MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blcntr Structured version   Unicode version

Theorem blcntr 20010
Description: A ball contains its center. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blcntr  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR+ )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )

Proof of Theorem blcntr
StepHypRef Expression
1 rpxr 11019 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e. 
RR* )
2 rpgt0 11023 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  < 
R )
31, 2jca 532 . 2  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R  e.  RR*  /\  0  <  R ) )
4 xblcntr 20008 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  ( R  e.  RR*  /\  0  <  R ) )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )
53, 4syl3an3 1253 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR+ )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   0cc0 9303   RR*cxr 9438    < clt 9439   RR+crp 11012   *Metcxmt 17823   ballcbl 17825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-map 7237  df-xr 9443  df-rp 11013  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-bl 17834
This theorem is referenced by:  bln0  20012  unirnbl  20017  blssex  20024  neibl  20098  blnei  20099  metss  20105  methaus  20117  met1stc  20118  met2ndci  20119  metrest  20121  prdsxmslem2  20126  metcnp3  20137  tgioo  20395  zdis  20415  metnrmlem2  20458  cnllycmp  20550  nmhmcn  20697  lmmbr  20791  cfilfcls  20807  iscmet3lem2  20825  caubl  20840  caublcls  20841  flimcfil  20846  ellimc3  21376  ulmdvlem1  21887  efopn  22125  logtayl  22127  xrlimcnp  22384  efrlim  22385  lgamucov  27046  cnllyscon  27156  blbnd  28712  heibor1lem  28734  heibor1  28735
  Copyright terms: Public domain W3C validator