MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blcls Structured version   Unicode version

Theorem blcls 20079
Description: The closure of an open ball in a metric space is contained in the corresponding closed ball. (The converse is not, in general, true; for example, with the discrete metric, the closed ball of radius 1 is the whole space, but the open ball of radius 1 is just a point, whose closure is also a point.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
mopni.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
blcld.3  |-  S  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }
Assertion
Ref Expression
blcls  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( cls `  J
) `  ( P
( ball `  D ) R ) )  C_  S )
Distinct variable groups:    z, D    z, R    z, P    z, X
Allowed substitution hints:    S( z)    J( z)

Proof of Theorem blcls
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
2 blcld.3 . . 3  |-  S  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }
31, 2blcld 20078 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
4 blssm 19991 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X )
5 elbl 19961 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( P ( ball `  D
) R )  <->  ( z  e.  X  /\  ( P D z )  < 
R ) ) )
6 xmetcl 19904 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  z  e.  X
)  ->  ( P D z )  e. 
RR* )
763expa 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  z  e.  X )  ->  ( P D z )  e. 
RR* )
873adantl3 1146 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  z  e.  X
)  ->  ( P D z )  e. 
RR* )
9 simpl3 993 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  z  e.  X
)  ->  R  e.  RR* )
10 xrltle 11124 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P D z )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  ->  (
( P D z )  <  R  -> 
( P D z )  <_  R )
)
118, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( P D z )  < 
R  ->  ( P D z )  <_  R ) )
1211expimpd 603 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( z  e.  X  /\  ( P D z )  < 
R )  ->  ( P D z )  <_  R ) )
135, 12sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( z  e.  ( P ( ball `  D
) R )  -> 
( P D z )  <_  R )
)
1413ralrimiv 2796 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  A. z  e.  ( P ( ball `  D
) R ) ( P D z )  <_  R )
15 ssrab 3428 . . . 4  |-  ( ( P ( ball `  D
) R )  C_  { z  e.  X  | 
( P D z )  <_  R }  <->  ( ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X  /\  A. z  e.  ( P
( ball `  D ) R ) ( P D z )  <_  R ) )
164, 14, 15sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R } )
1716, 2syl6sseqr 3401 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  S )
18 eqid 2441 . . 3  |-  U. J  =  U. J
1918clsss2 18674 . 2  |-  ( ( S  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( P ( ball `  D
) R )  C_  S )  ->  (
( cls `  J
) `  ( P
( ball `  D ) R ) )  C_  S )
203, 17, 19syl2anc 661 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( cls `  J
) `  ( P
( ball `  D ) R ) )  C_  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   {crab 2717    C_ wss 3326   U.cuni 4089   class class class wbr 4290   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   RR*cxr 9415    < clt 9416    <_ cle 9417   *Metcxmt 17799   ballcbl 17801   MetOpencmopn 17804   Clsdccld 18618   clsccl 18620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-sup 7689  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xneg 11087  df-xadd 11088  df-xmul 11089  df-topgen 14380  df-psmet 17807  df-xmet 17808  df-bl 17810  df-mopn 17811  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-cld 18621  df-cls 18623
This theorem is referenced by:  blsscls  20080  cnllycmp  20526  cncmet  20831
  Copyright terms: Public domain W3C validator