MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blcntr Structured version   Unicode version

Theorem blcntr 20646
Description: A ball contains its center. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blcntr  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR+ )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )

Proof of Theorem blcntr
StepHypRef Expression
1 rpxr 11218 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e. 
RR* )
2 rpgt0 11222 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  0  < 
R )
31, 2jca 532 . 2  |-  ( R  e.  RR+  ->  ( R  e.  RR*  /\  0  <  R ) )
4 xblcntr 20644 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  ( R  e.  RR*  /\  0  <  R ) )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )
53, 4syl3an3 1258 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR+ )  ->  P  e.  ( P ( ball `  D
) R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    e. wcel 1762   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   0cc0 9483   RR*cxr 9618    < clt 9619   RR+crp 11211   *Metcxmt 18169   ballcbl 18171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-map 7414  df-xr 9623  df-rp 11212  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-bl 18180
This theorem is referenced by:  bln0  20648  unirnbl  20653  blssex  20660  neibl  20734  blnei  20735  metss  20741  methaus  20753  met1stc  20754  met2ndci  20755  metrest  20757  prdsxmslem2  20762  metcnp3  20773  tgioo  21031  zdis  21051  metnrmlem2  21094  cnllycmp  21186  nmhmcn  21333  lmmbr  21427  cfilfcls  21443  iscmet3lem2  21461  caubl  21476  caublcls  21477  flimcfil  21482  ellimc3  22013  ulmdvlem1  22524  efopn  22762  logtayl  22764  xrlimcnp  23021  efrlim  23022  lgamucov  28208  cnllyscon  28318  blbnd  29875  heibor1lem  29897  heibor1  29898
  Copyright terms: Public domain W3C validator