MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blcls Structured version   Unicode version

Theorem blcls 20772
Description: The closure of an open ball in a metric space is contained in the corresponding closed ball. (The converse is not, in general, true; for example, with the discrete metric, the closed ball of radius 1 is the whole space, but the open ball of radius 1 is just a point, whose closure is also a point.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
mopni.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
blcld.3  |-  S  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }
Assertion
Ref Expression
blcls  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( cls `  J
) `  ( P
( ball `  D ) R ) )  C_  S )
Distinct variable groups:    z, D    z, R    z, P    z, X
Allowed substitution hints:    S( z)    J( z)

Proof of Theorem blcls
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
2 blcld.3 . . 3  |-  S  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }
31, 2blcld 20771 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
4 blssm 20684 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X )
5 elbl 20654 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( z  e.  X  /\  ( P D z )  < 
R ) ) )
6 xmetcl 20597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  z  e.  X
)  ->  ( P D z )  e. 
RR* )
763expa 1196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  z  e.  X )  ->  ( P D z )  e. 
RR* )
873adantl3 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  z  e.  X
)  ->  ( P D z )  e. 
RR* )
9 simpl3 1001 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  z  e.  X
)  ->  R  e.  RR* )
10 xrltle 11355 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P D z )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  (
( P D z )  <  R  -> 
( P D z )  <_  R )
)
118, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( P D z )  < 
R  ->  ( P D z )  <_  R ) )
1211expimpd 603 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( z  e.  X  /\  ( P D z )  < 
R )  ->  ( P D z )  <_  R ) )
135, 12sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( P ( ball `  D
) R )  -> 
( P D z )  <_  R )
)
1413ralrimiv 2876 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  A. z  e.  ( P ( ball `  D
) R ) ( P D z )  <_  R )
15 ssrab 3578 . . . 4  |-  ( ( P ( ball `  D
) R )  C_  { z  e.  X  | 
( P D z )  <_  R }  <->  ( ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X  /\  A. z  e.  ( P
( ball `  D ) R ) ( P D z )  <_  R ) )
164, 14, 15sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R } )
1716, 2syl6sseqr 3551 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  S )
18 eqid 2467 . . 3  |-  U. J  =  U. J
1918clsss2 19367 . 2  |-  ( ( S  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( P ( ball `  D
) R )  C_  S )  ->  (
( cls `  J
) `  ( P
( ball `  D ) R ) )  C_  S )
203, 17, 19syl2anc 661 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( cls `  J
) `  ( P
( ball `  D ) R ) )  C_  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818    C_ wss 3476   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629   *Metcxmt 18202   ballcbl 18204   MetOpencmopn 18207   Clsdccld 19311   clsccl 19313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-topgen 14699  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-cld 19314  df-cls 19316
This theorem is referenced by:  blsscls  20773  cnllycmp  21219  cncmet  21524
  Copyright terms: Public domain W3C validator