MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blcntr Structured version   Unicode version

Theorem blcntr 21206
Description: A ball contains its center. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blcntr  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR+ )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )

Proof of Theorem blcntr
StepHypRef Expression
1 rpxr 11271 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e. 
RR* )
2 rpgt0 11275 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  < 
R )
31, 2jca 530 . 2  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R  e.  RR*  /\  0  <  R ) )
4 xblcntr 21204 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  ( R  e.  RR*  /\  0  <  R ) )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )
53, 4syl3an3 1265 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR+ )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   0cc0 9521   RR*cxr 9656    < clt 9657   RR+crp 11264   *Metcxmt 18721   ballcbl 18723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-map 7458  df-xr 9661  df-rp 11265  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-bl 18732
This theorem is referenced by:  bln0  21208  unirnbl  21213  blssex  21220  neibl  21294  blnei  21295  metss  21301  methaus  21313  met1stc  21314  met2ndci  21315  metrest  21317  prdsxmslem2  21322  metcnp3  21333  tgioo  21591  zdis  21611  metnrmlem2  21654  cnllycmp  21746  nmhmcn  21893  lmmbr  21987  cfilfcls  22003  iscmet3lem2  22021  caubl  22036  caublcls  22037  flimcfil  22042  ellimc3  22573  ulmdvlem1  23085  efopn  23331  logtayl  23333  xrlimcnp  23622  efrlim  23623  lgamucov  23691  cnllyscon  29529  blbnd  31545  heibor1lem  31567  heibor1  31568  binomcxplemnotnn0  36089
  Copyright terms: Public domain W3C validator