxr 9422    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600   [,]cicc 11308   abscabs 12728   *Metcxmt 17806   ballcbl 17808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-xadd 11095  df-icc 11312  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817
This theorem is referenced by:  dvlipcn  21471  blscon  27138
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